2012年9月浙江省信息笔试高考卷

2012年浙江省高考数学冲刺试卷9（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设z =1−i （1是虚数单位），则z 2+2z =( )A 1+1B −1+1C 1−iD −1−12. 某程序框图如图所示，若输出的S =57，则判断框内为( )A k >4？B k >5？C k >6？D k >7？3. 在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为( )A B C D4. 函数f(x)＝x 2+mx +1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是（ ） A m ＝−2 B m ＝2 C m ＝−1 D m ＝15. 函数f(x)=3sin π2x −log 12x 的零点个数是( )A 2B 3C 4D 56. 若规定E ={a 1, a 2...a 10}的子集{a k 1，a k 2…a k n }(1≤n ≤10)为E 的k 级子集，其中k =2k 1−1+2k 2−1+...+2k n −1，那么集合{a 1, a 2, a 5, a 7, a 8}将是E 的M 级子集，则M 为（ ） A 23 B 18 C 522 D 2117. 已知a ，b ∈R ，且满足{2a −b −2≤0a −2b +2≥0a +b −1≥0，则S =2a+ba+b的取值范围为（ ）A [1,32] B [32，2] C (1, 2] D [1, 2]8. 半径为2的球面上有A ，B ，C ，D 四点，且AB ，AC ，AD 两两垂直，若记△ABC ，△ACD ，△ADB 的面积之和为N ，则N 的最大值为（ ）A 4B 8C 16D 329. 浙江省新课程自选模块考试试题中共有18道题，考生要从中任选6道题进行解答，现有两位考生，其中考生甲一定不选第2，6，9，13，14，17，18题，考生乙一定不选第7，9，13，14，17，18题，若考生甲与乙选取的6道题都不相同，则满足要求的选法种数共有（ ）A C 105C 76+C 106C 116BC 126C 116 C C 116D C 105C 76+C 10610. 设函数f(x)=xsinx 在(0, +∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排列为a 1，a 2，…a n …，则对任意正整数n 必有（ ）A −π2<a n+1−a n <0 B 0<a n+1−a n <π2 C π2<a n+1−a n <π D π<a n+1−a n <3π2二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分． 11. (x +3)4(x −1)的展开式中含x 3项的系数为________．12. 将容量为n 的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图．若第一组至第六组数据的频率之比为2:3:4:6:4:1，且前三组数据的频数之和等于27，则n 等于________．13. 过双曲线E:x 2a 2−y 2b 2=1(b >a >0)的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线E 的两条渐近线相交于B ，C 两点，且|AB|=|BC|，则双曲线E 的离心率为________．14. 已知函数f(x)=lnx −ax ．若f(x)<x 2在(1, +∞)上恒成立，则a 的取值范围是________． 15. 在平行四边形ABCD 中，若AC =2且AB →|AB →|+AD →|AD →|=√32AC →，则向量AB →与AD →的夹角大小为________．16. 如图，图1是一块边长为1，面积记为S 1的正三角形纸板，沿图1的底边剪去一块边长为12的正三角形纸板后得到图2，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的12）后，得图3，图4，…，记第n(n ≥3)块纸板的面积为S n ，则S n−1−S n =________．17. 已知函数f(x)=|x 2−2|，若0<m <n 且f(m)=f(n)，则m +n 的取值范围为________．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是三内角A ，B ，C 所对应的三边，已知b 2+c 2=a 2+bc （1）求角A 的大小；（2）若2sin2B2+2sin2C2=1，试判断△ABC的形状．19. 