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圆的方程典型例题

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圆的方程典型例题 ■■■ 第 2 页 共 34 页 ■■■ 高中数学圆的方程典型例题 类型一：圆的方程 例1 求过两点)4,1(A、)2,3(B且圆心在直线0y上的圆的标准方程并判断点)4,2(P与圆的关系． 分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P与圆的位置关系，只须看点P与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内． 解法一：（待定系数法） 设圆的标准方程为222)()(rbyax． ∵圆心在0y上，故0b． ∴圆的方程为222)(ryax． 又∵该圆过)4,1(A、)2,3(B两点． ∴22224)3(16)1(rara

解之得：1a，202r． 所以所求圆的方程为20)1(22yx． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径） 因为圆过)4,1(A、)2,3(B两点，所以圆心C必在线段AB的垂直平分线l上，又因为13124ABk，故l的斜率为1，又AB的中点为)3,2(，故AB的垂直平分线l的方程为：23xy即01yx． ■■■ 第 3 页 共 34 页 ■■■

又知圆心在直线0y上，故圆心坐标为)0,1(C ∴半径204)11(22ACr． 故所求圆的方程为20)1(22yx． 又点)4,2(P到圆心)0,1(C的距离为

rPCd254)12(22． ∴点P在圆外． 说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？

例2 求半径为4，与圆042422yxyx相切，且和直线0y相切的圆的方程． 分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解． 解：则题意，设所求圆的方程为圆222)()(rbyaxC：． 圆C与直线0y相切，且半径为4，则圆心C的坐标为)4,(1aC或)4,(2aC． 又已知圆042422yxyx的圆心A的坐标为)1,2(，半径为3． 若两圆相切，则734CA或134CA． (1)当)4,(1aC时，2227)14()2(a，或2221)14()2(a(无解)，故可得1022a． ■■■ 第 4 页 共 34 页 ■■■

∴所求圆方程为2224)4()1022(yx，或2224)4()1022(yx

．

(2)当)4,(2aC时，2227)14()2(a，或2221)14()2(a(无解)，故622a． ∴所求圆的方程为2224)4()622(yx，或2224)4()622(yx

．

说明：对本题，易发生以下误解： 由题意，所求圆与直线0y相切且半径为4，则圆心坐标为)4,(aC，且方程形如2224)4()(yax．又圆

042422yxyx，即2223)1()2(yx，其圆心为)1,2(A，半径为3．若两圆相切，则34CA．故2227)14()2(a，解之得1022a．所以欲求圆的方程为2224)4()1022(yx，或2224)4()1022(yx． 上述误解只考虑了圆心在直线0y上方的情形，而疏漏了圆心在直线0y下方的情形．另外，误解中没有考虑两圆内切的情况．也是不全面的． 例3 求经过点)5,0(A，且与直线02yx和02yx都相切的圆的方程． 分析：欲确定圆的方程．需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点A，故只需确定圆心坐标．又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上． 解：∵圆和直线02yx与02yx相切， ■■■ 第 5 页 共 34 页 ■■■

∴圆心C在这两条直线的交角平分线上， 又圆心到两直线02yx和02yx的距离相等． ∴5252yxyx．

∴两直线交角的平分线方程是03yx或03yx． 又∵圆过点)5,0(A， ∴圆心C只能在直线03yx上． 设圆心)3,(ttC ∵C到直线02yx的距离等于AC， ∴22)53(532tttt． 化简整理得0562tt． 解得：1t或5t ∴圆心是)3,1(，半径为5或圆心是)15,5(，半径为55． ∴所求圆的方程为5)3()1(22yx或125)15()5(22yx． 说明：本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，从而确定圆心坐标得到圆的方程，这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法．

例4、 设圆满足：(1)截y轴所得弦长为2；(2)被x轴分成两段弧，其弧长的比为1:3，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线02yxl：的距离最小的圆的方程． ■■■ 第 6 页 共 34 页 ■■■

分析：要求圆的方程，只须利用条件求出圆心坐标和半径，便可求得圆的标准方程．满足两个条件的圆有无数个，其圆心的集合可看作动点的轨迹，若能求出这轨迹的方程，便可利用点到直线的距离公式，通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标，进而确定圆的半径，求出圆的方程． 解法一：设圆心为),(baP，半径为r． 则P到x轴、y轴的距离分别为b和a． 由题设知：圆截x轴所得劣弧所对的圆心角为90，故圆截x轴所得弦长为r2． ∴222br 又圆截y轴所得弦长为2． ∴122ar． 又∵),(baP到直线02yx的距离为

