谈谈恒等变形的感觉如何提手展开多项式

浅谈初等数学中的变形技巧
浅谈初等数学中的变形技巧如下：
1一元二次方程的化简
在我们所学的一元二次方程这节内容中，其方程的化简变形我们首先要观察方程式子中各元素的存在关系，我们把题目进行化简就能得到另一种显而易见的题目，而我们这样做的目的就是为了方便我们解题的直观。

2三角函数的变形技巧
在我们学三角函数的同时，我们常常要考虑其求值、解三角函数方程、证明这些问题。

这些问题都包含了如何运用三角变换的解题的方法与技巧。

但是由于三角公式有很多种变换形式，如果能熟练掌握三角恒等变换的技巧，那么我们就能够加深我们对三角公式的记忆，然后将各种三角公式联系起来，发现其中的技巧。

对我们逻辑思维能力的发展，以及提高数学知识的?C合能力都大有益处。

恒等变换在整个初等数学中随处可见，因为常见，所以就成为了中学生常用的解题工具。

3代数式的恒等变形
在中学数学中，我们把某个代数式换成另一个与其恒等的代数式的过程叫做代数式的恒等变形。

恒等变形是我们学初等代数中最基础的知识，但是正因为是基础知识，所以往往容易被很多人忽略。

恒等变形其依据是运算律和数学运算法则，并按各运算法则来进行变形。

高中三角恒等变换的教学策略高中数学中，三角恒等变换是一项重要的知识点，对于学生来说，掌握这个内容不仅有助于提高解题能力，还能够帮助他们理解三角函数的性质。

然而，由于抽象性和繁琐性，学生们在学习三角恒等变换时常常感到困惑和无助。

因此，在教学中采用一些策略来帮助学生更好地理解和掌握三角恒等变换是非常重要的。

一、引入案例在教学三角恒等变换时，老师可以引入一些具体的案例来说明恒等变换的实际应用。

例如，可以通过实际测量角度的方式，让学生在纸上绘制几何图形，并通过测量角度以及三角函数的关系来引出三角恒等变换。

通过这种引入案例的方式，可以让学生更加直观地理解三角恒等变换，并增加他们对这个知识点的兴趣。

二、图形化展示为了帮助学生更好地理解和记忆恒等变换的内容，老师可以借助电子白板或者幻灯片等工具，以图形化的方式进行展示。

通过图形化展示，可以更加清晰地展示三角恒等变换的过程，让学生更易于理解和记忆。

同时，图形化展示还可以帮助学生将抽象的符号和公式与具体的图形进行对应，从而更加深入地理解三角恒等变换的本质。

三、拓展思维在教学三角恒等变换时，除了让学生掌握基本的恒等变换公式外，还可以通过拓展思维的方式，激发学生的创造性思维和解决问题的能力。

例如，可以给学生一些拓展性的问题，并引导他们从不同的角度思考和解决问题。

通过这种方式，不仅可以帮助学生加深对三角恒等变换的理解，还可以培养他们的问题解决能力和创新思维。

四、练习与巩固在教学过程中，适当安排练习环节非常重要，可以通过课堂练习、作业布置等方式来帮助学生巩固所学知识。

同时，为了提高学生的学习兴趣和积极性，可以设计一些实际应用的题目，让学生将三角恒等变换与实际问题相结合，提高他们对知识的应用能力。

总之，高中三角恒等变换的教学策略需要注意引入案例、图形化展示、拓展思维以及练习与巩固等方面。

通过合理运用这些策略，可以帮助学生更好地理解和掌握三角恒等变换的知识，提高他们的解题能力和问题解决能力。

论文浅谈多项式因式分解的方法浅谈多项式因式分解的方法重庆师范大学涉外商贸学院数学与应用数学(师范) 2008级徐传华指导教师：赵振华中文摘要：多项式的因式分解是多项式乘法的逆过程，是代数式恒等变形的一个重要组成部分，也是处理数学问题的重要手段和工具.因式分解在代数式的运算、解方程等方面有极其广泛的运用.本文通过对因式分解概念的阐述和方法的介绍来说明它在数学中的应用.关键词：多项式因式分解转化方法应用Chinese Abstract: polynomial factorization of polynomial multiplication is the inverse process, are algebraic identical deformation is an important part of solving mathematical problems, is also the important means and tools.. Factorization in algebraic operations, such as solutions of equations has extremely extensive application. Based on the factorization of concept and method are presented to illustrate its application in mathematics.Key words: Factorization of polynomial transformation method and its application.在初等数学中，因式分解是一个十分重要的概念，在解题过程中有着广泛的应用，借助分解因式可解决计算、求值、说理等多方面的问题，因式分解也是整式乘法的一种重要变形，而转化是其中最重要的数学思想，即将高次的多项式分解转化为若干个较低次的因式的乘积.