已知数列{a n}的首项a1=5，前n项和为S n，且S n+1=2S n+n+5(n∈N∗)．（1）证明数列{a n+1}是等比数列；（2）令f(x)=a1x+a2x2+...+a n x n，求函数f(x)在点x=1处的导数f′(1)并比较2f′(1)与23n2−13n的大小．20. 如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD // BC，∠ADC＝90∘，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA＝PD＝2，BC=12AD＝1，CD=√3．（1）求证：平面PQB⊥平面PAD；（2）若二面角M−BQ−C为30∘，设PM＝tMC，试确定t的值．21. 已知抛物线C:x2=2py(p>0)上一点A(m, 4)到其焦点的距离为174．（1）求p与m的值；（2）设抛物线C上一点p的横坐标为t(t>0)，过p的直线交C于另一点Q，交x轴于M点，过点Q作PQ的垂线交C于另一点N．若MN是C的切线，求t的最小值．22. 设函数f(x)=−x3−2mx2−m2x+1−m（其中m>−2）的图象在x=2处的切线与直线y=−5x+12平行．（1）求m的值与该切线方程；（2）若对任意的x1，x2∈[0, 1]，|f(x1)−f(x2)|≤M恒成立，则求M的最小值；（3）若a≥0，b≥0，c≥0且a+b+c=1，试证明：a1+a2+b1+b2+c1+c2≤910．2012年浙江省高考数学冲刺试卷9（理科）答案1. C2. A3. D4. A5. D6. D7. D8. B9. D10. C11. 4212. 6013. √1014. [−1, +∞)15. π316. 3√34n17. (2, 2√2)18. 解：（1）在△ABC中，∵ b2+c2=a2+bc，∴ b2+c2−a2=bc，∴ b2+c2−a22bc =12，∴ cosA=12，又A是三角形的内角，故A=π3（2）∵ 2sin2B2+2sin2C2=1，∴ 1−cosB+1−cosC=1∴ cosB+cosC=1，由（1）的结论知，A=π3，故B+C=2π3∴ cosB+cos(2π3−B)=1，即cosB+cos2π3cosB+sin2π3sinB=1，即√32sinB+12cosB=1∴ sin(B+π6)=1，又0<B<2π3，∴ π6<B+π6<5π6∴ B+π6=π2∴ B=π3，C=π3故△ABC是等边三角形．19. 解：（1）由已知S n+1=2S n+n+5(n∈N∗)，可得n ≥2，S n =2S n−1+n +4两式相减得S n+1−S n =2(S n −S n−1)+1即a n+1=2a n +1 从而a n+1+1=2(a n +1)当n =1时S 2=2S 1+1+5所以a 2+a 1=2a 1+6又a 1=5所以a 2=11 从而a 2+1=2(a 1+1)故总有a n+1+1=2(a n +1)，n ∈N ∗又a 1=5，a 1+1≠0 从而a n+1+1a n +1=2即数列{a n +1}是等比数列；（2）由（1）知a n =3×2n −1 因为f(x)=a 1x +a 2x 2++a n x n 所以f′(x)=a 1+2a 2x ++na n x n−1从而f′(1)=a 1+2a 2++na n =(3×2−1)+2(3×22−1)++n(3×2n −1) =3(2+2×22++n ×2n )−(1+2++n)=3(n −1)⋅2n+1−n(n+1)2+6．由上2f′(1)−(23n 2−13n)=12(n −1)⋅2n −12(2n 2−n −1) =12(n −1)⋅2n −12(n −1)(2n +1) =12(n −1)[2n −(2n +1)]①当n =1时，①式=0所以2f ′(1)=23n 2−13n ；当n =2时，①式=−12<0所以2f ′(1)<23n 2−13n当n ≥3时，n −1>0又2n =(1+1)n =C n 0+C n 1++C n n−1+C n n≥2n +2>2n +1 所以(n −1)[2n −(2n +1)]>0即①>0从而2f′(1)>23n 2−13n ． 20. 证法一：∵ AD // BC ，BC =12AD ，Q 为AD 的中点， ∴ 四边形BCDQ 为平行四边形，∴ CD // BQ ． ∵ ∠ADC ＝90∘∴ ∠AQB ＝90∘，即QB ⊥AD ．又∵ 平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ， ∴ BQ ⊥平面PAD ．∵ BQ ⊂平面PQB ，∴ 平面PQB ⊥平面PAD ． 证法二：AD // BC ，BC =12AD ，Q 为AD 的中点，∴ 四边形BCDQ 为平行四边形，∴ CD // BQ ． ∵ ∠ADC ＝90∘∴ ∠AQB ＝90∘． ∵ PA ＝PD ，∴ PQ ⊥AD ．