52bad

∴2225bad abba4422 )(242222baba 1222ab 当且仅当ba时取“=”号，此时55mind．

这时有1222abba ■■■ 第 7 页 共 34 页 ■■■

∴11ba或11ba 又2222br 故所求圆的方程为2)1()1(22yx或2)1()1(22yx 解法二：同解法一，得

52bad．

∴dba52． ∴2225544dbdba． 将1222ba代入上式得：

01554222dbdb． 上述方程有实根，故

0)15(82d， ∴55d．

将55d代入方程得1b． 又1222ab ∴1a． 由12ba知a、b同号． 故所求圆的方程为2)1()1(22yx或2)1()1(22yx． 说明：本题是求点到直线距离最小时的圆的方程，若变换为求面积最小呢？

类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程 例5 已知圆422yxO：，求过点42，P与圆O相切的切 ■■■ 第 8 页 共 34 页 ■■■

线． 解：∵点42，P不在圆O上， ∴切线PT的直线方程可设为42xky 根据rd ∴ 21422kk

解得 43k 所以 4243xy 即 01043yx 因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为2x． 说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解． 本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0解决（也要注意漏解）．还可以运用200ryyxx，求出切点坐标0x、0y的值来解决，此时没有漏解． 例6 两圆0111221FyExDyxC：与0222222FyExDyxC：相交于A、B两点，求它们的公共弦AB所在直线的方程． 分析：首先求A、B两点的坐标，再用两点式求直线AB的方程，但是求两圆交点坐标的过程太繁．为了避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧． ■■■ 第 9 页 共 34 页 ■■■

解：设两圆1C、2C的任一交点坐标为),(00yx，则有： 0101012020FyExDyx ①

0202022020FyExDyx ② ①－②得：0)()(21021021FFyEExDD． ∵A、B的坐标满足方程0)()(212121FFyEExDD． ∴方程0)()(212121FFyEExDD是过A、B两点的直线方程． 又过A、B两点的直线是唯一的． ∴两圆1C、2C的公共弦AB所在直线的方程为

0)()(212121FFyEExDD． 说明：上述解法中，巧妙地避开了求A、B两点的坐标，虽然设出了它们的坐标，但并没有去求它，而是利用曲线与方程的概念达到了目标．从解题的角度上说，这是一种“设而不求”的技巧，从知识内容的角度上说，还体现了对曲线与方程的关系的深刻理解以及对直线方程是一次方程的本质认识．它的应用很广泛．

例7、过圆122yx外一点)3,2(M，作这个圆的两条切线MA、MB，切点分别是A、B，求直线AB的方程。

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直线和圆的方程

直线和圆的方程

2013届高三数学精品讲练：直线和圆的方程一、典型例题例1、已知定点P （6，4）与定直线 1：y=4x ，过P 点的直线 与 1交于第一象限Q 点，与x 轴正半轴交于点M ，求使△OQM 面积最小的直线 方程。

分析：直线 是过点P 的旋转直线，因此是选其斜率k 作为参数，还是选择点Q （还是M ）作为参数是本题关键。

通过比较可以发现，选k 作为参数，运算量稍大，因此选用点参数。

设Q （x 0，4x 0），M （m ，0） ∵ Q ，P ，M 共线 ∴ k PQ =k PM ∴m 64x 6x 4400-=--解之得：1x x 5m 00-=∵ x 0>0，m>0 ∴ x 0-1>0 ∴ 1x x 10mx2x 4|OM |21S 020OMQ -===∆令x 0-1=t ，则t>0 )2t1t (10t)1t (10S 2++=+=≥40当且仅当t=1，x 0=11时，等号成立 此时Q （11，44），直线 ：x+y-10=0评注：本题通过引入参数，建立了关于目标函数S △OQM 的函数关系式，再由基本不等式再此目标函数的最值。

要学会选择适当参数，在解析几何中，斜率k ，截距b ，角度θ，点的坐标都是常用参数，特别是点参数。

例2、已知△ABC 中，A （2，-1），B （4，3），C （3，-2），求：（1）BC 边上的高所在直线方程；（2）AB 边中垂线方程；（3）∠A 平分线所在直线方程。

分析： （1）∵ k BC =5∴ BC 边上的高AD 所在直线斜率k=51-∴ AD 所在直线方程y+1=51-(x-2)即x+5y+3=0（2）∵ AB 中点为（3，1），k AB =2∴ AB 中垂线方程为x+2y-5=0（3）设∠A 平分线为AE ，斜率为k ，则直线AC 到AE 的角等于AE 到AB 的角。