这种转化通常要通过观察、分析、尝试，应用提取公因式、乘法公式、分组分解等方法来达到目的.在解题过程中，问题变化万千，方法灵活多变.本文归纳总结因式分解的几种常用方法：提公因式法、运用公式法、分组分解法、简单的十字相乘法、拆、添项法、配方法、因式定理法、换元法、求根法、综合除法、整除法、图象法、主元法、特殊值法、待定系数法、双十字相乘法、综合法.1.定义定义把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫作分解因式）.因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具.因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用.学习它，既可以复习整式四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、思维发展性、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力.分解因式与整式乘法为相反变形.(a-b)(a+b) a2-b2 整式乘法(a-b)(a+b) a2-b2 因式分解同时也是解一元二次方程中公式法的重要步骤.2.基本方法2.1提公因式法如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式.例1 分解因式 bm-am+cm分析在多项式bm-am+cm中，每个单项式都含有字母m，故提出m就可以了.解 bm-am+cm=m(b-a+c)例2 分解因式 a(x-y)+b(y-x)分析通过适当的变形可以找出公因式（x-y）或（y-x），再提出就可以了.解1 a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(a-b)(x-y)解2 a(x-y)+b(y-x)=-a(y-x)+b(y-x)=(y-x)(b-a).2.2公式法若把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法.例3 分解因式 4a2-9b2分析①∵4a2=(2a)2,9b2=(3b)2,那么只要把2a和3b看作平方差公式中的a和b 即可.②将两项交换后，这两项式是平方差的形式.解 4a2-9b2=(2a)2-(3b)2=(2a+3b)(2a-3b)注为保证解题正确要将中间步骤(2a)2-(3b)2写上，即先化为公式的左边形式.例4 分解因式(1)x(x2-1)-x2+1(2)(x 2+x+2)(x 2+x+7)-6分析 (1)可看成二项式：将-x 2+1变形为-(x 2-1)则可提取公因式(x 2-1)再将公因式用平方差公式分解.(2)题若将此式展开一定繁琐，注意到x 2+x+2与x 2+x+7的平均数为292++x x ，故可用换元法解：解 (1)x(x 2-1)-x 2+1 =x(x 2-1)-(x 2-1) =(x 2-1)(x-1) =(x+1)(x-1)(x-1) =(x+1)(x-1)2(2)设y= 2)7()2(22+++++x x x x =292++x x则(x 2+x+2)(x 2+x+7)-6 =6)25)(25(-+-y y=64252--y =4492-y=)27)(27(-+y y=)2729)(2729(22-+++++x x x x =(x 2+x+8)(x 2+x+1)注此题也可以展开式子(x 2+x)2+9(x 2+x)+8再应用十字相乘法进行.说明此题虽然题目中没有因式分解的要求，但是248-1是因式分解的平方差公式的基本形式.将其进行等价转化，逐步地运用平方差公式，直到出现26+1=65和26-1=63两个因式. 例5 分解因式(1)x 2+6ax+9a 2 (2)-x 2-4y 2+4xy (3)9(a-b)2+6(a-b)+1分析这题的三个小题都为三项式，又都没有公因式，可考虑是否能用公式中的完全平方公式.(1)题的x2=(x)2，9a2=(3a)2，且这两项的符号相同，可写成平方和.这样x和3a就为公式中的a和b了.另外6ax正好是2(x)(3a)即公式中的2ab项，这样这题就可用和的完全平方公式分解.(2)题中的-x2-4y2，这两项符号相同，提取负号后可写成平方和，即-x2-4y2=-[x2+(2y)2]，4xy正好是2(x)(2y)是公式中的2ab项，此题可用完全平方公式.注意提取负号时4xy要变号为-4xy.(3)题9(a-b)2+1可写成平方和[3(a-b)] 2+12，就找到公式中的a 和b项为3(a-b)和1，6(a-b)正好是2×3(a-b)×1为公式中的2ab项，符合完全平方公式.解 (1)x2+6ax+9a2=(x)2+2(x)(3a)+(3a)2=(x+3a)2注再写第一步的三个项的和时实际上先写x2和(3a)2项，再写固定的“2”常数再将公式中的a、b数即x和3a写进二个括号内；计算出来为6ax，即原题中的中间项.