∵ PQ ∩BQ ＝Q ，∴ AD ⊥平面PBQ ．∵ AD ⊂平面PAD ，∴ 平面PQB ⊥平面PAD ． ∵ PA ＝PD ，Q 为AD 的中点，∴ PQ ⊥AD ．∵ 平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ， ∴ PQ ⊥平面ABCD ．如图，以Q 为原点建立空间直角坐标系． 则平面BQC 的法向量为n →=(0,0,1)；Q(0, 0, 0)，P(0,0,√3)，B(0,√3,0)，C(−1,√3,0)．设M(x, y, z)，则PM →=(x,y,z −√3)，MC →=(−1−x,√3−y,−z)， ∵ PM →=tMC →，∴ {x =t(−1−x)y =t(√3−y)z −√3=t(−z) ，∴ {x =−t1+t y =√3t1+t z =√31+t ⋯在平面MBQ 中，QB →=(0,√3,0)，QM →=(−t1+t ,√3t 1+t ,√31+t)，∴ 平面MBQ 法向量为m →=(√3,0,t)． ∵ 二面角M −BQ −C 为30∘， ∴ cos30=n →⋅m→|n →||m →|=t √3+0+t2=√32， ∴ t ＝3．21.解：（1）由抛物线方程得其准线方程：y =−p2，根据抛物线定义点A(m, 4)到焦点的距离等于它到准线的距离， 即4+p2=174，解得p =12∴ 抛物线方程为：x 2=y ，将A(m, 4)代入抛物线方程，解得m =±2（2）由题意知，过点P(t, t 2)的直线PQ 斜率存在且不为0，设其为k ． 则l PQ :y −t 2=k(x −t)， 当y =0,x =−t 2+kt k，则M(−t 2+kt k，0)．联立方程{y −t 2=k(x −t)x 2=y，整理得：x 2−kx +t(k −t)=0 即：(x −t)[x −(k −t)]=0，解得x =t ，或x =k −t∴ Q(k −t ,(k −t)2)， 而QN ⊥QP ，∴ 直线NQ 斜率为−1k ∴ l NQ ：y −(k −t)2=−1k [x −(k −t)]， 联立方程{y −(k −t)2=−1k [x −(k −t)]x 2=y整理得：x 2+1k x −1k (k −t)−(k −t)2=0，即：kx 2+x −(k −t)[k(k −t)+1]=0[kx +k(k −t)+1][x −(k −t)]=0， 解得：x =−k(k−t)+1k ，或x =k −t∴ N(−k(k−t)+1k，[k(k−t)+1]2k 2)，∴ K NM =[k(k−t)+1]2k 2−k(k−t)+1k −−t 2+kt k=(k 2−kt+1)2k(t 2−k 2−1)而抛物线在点N 处切线斜率：k 切=y′|x=k(k−t)+1k=−k(k−t)+1k∵ MN 是抛物线的切线， ∴(k 2−kt+1)2k(t 2−k 2−1)=−2k(k−t)−2k，整理得k 2+tk +1−2t 2=0∵ △=t 2−4(1−2t 2)≥0，解得t ≤−23（舍去），或t ≥23，∴ t min =2322. （1）解：∵ f ′(x)=−3x 2−4mx −m 2，所以f ′(2)=−12−8m −m 2=−5， 解得m =−1或m =−7 ∵ m >−2，∴ m =−1∴ f(x)=−x 3+2x 2−x +2 ∴ f(2)=−8+8−2+2=0 ∴ 该切线方程为y =−5x +10；（2）解：f ′(x)=−3x 2+4x −1=0，解得x 1=1，x 2=13，列表如下∴ 函数f(x)在区间[0, 1]的最小值为f(13 )=5027，最大值为2．要使对任意的x1，x2∈[0, 1]，|f(x1)−f(x2)|≤M恒成立，则M≥2−5027=427∴ M的最小值为427；（3）证明：∵ f(x)=−x3+2x2−x+2=(1+x2)(2−x)由（2）知，当x∈[0, 1]时，(1+x2) (2−x)≥5027，∴1(1+x2)≤2750(2−x)∴ x1+x2≤2750(2x−x2)（当x=13时取等号）当a≥0，b≥0，c≥0且a+b+c=1时，0≤a≤1，0≤b≤1，0≤c≤1∴a1+a2+b1+b2+c1+c2≤2750[2(a+b+c)−(a2+b2+c2)]=2750[2−(a2+b2+c2)]，∵ (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≤3(a2+b2+c2)，∴ a2+b2+c2≥13，∴ a1+a2+b1+b2+c1+c2≤2750(2−13)=910（当且仅当a=b=c=13时取等号）．。