∵ k AC =-1，k AB =2 ∴k21k 2k11k +-=-+∴ k 2+6k-1=0∴ k=-3-10（舍），k=-3+10∴ AE 所在直线方程为(10-3)x-y-210+5=0评注：在求角A 平分线时，必须结合图形对斜率k 进行取舍。

人教高中数学B版必修2 圆的标准方程 精讲精析

人教高中数学B版必修2 圆的标准方程 精讲精析

2·3 圆的方程2·3·1.圆的标准方程圆的定义①运动的观念：平面内一条线段绕着一个端点旋转，另一个端点形成的轨迹；其中，静止的端点叫做圆心，线段的长等于半径.②集合的观念：平面内与定点的距离等于定长的点的集合.其中定点叫做圆心，定长等于半径.现在求以C(a,b)为圆心，r 为半径的圆的方程.设M （x,y ）是圆C 上的任意一点.点M 在圆C 上的条件是r CM =||也就是说，如果点M 在圆C 上，则r CM =||.反之，如果r CM =||，则点M 在圆C 上. 由两点间的距离公式，所说条件可转化为方程表示：r b y a x =-+-22)(）（.两边平方，得1）显然，圆C 上任意一点M 的坐标（x,y ）适合方程（1）；如果平面上一点M 的坐标（x,y ）适合方程（1），可得r CM =||，则点M 在圆C 上.所以方程（1）就是以点C （a,b ）为圆心，r 为半径的圆的方程，叫做圆的标准方程.如果圆心在坐标原点，这时a=0,b=0,圆的标准方程就是222r y x =+容易看出，如果点),(111y x M 在圆外，则点到圆心的距离大于圆的半径r ，即22121)()(r b y a x >-+-如果点),(222yx M 在圆内，则点到圆心的距离小于圆的半径r ，即22222)()(r b y a x <-+-1. 设A （－c ，0）、B （c ，0）（c >0）为两定点，动点P 到A 点的距离与到B 点的距离的比为定值a （a >0），求P 点的轨迹.【解析】设动点P 的坐标为（x ，y ），由=a （a >0）得=a ，化简，得（1－a 2）x 2+2c （1+a 2）x +c 2（1－a 2）+（1－a 2）y 2=0.当a =1时，方程化为x =0. 当a ≠1时，方程化为（x －c ）2+y 2=（）2.所以当a =1时，点P 的轨迹为y轴；当a ≠1时，点P 的轨迹是以点（c ，0）为圆心，||为半径的圆.说明：本题采用了直接求法，即根据题给条件，寻找等量关系，然后代入坐标得到方程.主要考查直线、圆、曲线和方程等基本知识，考查运用解析几何的方法解决问题的能力，对代数式的运算化简能力有较高要求. 同时也考查了分类讨论这一数学思想.2. 已知圆心在x 轴上，半径是5，且以A （5，4）为中点的弦长是2，求这个圆的方程.【解析】设圆心坐标为B （a ，0)，以A 为中点的弦的一个端点为C ，则圆的方程为(x －a)2+y 2=25由于|AB|2+|AC|2=|BC|2从而，（a －5)2+16+5=25得a=7或a=3.故这个圆的方程为(x 2222=25 说明：本题采用的是待定系数法，即设出圆的方程，其中含有一个参数a ，根据题给条件求出即可3. 求圆心在直线2x －y －3＝0上，且过点（5，2）和（3，－2）的圆的方程.【解析】设圆方程为（x －a ）2＋（y －b ）2 ＝r2依题意得||||PB PA 2222)()(y c x y c x +-++1122-+a a 122-a ac1122-+a a 122-a ac5解之得a ＝2，b ＝1，r2＝10，∴所求的圆方程为 （x －2）2 ＋（y －1）2 ＝104. 下列方程表示什么图形？（1）x 2 ＋ y 2 ＋ 5x - 3y ＋ 1 ＝ 0（2）x 2 ＋ y 2 ＋ 4x ＋ 4 ＝ 0（3）x 2 ＋ y 2 ＋ x ＋ 2 ＝ 0（4）x 2 ＋ y 2＋2by ＝0【解析】（1）表示以为圆心，以为半径的一个圆（2）表示一个点（ -2，0 ）（3）不表示任何图形（4）圆心为（0，－b ），半径为|b|，注意半径不为b.2a －b －3＝0（5－a ）2＋（2－b ）2＝r 2（3－a ）2＋（－2b ）2＝r 253(,)22-2。