(2)-x2-4y2+4xy=-(x2-4xy+4y2)=-[x2-2(x)(2y)+(2y)2]=-(x-2y)2(3)9(a-b)2+6(a-b)+1=[3(a-b)]2+2×3(a-b)×1+12=[3(a-b)+1]2=(3a-3b+1)2例6 分解因式 (m2+n2+1)2-4m2n2分析本题是一个二项式，符合平方差公式.用平方差公式分解后的两个多项式的因式后，都可分别先用完全平方公式再用平方差公式.解 (m2+n2-1)2-4m2n2=(m2+n2-1+2mn)(m2+n2-1-2mn)=[(m2+2mn+n2)-1][(m2-2mn+n2)-1]=[(m+n)2-12][(m-n)2-12]=(m+n+1)(m+n-1)(m-n+1)(m-n-1)例7 把下列多项式分解因式（1）a3＋8（2）27－8y3分析（1）因为8=23，故这是形如a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)，就完全可以运用立方和公式.（2）通过变形就可以运用立方差公式 a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2).解（1）a3＋8=a3+23=（a+2）(a2-2a+22)=(a+2)( a2-2a+4)（2）27－8y3=33-(2y)3=(3-2y)[(32+6y+(2y)2)]=(3-2y)(9+6y+4y2)注运用公式法分解因式时，先观察多项式的特征，主要看它的项数、次数，然后尝试选择何种公式进行分解，并记住公式的结构特点和应用条件，不要把因式中的符号和系数搞错了2.3分组分解法能分组分解的多项式有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法.例8 把多项式ax+ay+bx+by分解因式分析通过观察、分析，发现此题应用二二分法：把ax和ay分一组，bx和by分一组，利用乘法分配律，两两相配.解 ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y)同样，这道题也可以这样做.ax+ay+bx+by=x(a+b)+y(a+b)=(a+b)(x+y)例9 把多项式x2-x-y2-y分解因式分析利用二二分法，再利用公式法a2-b2=(a+b)(a-b)，然后相合解决.解 x2-x-y2-y=(x2-y2)-(x+y)=(x+y)(x-y)-(x+y)=(x+y)(x-y-1)例10 把45am2-20ax2+20axy-5ay2分解因式.分析这个多项式的各项有公因式5a,先提取公因式,再观察余下的因式,可以按“一、三”分组原则进行分组，然后运用公式法分解因式.解 45am2-20ax2+20axy-5ay2=5a(9a2-4x2+4xy-y2)=5a[9a2-(4x2-4xy+y2)]=5a[(3a)2-(2x-y)2]=5a(3a-2x+y)(3a+2x-y).2.4十字相乘法十字相乘法的方法简单点来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数.一般地，对于二次三项式ax+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1×a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1×c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下： a1c1╳a2 c2按斜线交叉相乘，再相加，得到a1×c2+a2×c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即a1×c2+a2×c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a22之积，即ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法.但十字相乘法只能把某些二次三项式分解因式，而在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程.当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号.例11 把多项式x2+2x-15分解因式分析通过观察，此题采用十字相乘法就可以了.解1 -3╳1 5 1×5+1×(-3)=2所以x+2x-15=(x-3)(x+5).例12 把2x2-7x+3分解因式.分析先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.分解二次项系数(只取正因数因为取负因数的结果与正因数结果相同！2=1×2=2×1；分解常数项：3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).用画十字交叉线方法表示下列四种情况：╳2 3 1×3+2×1=51 3╳2 1 1×1+2×3 =71 -1╳2 -3 1×(-3)+2×(-1)=-51 -3╳2 -1 1×(-1)+2×(-3)=-7经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7.