2012年浙江省高考数学试题赏析2012年浙江省数学高考试题，延续了浙江卷一贯清新、隽永的风格，简洁、明了、寓意深刻，令人回味.现仅举一偶，作为赏析.理科卷第22题：已知a>0，b∈R，函数f（x）=4ax3-2bx-a+b.（1）证明：当0≤x≤1时，①函数f（x）的最大值为2a-b+a；②f（x）+2a-b+a≥0.（2）若-1≤f（x）≤1对x∈[0，1]恒成立，求a+b的取值范围.第一，对于问题（1），常规的思路应该考虑求f（x）在区间[0，1]上的最大值与最小值，因为问题（1）中的②实际上要证明的是fmin（x）+2a-b+a≥0.因此需要对三次函数有一定的了解.由于f′（x）=12ax2-2b，f（x）在区间[0，1]内或者是单调函数，或者只有唯一的极小值点x=，因此fmax（x）=max{f（1），f（0）}，而f（1）=3a-b，f（0）=b-a，且f（1）-f（0）=4a-2b，因此fmax（x）= f（1），2a-b≥0，f（0），2a-b0；当f（x）在区间[0，1]内不单调，即∈（0，1）时，00；（2）当2a-b0；所以φ（t）是（，1）上的增函数，所以φ（t）>φ（）=1->0，即f（x）+2a-b+a ≥0成立.综上：当0≤x≤1时，f（x）+2a-b+a ≥0.其次，由于函数f（x）含有两个参数a与b，可以通过a与b的关系转化为仅含一个参数的a问题.考虑到0≤x≤1，（1）当2a-b≥0，即b≤2a时，f（x）+2a-b+a=4ax3-2bx+2a≥4ax3-4ax+2a=2a（2x3-2x+1）；（2）当2a-b0，所以f（x）+2a-b+a≥0.（2）由题意可知：对于任意的x∈[0，1]，-1≤f（x）≤1恒成立，只要2a-b+a≤1，此时f（x）≥-（2a-b+a）≥-1，于是有：a>0，3a-1≤b≤a+1作出可行域，得-11，-1≤f （1）≤1，-1≤f（-1）≤1，或者②-1≤≤1，f（1）≤1，f（-1）≤1，b-a-≥-1.由①得：b4a，3a-1≤b≤3a+1，-≤a+b≤其可行域见图2，所以-≤a+b0，b∈R，函数f（x）=4ax3-2bx-a+b，若-1≤f（x）≤1对x∈[-1，1]恒成立，求a+b的取值范围.那么情况会发生怎样的变化？同样，因f′（x）=12ax2-2b，所以（1）若b≤0时，f（x）≥0，f（x）是[-1，1]上的增函数，则只需f（-1）=-5a+3b≥-1，f（1）=3a-b≤1.即b≥a-，b≥3a-1.其可行域见图4，于是-0，由f′（x）=0，得x=±，若≥1，即b≥6a时，于是f（x）是[-1，1]上的减函数，只需f（-1）=3a-b≥-1，f （1）=-5a+3b≤1.即b≤3a+1，b≤a+.且b≥6a，由b=6a，b=a+，得A（，），因此00；可用f2（x）=zeros（8y3-27xy2+54x2y+54xy-27x3-54x2-27x，y）画出这个方程的曲线.（如图6）解方程组：3a-b=1，+b-a=1.得（3a-2）（3a+1）2=0，所以a=，b=1，于是-0，-1≤t≤3.作出曲线y=g（t）的图象（图7）：设C（t，g（t））是函数y=g（t）图象上的一点，则直线tx+g （t）y=±1与直线OC（O为坐标原点）垂直，且在y轴上的截距为±，利用几何画板可作出直线tx+g（t）y=±1（如图8），观察与直线运动时的轨迹可知，其可行域为图中y轴上方的浅色区域.当t>0时，由-x+3y=1，tx+g（t）y=1，得x==-=-1-≥1，所以当t=2时，xmin=1，即D点的坐标为（1，）；由3x-5y=1，当y=0时，x=-，即E点的坐标为（-，0），于是-<x+y≤，即-<a+b≤.一个好的问题是能够引发思考的问题，作为一个关于三次函数的题目，命题者能提出如此简洁、深刻的问题，足见命题者的功底.这也值得我们在教学中思考应该怎样教数学. 由于函数f（x）+a-b是奇函数，且若设m=（t，g（t）），n=（b，a），则f（x）=m·n，能否利用函数的奇偶性及向量的运算去思考提出问题与解决问题的途径，也值得探究.。

1【解析】A＝(1，4)，B＝(－3，1)，则A∩( RB)＝(1，4)．【答案】A2【解析】＝＝＝1＋2i．【答案】D3【解析】当a＝1时，直线l1：x＋2y－1＝0与直线l2：x＋2y＋4＝0显然平行；若直线l1与直线l2平行，则有：，解之得：a＝1 or a＝﹣2．所以为充分不必要条件．【答案】A4【解析】把函数y＝cos2x＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得：y1＝cosx＋1，向左平移1个单位长度得：y2＝cos(x—1)＋1，再向下平移1个单位长度得：y3＝cos(x—1)．令x＝0，得：y3＞0；x＝，得：y3＝0；观察即得答案．【答案】B5【解析】利用排除法可得选项C是正确的，∵|a＋b|＝|a|－|b|，则a，b共线，即存在实数λ，使得a＝λb．