直线与圆知识点及经典例题(含答案)

直线与圆知识点及经典例题(含答案)

资料范本本资料为word版本，可以直接编辑和打印，感谢您的下载直线与圆知识点及经典例题(含答案)地点：__________________时间：__________________说明：本资料适用于约定双方经过谈判，协商而共同承认，共同遵守的责任与义务，仅供参考，文档可直接下载或修改，不需要的部分可直接删除，使用时请详细阅读内容圆的方程、直线和圆的位置关系【知识要点】一、圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆（一）圆的标准方程这个方程叫做圆的标准方程。

说明：1、若圆心在坐标原点上，这时，则圆的方程就是。

2、圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径；圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要三个量确定了且＞0，圆的方程就给定了。

就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件确定，可以根据条件，利用待定系数法来解决。

（二）圆的一般方程将圆的标准方程,展开可得。

可见，任何一个圆的方程都可以写成 :问题：形如的方程的曲线是不是圆？将方程左边配方得：（1）当＞0时，方程（1）与标准方程比较，方程表示以为圆心，以为半径的圆。

,（3）当＜0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形。

圆的一般方程的定义：当＞0时，方程称为圆的一般方程.圆的一般方程的特点：（1）和的系数相同，不等于零；（2）没有xy这样的二次项。

（三）直线与圆的位置关系1、直线与圆位置关系的种类（1）相离---求距离； (2)相切---求切线；（3）相交---求焦点弦长。

2、直线与圆的位置关系判断方法：几何方法主要步骤：（1）把直线方程化为一般式，利用圆的方程求出圆心和半径（2）利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离（3）作判断: 当d>r时，直线与圆相离；当d＝r时，直线与圆相切;当d<r时，直线与圆相交。

代数方法主要步骤：（1）把直线方程与圆的方程联立成方程组（2）利用消元法，得到关于另一个元的一元二次方程（3）求出其Δ的值，比较Δ与0的大小：（4）当Δ<0时，直线与圆相离；当Δ＝0时，直线与圆相切；当Δ>0时，直线与圆相交。

阿氏圆经典例题

阿氏圆经典例题

阿氏圆经典例题阿氏圆是数学中一个经典的几何图形，也是圆锥曲线的一种形式。

它的定义是一个平面上到两个给定点P和Q的距离之比为常数的点的集合。

其中，给定点P称为焦点，给定点Q称为直线的定点。

对于阿氏圆，有一些经典的例题可以帮助我们更好地理解它的性质和特点。

例题1：已知阿氏圆的焦点为点P(-1,0)，定点为直线y=2的交点Q，求该阿氏圆的方程。

解：由题意可知，阿氏圆的焦点为点P(-1,0)，定点为直线y=2的交点Q。

首先，我们可以确定阿氏圆的离心率为2，因为焦点到定点的距离为2。

由于焦点在x轴上，所以阿氏圆的方程为：(x + 1)^2 + y^2 = 4x(x - 2)化简得到：x^2 + y^2 + 2x + 1 = 4x^2 - 8x化简后再整理得到：3x^2 - 10x + y^2 + 2x + 1 = 0所以，阿氏圆的方程为3x^2 - 8x + y^2 + 1 = 0。

例题2：已知直线y = 2x + 1与阿氏圆x^2 + y^2 - 4x - 4 = 0相交于两个点A和B，求点A和点B的坐标。

解：首先，将直线的方程代入阿氏圆的方程中，得到：x^2 + (2x + 1)^2 - 4x - 4 = 0化简后整理得到：5x^2 - 12x - 4 = 0通过求解这个二次方程，可以得到两个解x = 2和x = -0.4。

将这两个x的值分别代入直线的方程中，即可得到点A和点B的坐标。

当x = 2时，代入直线的方程得到y = 2(2) + 1 = 5，所以点A的坐标为(2, 5)。

当x = -0.4时，代入直线的方程得到y = 2(-0.4) + 1 = 0.2，所以点B的坐标为(-0.4, 0.2)。

通过这个例题，我们可以看到阿氏圆与直线的两个交点的坐标是如何求解的。

阿氏圆是数学中一个重要的几何图形，它具有许多有趣的性质和应用。

通过解决阿氏圆的经典例题，我们可以更深入地理解其特点和性质，并且能够应用这些知识解决更复杂的问题。