解 2x2-7x+3=(x-3)(2x-1)例13 把多项式(x-y)(2x-2y-3)-2分解因式.分析这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，只有先进行多项式的乘法运算，把变形后的多项式再因式分解，但用什么方法进行多项式的乘法运算最简便?通过观察发现第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2(x-y)，它是第一个因式的二倍，然后把(x-y)看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于(x-y)的二次三项式，就可以用十字相乘法分解因式了.解 (x-y)(2x-2y-3)-2=(x-y)[2(x-y)-3]-2=2(x-y)2-3(x-y)-21 -2╳2 1 1×1+2×(-2)=－3原式=[(x-y)-2][2(x-y)+1]=(x-y-2)(2x-2y+1).注把(x-y)看作一个整体进行因式分解，这又是运用了数学中的“整体”思想方法.2.5 拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．例14 分解因式x3-9x+8．分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．解法1 将常数项8拆成-1+9．原式=x3-9x-1+9=(x3-1)-9x+9=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法2 将一次项-9x拆成-x-8x．原式=x3-x-8x+8=(x3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3．原式=9x3-8x3-9x+8=(9x39x)+(-8x3+8)=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)=(x-1)(x2+x-8)．解法4 添加两项-x2+x2．原式=x39x+8=x3-x2+x2-9x+8=x2(x-1)+(x-8)(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．说明由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最好的一种．这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形.例15 把m2-6m+8 分解因式用添项，拆项法做！解法一 m2-6m+8=m2-6m+9-1=(m-3)2-12=(m-3+1)(m-3-1)=(m-2)(m-4)解法二 m2-6m+8=m2-2m-4m+8=m(m-2)-4(m-2)=(m-2)(m-4)2.6 配方法对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解，这种方法叫配方法.属于拆项、补项法的一种特殊情况.也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形.例16 把多项式x2+6x-7分解因式解 x2+6x-7=x2+6x+9-16=(x+3)2-(4)2=(x+7)(x-1)．2.7 应用因式定理对于多项式f(x)=0，如果f(a)=0，那么f(x)必含有因式x-a．例17 分解因式：x2+5x+6分析令f(x)=x2+5x+6，则f(-2)=0，故可确定x+2是x2+5x+6的一个因式.解 x2+5x+6=(x+2)(x+3)注意 1、对于系数全部是整数的多项式，若X=q/p（p,q为互质整数时）该多项式值为零，则q为常数项约数，p最高次项系数约数2．对于多项式f(a)=0,b为最高次项系数，c为常数项，则有a为c/b约数2.8 换元法有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法.注意：换元后勿忘还元.例18 把x4+7x2-30分解因式分析这个多项式不是关于x的二次三项式，如果把x2设为y，那么这个多项式就可以转化为y2+7y-30.这是关于y的二次三项式，就可以利用上题的方法分解因式了.这里，设y=x2，把y称为辅助元，这种方法叫做换元法.解1 设x2=y,则多项式可化为：y2+7y-30y2+7y-30=(y+10)(y-3)∴x4+7x2-30=(x2+10)(x2-3)说明通过辅助元，把所给的多项式转化为形如x2+px+q的二次三项式，在解题中，代换的步骤可以省略.解2 x4+7x2-30=(x2)2+7x2-30=(x2+10)(x2-3)例19 把(a2+a)2-14(a2+a)+24分解因式分析题目中的多项式有什么特点？含有字母的项可以作什么变换？