如选项A：|a＋b|＝|a|－|b|时，a，b可为异向的共线向量；选项B：若a⊥b，由正方形得|a＋b|＝|a|－|b|不成立；选项D：若存在实数λ，使得a＝λb，a，b可为同向的共线向量，此时显然|a＋b|＝|a|－|b|不成立．【答案】C6【解析】1，2，2，…，9这9个整数中有5个奇数，4个偶数．要想同时取4个不同的数其和为偶数，则取法有：4个都是偶数：1种；2个偶数，2个奇数：种；4个都是奇数：种．∴不同的取法共有66种．【答案】D7【解析】选项C显然是错的，举出反例：—1，0，1，2，3，…．满足数列{S n}是递增数列，但是S n＞0不成立．【答案】C8【解析】如图：|OB|＝b，|O F1|＝c．∴kPQ＝，kMN＝﹣．直线PQ为：y＝(x＋c)，两条渐近线为：y＝x．由，得：Q( ，)；由，得：P( ，)．∴直线MN为：y－＝﹣(x－)，令y＝0得：xM＝．又∵|MF2|＝|F1F2|＝2c，∴3c＝xM＝，解之得：，即e＝．【答案】B9【解析】若，必有．构造函数：，则恒成立，故有函数在x＞0上单调递增，即a＞b 成立．其余选项用同样方法排除．【答案】A10【解析】最简单的方法是取一长方形动手按照其要求进行翻着，观察在翻着过程，即可知选项C是正确的．【答案】C11【解析】观察三视图知该三棱锥的底面为一直角三角形，右侧面也是一直角三角形．故体积等于．【答案】112【解析】T，i关系如下图：T 1i 2 3 4 5 6【答案】13【解析】将，两个式子全部转化成用，q表示的式子．即，两式作差得：，即：，解之得：(舍去)．【答案】14【解析】法一：由等式两边对应项系数相等．即：．法二：对等式：两边连续对x求导三次得：，再运用赋值法，令得：，即．【答案】1015【解析】此题最适合的方法是特例法．假设ABC是以AB＝AC的等腰三角形，如图，AM＝3，BC＝10，AB＝AC＝．cos∠BAC＝．＝【答案】2916【解析】C2：x 2＋(y＋4) 2 ＝2，圆心(0，—4)，圆心到直线l：y＝x的距离为：，故曲线C2到直线l：y＝x的距离为．另一方面：曲线C1：y＝x 2＋a，令，得：，曲线C1：y＝x 2＋a到直线l：y＝x的距离的点为( ，)，．【答案】17【解析】本题按照一般思路，则可分为一下两种情况：(A) ，无解；(B) ，无解．因为受到经验的影响，会认为本题可能是错题或者解不出本题．其实在x＞0的整个区间上，我们可以将其分成两个区间(为什么是两个？)，在各自的区间内恒正或恒负．(如下答图)我们知道：函数y1＝(a－1)x－1，y2＝x 2－ax－1都过定点P(0，1)．考查函数y1＝(a－1)x－1：令y＝0，得M( ，0)，还可分析得：a＞1；考查函数y2＝x 2－ax－1：显然过点M( ，0)，代入得：，解之得：，舍去，得答案：【答案】．18【解析】本题主要考察三角恒等变换，正弦定理，余弦定理及三角形面积求法等知识点。

1、（4分）（2014?上海）计算：a（a+1）= _________ ．2、某文具店二月份销售各种水笔320支，三月份销售各种水笔的支数比二月份增长了10%，那么该文具店三月份销售各种水笔_________ 支．3、对二叉树的某层上的结点进行运算，采用队列结构按层次遍历最适宜。

int LeafKlevel(BiTree bt, int k) //求二叉树bt 的第k(k>1) 层上叶子结点个数{if(bt==null || k<1) return(0);BiTree p=bt,Q[]; //Q是队列，元素是二叉树结点指针,容量足够大int front=0,rear=1,leaf=0; //front 和rear是队头和队尾指针, leaf是叶子结点数int last=1,level=1; Q[1]=p; //last是二叉树同层最右结点的指针，level 是二叉树的层数while(front<=rear){p=Q[++front];if(level==k && !p->lchild && !p->rchild) leaf++; //叶子结点if(p->lchild) Q[++rear]=p->lchild; //左子女入队if(p->rchild) Q[++rear]=p->rchild; //右子女入队if(front==last) {level++; //二叉树同层最右结点已处理,层数增1last=rear; } //last移到指向下层最右一元素if(level>k) return (leaf); //层数大于k 后退出运行}//while }//结束LeafKLevel4、按要求在句子中填上合适的词语（每空1分，共7分）1、这两个人总是一起做坏事，真是呀！（与“动物”有关的成语）2、是他让我做成了这个艺术品，又是他打碎了这个艺术品，真是，呀。