解令a2+a=u则原式变为u2-14u+24因为u2-14u+24=(u-2)(u-12)所以(a2+a)2+14(a2+a)+14=(a2+a-2)(a2+a-12)=(a+2)(a-1)(a+4)(a-3)说明换元法将原多项式化为二次三项式形式，可用十字相乘法分解因式，这是常用方法.换元的步骤可以不写出来.例20 把(x-y)(2x-2y-3)-2分解因式分析这个多项式是两个因式之积与另一个因式之差的形式，只有先进行多项式的乘法运算，把变形后的多项式再分解因式.两个乘积的因式有什么特点？用什么方法进行多项式的乘法运算最简便？第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2(x-y)，它是第一个因式的二倍，然后把(x-y)看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于(x-y)的二次三项式，就可以用十字相乘法分解因式了.解 (x-y)(2x-2y-3)-2=(x-y）[2(x-y)-3]-2=2(x-y)2-3(x-y)-2=[(x-y)-2][2(x-y)+1]=(x-y-2)(2x-2y+1)说明把(x-y)看作一个整体进行因式分解，这是运用了数学中的“整体”思想方法，当然也可以运用换元法，只是我们在熟悉后就直接把它当做一个整体.2.9 求根法令多项式f(x)=0,求出其根为x1，x2，x3， (x)n，则该多项式可分解为f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn) ．例21 把多项式2x4+7x3-2x2-13x+6分解因式解令2x4+7x3-2x2-13x+6=0，则通过综合除法或整除法可知，该方程的根为0.5 ，-3，-2，1．所以2x4+7x3-2x2-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)．例22 分解因式 3x3－4x2－13x－6分析(1)用综合除法试商时，要由常数项和最高次项系数来决定．常数项的因数除以最高次项系数的因数都可能是除的整除商．上例中常数项是6，则因数是±1，±2，±3，±6，最高次项系数是3,则因数是±1，±3，所以根可能是±1，±1/3，±2，±2/3，±3，±6，它们的因式可能是x±1，x±2，x±3，x±6，3x ±1，3x±2．试除时先从简单的入手 (2)因式可能重复．解 3x3－4x2－13x－6=(x+1)(x－3)(3x+2)．例23 把多项式2x3+3x2-8x+3分解因式.解 (有理根定理的使用)2x3+3x2-8x+3常数项3的因数：±1，±3首项系数2的因数：±1，±2可能的有理根就是常数项的因数除以首项系数的因数.23,23,21,21,3,3,1,1----由验算这些可能的根时，得知x=1就是其中的一个根. 2×13+3×12-8×1+3=2+3-8+3=0 现在由综合除法可得到下面的结果. 1 2 3 -8 3 2 5 -3 2 5 -3 0所以(x-1)(2x 2+5x-3)= 2x 3+3x 2-8x+3 最后,因式分解(2x 2+5x-3)=(2x-1)(x+3) 故，可得2x 3+3x 2-8x+3=(x-1)(2x-1)(x+3). 我们也可以用带余除法的方法来解此题x-1(除式) 2x 3+3x 2-8x+3(被除式) 2x 2+5x-3(商式) 2x 3-2x 2 5x 2-8x+ 3 5x 2-5x -3x+3 -3x+3 0(余式)于是求得商为2x 2+5x-3，余式为0.所得结果可以写成3x 3+4x 2-5x+6=(2x 2+5x-3)(x-1)再对多项式2x 2+5x-3进行分解为(2x-1)(x+3) 故3x 3+4x 2-5x+6=(x-1)(2x-1)(x+3).2.10 图象法令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图像与X 轴的交点x 1,x 2,x 3,……x n ，则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x 1)(x-x 2)(x-x 3)……(x-x n )．与方法9相比，能避开解方程的繁琐，但是不够准确.例24 分解因式：x3 +2x2-5x-6分析在分解x3 +2x2-5x-6时，可以令y=x3 +2x2 -5x-6.作出其图像，与x轴交点为-3，-1，2 则x3+2x2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)．解 x3+2x2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)2.11主元法先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解.例25 分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)分析此题可选定a为主元，将其按次数从高到低排列解 a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b)=(b-c) [a -a(b+c)+bc]=(b-c)(a-b)(a-c)例26 分解因式 x2-8xy-48y2分析这是多个字母的式子，关键是要确定其中的主要字母，而把其它字母看作这个字母的系数，题中的主要字母是x，它是关于x的二次三项式.解 x2-8xy-48y2=(x-12y)(x+4y)说明如果认定题中的y为主要字母，并把x看作这些字母的系数，用这种分解方法也可以得到同样的分解结果.2.12 特殊值法将2或10代入x，求出数p，将数p分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式.例27 把x3+9x2+23x+15分解因式分析在分解x3+9x2+23x+15时，令x=2，则x3 +9x+23x+15=8+36+46+15=105，将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7 ．注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值，则x3+9x2+23x+15可能等于(x+1)(x+3)(x+5)，验证后的确如此.2.13 待定系数法首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解.例28 把 x4-x3-5x2-6x-4分解因式分析在分解x4-x3-5x2-6x-4时，由分析可知：这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式.于是设x4-x3-5x2-6x-4=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(ac+b+d)x2+(ad+bc)x+bd由此可得a+c=-1，ac+b+d=-5，ad+bc=-6，bd=-4．解得a=1，b=1，c=-2，d=-4．则x4-x3-5x2-6x-4=(x2+x+1)(x2-2x-4)．2.14 双十字相乘法双十字相乘法属于因式分解的一类，类似于十字相乘法.双十字相乘法就是二元二次六项式，启始的式子如下：ax2+bxy+cy2+dx+ey+fx、y为未知数，其余都是常数用一道例题来说明如何使用.例29 分解因式 x2+5xy+6y2+8x+18y+12．分析这是一个二次六项式，可考虑使用双十字相乘法进行因式分解.解图如下，把所有的数字交叉相连即可x 2y 2①②③x 3y 6∴原式=(x+2y+2)(x+3y+6)．双十字相乘法其步骤为：①先用十字相乘法分解2次项，如十字相乘图①中x2+5xy+6y2=(x+2y)(x+3y)②先依一个字母（如y）的一次系数分数常数项.如十字相乘图②中6y2+18y+12=(2y+2)(3y+6)③再按另一个字母（如x）的一次系数进行检验，如十字相乘图③，这一步不能省，否则容易出错.例30 求证2x-3y-1是多项式4x2-4xy-3y2+4x-10y-3的一个因式.分析先用十字相乘法分解关于x,y的二次齐次式4x2-4xy-3y2,,再把常数项-3分解为(+3)×(-1)，再利用十字相乘法，就可以得出最后结果.证明4x2-4xy-3y2+4x-10y-3=(2x+y)(2x-3y)+4x-10y-3=(2x+y+3)(2x-3y-1)说明此题是运用双十字相乘，先把多项式前三项用十字相乘法分解，然后再次使用十字相乘法，将多项式分解，命题得证.2.15 综合法应用多种方法来因式分解.例31 分组分解后再用十字相乘把2x2-8xy+8y2-11x+22y+15分解因式解原式=(2x2-8xy+8y2)-(11x-22y)+15=2(x-2y)2-11(x-2y)+15=[(x-2y)-3][2(x-2y)-5]=(x-2y-3)(2x-4y-5)说明分组后运用十字相乘进行因式分解，分组的原则一般是二次项一组，一次项一组，常数项一组.本题通过这样分组就化为关于(x-2y)的二次三项式，利用十字相乘法完成因式分解.例32 换元法与十字相乘法把(x2+x+1)(x2+x+2)-6分解因式分析观察式子特点，二次项系数和一次项系数分别相同，把(x2+x)看成一个“字母”，把这个式子展开，就可以得到关于(x2+x)的一个二次三项式(或设x2+x=u，将原式化为(u+1)(u+2)-6=u2+3u-4，则更为直观)再利用十字相乘法进行因式分解解 (x2+x+1)(x2+x+2)-6 =[(x2+x)+1][(x2+x)+2]-6=(x2+x)2+3(x2+x)-4=(x2+x+4)(x2+x-1)说明本题结果中的两个二次三项式在有理数范围内不能再分解了，若能分解一定要继续分解.例33 因式分解与十字相乘法已知(x2+y2)(x2-1+y2)=12 求：x2+y2的值解 (x2+y2)(x2-1+y2)=12(x2+y2)[(x2+y2)-1]-12=0(x2+y2)2-(x2+y2)-12=0[(x2+y2)-4][(x2+y2)+3]=0∵x2+y2≥0∴(x2+y2)+3≠0∴(x2+y2)-4=0∴x2+y2=4说明我们把(x2+y2)看成一个“字母”，则原式转化为关于这个“字母”的一。

代数证明与恒等变形代数证明主要是指证明代数中的一些相等关系或不等关系．在初中阶段，要证的等式一般可分为恒等式的证明和条件等式的证明． 恒等式的证明常用的方法有：(1)由繁到简，从一边推向另一边； (2)从左右两边人手，相向推进；(3)作差或作商证明，即证明：左边一右边=0，)0(1≠=右边右边左边． 条件等式的证明实质是有根据、有目的的代数式恒等变换，证明的关键是寻找条件与结论的联系，既要注意已知条件的变换，使之有利于应用；又要考虑求证的需求情况，使之有利于与已知条件的沟通． 代数证明不同于几何证明，几何证明有直观的图形为依托，而代数证明却取决于代数式化简求值变形技巧、方法和思想的熟练运用．例1：设a 、b 、c 、d 都是整数，且m=a 2+b 2,n=c 2+d 2,mn 也可以表示成两个整数的平方和，其形式是______.解 mn=(a 2+b 2)(c 2+d 2)=a 2c 2+2abcd+b 2d 2+a 2d 2+b 2c 2-2abcd=(ac+bd)2+(ad-bc)2=(ac-bd)2+(ad+bc)2,所以，mn 的形式为(ac+bd)2+(ad-bc)2或（ac-bd ）2+(ad+bc)2.例2 ： 设x 、y 、z 为实数，且(y-z)2+(x-y)2+(z-x)2=(y+z-2x)2+(z+x-2y)2+(x+y-2z)2. 求)1)(1)(1()1)(1)(1(222++++++z y x xy zx yz 的值.解 将条件化简成2x 2+2y 2+2z 2-2xy-2xz-2yz=0∴(x-y)2+(x-z)2+(y-z)2=0 ∴x=y=z,∴原式=1.例3：设a+b+c=3m,求证: (m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)=0. 证明 令p=m-a,q=m-b,r=m-c,则p+q+r=0. P 3+q 3+r 3-3pqr=(p+q+r)(p 2+q 2+r 2-pq-qr-rp)=0 ∴p 3+q 3+r 3-3pqr=0即 (m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)=0 例4：若67890123475678901235,67890123455678901234==B A ,试比较A 、B 的大小.解 设 ,yx A =则,21++=y x B)2(2)2()1()2(21+-=++-+=++-y y yx y y x y y x y x y x . ∵2x ＞y ∴2x-y ＞0, 又y ＞0, 可知21++-y x y x ＞0 ∴A ＞B.例5：求最大的正整数n ，使得n 3+100能被n+10整除．分析：此题可以运用整除法或两个整式整除的问题转化为一个分式问题加以解决．解：333100109001010n n n n ++-=++=2(10)(10100)90010n n n n +-+-+＝n 2-10n+100-90010n + 要使n+10整除n 3+100，必须且只需n+10整除900，又因为n 取最大值，•所以n+•10=900，从而符合要求的正整数n 的最大值为890．评注：对于分子的次数高于或等于分母的次数的分式，可化为整式部分与分式部分的和．例6：已知a 、b 、c 为非负实数，且a 2+b 2+c 2=1,3111111-=⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a c a c b c b a ,求a+b+c 的值. 解：由条件知(a+b+c)()111cb a ++=0 ∴a+b+c=0 或cb a 111++=0当c b a 111++=0时，abcac bc ab ++=0 ∴ab+bc+ac=0∵(a+b+c)2=a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ac=1 ∴a+b+c=±1∴a+b+c=0或1或-1例7：已知.0222=-+-+-c ab c b ac b a bc a 求证:0)()()(222222=-+-+-c ab c b ac b a bc a . 证明 222222222.()()a b c ab bc ac b cbc a ac b ab c ac b ab c -+-+=-=-----.0))()(()()()(.))()(()(.))()(()(.))()(()(222222222222222222222222222222222222222222222222=---+-+-+-+++-+-=-+-+-∴---+-+-=----+-+-=-----++-=-∴c ab b ac a bc b a c b ab c a c a bc ac b a c b ac bc ab c ab c b ac b a bc a c ab b ac a bc ca cb abc a c ab c c ab a bc b ac ca bc ac ab b ac b c ab b ac a bc c b ac bc ab a bc a 同理例8：设a 、b 、c 、d 都是正整数，且a 5=b 4,c 3=d 2,c-a=19,求d-b.解 由质因数分解的唯一性及a 5=b 4,c 3=d 2,可设a=x 4,c=y 2,故19=c-a=(y 2-x 4)=(y-x 2)(y+x 2)⎪⎩⎪⎨⎧=+=-∴.19,122x y x y 解得 x=3. y=10. ∴ d-b=y 3-x 5=757.练习：（1）已知a 2+c 2=2b 2,求证.211ac b a c b +=+++（2）求证：aa z a y a x a az z a ay y a ax x 3111222+-+-+-=-+-+-（3）求证：)1)(1)(1(4)1()1()1(222abab b b a a ab ab b b a a ++++=+++++．例9：已知a 、b 、c 、d 满足a+b=c+d ，a 3+b 3=c 3+d 3, 求证：a 2001+b 2001=c 2001+d 2001.解：由a 3+b 3=c 3+d 3得：(a+b) (a 2-ab+b 2)=(c+d) (c 2-cd+d 2)∵a+b =c+d ，则有(1) 若a+b =c+d=0，则a= -b ，c= -d ，从而a 2001+b 2001=c 2001+d 2001=0(2) 若a+b =c+d ≠0，则a 2-ab+b 2=c 2-cd+d 2，∴(a+b)2-3 ab=(c+d)2-3 cd ，从而ab=cd∴(a+b)2-4ab=(c+d)2-4 cd ，∴(a-b)2=(c-d)2，∴a-b=±(c-d) 可得a=b=c=d ，从而a 2001+b 2001=c 2001+d 2001例10： 有18支足球队进行单循环赛，每个参赛队同其他各队进行一场比赛，假设比赛的结果没有平局，如果用i a 和i b ，分别表示第i(i=1，2，3…18)支球队在整个赛程中胜与负的局数． 求证：21822212182221b b b a a a +++=+++ ．解：由于每支球队都要进行18-1=17场比赛，则对于第i 支球队有a i +b i =17,i=1,2,3,……18；由于比赛无平局，故所有参赛队的胜与负的总局数相等，即a 1+a 2+…+a 18=b 1+b 2+…+b 18由（a 12+a 22+…+a 182）-（b 12+b 22+…+b 182）=(a 12-b 12)+ (a 22-b 22)+…+(a 182-b 182) =17×[(a 1+a 2+…+a 18)-(b 1+b 2+…+b 18)]=0得21822212182221b b b a a a +++=+++例11：已知333cz by ax ==，且1111=++zy x ．求证：3333222c b a cz by ax ++=++．思路点拨 条件中有一个连等式，恰当引入参数，把待证式两边都变形为与参数相同的同一个代数式．解：设333cz by ax ===t 3，则a=33x t ，b=33yt，c=33z t因333c b a ++=t t zy x =++)111(又33333222111z cz y by x ax cz by ax ⋅+⋅+⋅=++=33)111(zy x t ++=t ，从而得证.例12： 已知0≠abc ，证明：四个数abc c b a 3)(++、abc a c b 3)(--、abc b a c 3)(--、abcc b a 3)(--中至少有一个不小于6．思路点拨 整体考虑，只需证明它们的和大于等于24即可． 解：因为abc c b a 3)(+++abc a c b 3)(--+abc b a c 3)(--+abc c b a 3)(--=abcc b a b a c a c b c b a ])()[(])()[(3333--+--+--+++=abcabcabc ac c b a b ac c b a b 24)633(2)633(2222222=-++-+++=24 若abcc b a 3)(++＜6，abc a c b 3)(--＜6，abc b a c 3)(--＜6，abc c b a 3)(--＜6，则他们的和必小于24，这与上式矛盾，故四个加数中至少有一个不小于6。