算法设计与分析试题 一、 对于下图使用Dijkstra算法求由顶点a到顶点h的最短路径。
ahgfedcb12122823223
解：用V1表示已经找到最短路径的顶点，V2表示与V1中某个顶点相邻接且不在
V1中的顶点；E1表示加入到最短路径中的边，E2为与V1中的顶点相邻接且距离最短的路径。【1分】 步骤 V1 V2 E1 E2 1. {a} {b} {} {ab} 2. {a,b} {d} {ab} {bd} 3. {a,b,d} {c,f} {ab,bd} {dc,df} 4. {a,b,d,c} {f} {ab,bd} {df} 5. {a,b,c,d,f} {e} {ab,bd,dc,df} {fe} 6. {a,b,c,d,e,f} {g} {ab,bd,dc,df,fe} {eg} 7. {a,b,c,d,e,f,g} {h} {ab,bd,dc,df,fe,eg} {gh} 8. {a,b,c,d,e,f,g,h} {} {ab,bd,de,df,fe,eg,gh} {} 【以上每步2分】
结果：从a到h的最短路径为abdfegh，权值为18。【1分】
求所有顶点对之间的最短路径可以使用Dijkstra算法，使其起始节点从a循环到h，每次求起始节点到其他节点的最短路径，最终可以求得所有顶点对之间的最短路径。【2分】
二、 假设有7个物品，它们的重量和价值如下表所示。若这些物品均不能被分割，且背包容量M＝150，使用回溯方法求解此背包问题。请写出状态空间搜索树。 物品 A B C D E F G
重量 35 30 60 50 40 10 25 价值 10 40 30 50 35 40 30
解：按照单位效益从大到小依次排列这7个物品为：FBGDECA。将它们的序号分
别记为1～7。则可生产如下的状态空间搜索树。其中各个节点处的限界函数值通过如下方式求得：【排序1分】
a
aabaacQ111x21x31x41x50x60x70xdee40x30x41xe51xf60xg50xh40xi20xj10x
算法设计与分析复习题目及答案分治法1、二分搜索算法是利用（分治策略）实现的算法。
9. 实现循环赛日程表利用的算法是（分治策略）27、Strassen矩阵乘法是利用（分治策略）实现的算法。
34．实现合并排序利用的算法是（分治策略）。
实现大整数的乘法是利用的算法（分治策略）。
17．实现棋盘覆盖算法利用的算法是（分治法）。
29、使用分治法求解不需要满足的条件是（子问题必须是一样的）。
不可以使用分治法求解的是（0/1背包问题）。
动态规划下列不是动态规划算法基本步骤的是（构造最优解）下列是动态规划算法基本要素的是（子问题重叠性质）。
下列算法中通常以自底向上的方式求解最优解的是（动态规划法）备忘录方法是那种算法的变形。
（动态规划法）最长公共子序列算法利用的算法是（动态规划法）。
矩阵连乘问题的算法可由（动态规划算法B）设计实现。
实现最大子段和利用的算法是（动态规划法）。
贪心算法能解决的问题：单源最短路径问题，最小花费生成树问题，背包问题，活动安排问题，不能解决的问题：N皇后问题，0/1背包问题是贪心算法的基本要素的是（贪心选择性质和最优子结构性质）。
回溯法回溯法解旅行售货员问题时的解空间树是（排列树）。
剪枝函数是回溯法中为避免无效搜索采取的策略回溯法的效率不依赖于下列哪些因素（确定解空间的时间）分支限界法最大效益优先是（分支界限法）的一搜索方式。
分支限界法解最大团问题时，活结点表的组织形式是（最大堆）。
分支限界法解旅行售货员问题时，活结点表的组织形式是（最小堆）优先队列式分支限界法选取扩展结点的原则是（结点的优先级）在对问题的解空间树进行搜索的方法中,一个活结点最多有一次机会成为活结点的是( 分支限界法 ).从活结点表中选择下一个扩展结点的不同方式将导致不同的分支限界法,以下除( 栈式分支限界法 )之外都是最常见的方式.（1）队列式(FIFO)分支限界法：按照队列先进先出（FIFO）原则选取下一个节点为扩展节点。
1． 按分治策略求解棋盘覆盖问题时，对于如图所示的24×24的特殊棋盘，共需要多少个L 型骨牌；并在棋盘上填写L 型骨牌的覆盖情况。
2． 假设有7个物品，给出重量和价值。
若这些物品均不能被分割，且背包容量M ＝140，使用回溯方法求解此0-1背包问题。
请画出状态空间搜索树。
3． 假设有7个物品，它们的重量和价值如下表所示。
若这些物品均可以被分割，且背包容量M＝140，使用贪心算法求解此背包问题。
请写出求解策略和求解过程。
W （35,30,50,60,40,10,25）p （10,40,30,50,35,40,30）4． 在给出的电路板中，阴影部分是已作了封锁标记的方格，请按照队列式分支限界法在图中确定a 到b 的最短布线方案，要求布线时只能沿直线或直角进行，在图中标出求得最优解时各方格情况。
5． 画出字符表的哈夫曼编码对应的二叉树。
6． 已知1()*()i i k k ij r r A a +=，k =1，2，3，4，5，6，r 1=5，r 2=10，r 3=3，r 4=8，r 5=5，r 6=20，r 7=6，求矩阵链积A 1×A 2×A 3×A 4×A 5×A 6的最佳求积顺序。
7． 给出城市网络图，售货员要从城市1出发，经过所有城市回到城市1，画出该问题的解空间树，描述出用优先队列式分支限界法求解时的搜索情况。
表示出优先队列、当前扩展结点等的变化情况。
8． 依据优先队列式分支限界法，求从s 点到t 点的单源最短路径，画出求得最优解的解空间树。
一、假设有7个物品，它们的重量和价值如下表所示。
若这些物品均不能被分割，且背包容量M＝150，使用回溯方法求解此背包问题。
请写出状态空间搜索树（20分）。
答：按照单位效益从大到小依次排列这7个物品为：FBGDECA 。
将它们的序号分别记为1～7。
则可生产如下的状态空间搜索树。
其中各个节点处的限界函数值通过如下方式求得：【排序1分】5x =6x =7x =17分，每个节点1分】a ．1501154040305035190.62540-++++⨯=7(1,1,1,1,,0,0)8b. 1501154040305030177.560-++++⨯=7(1,1,1,1,0,,0)12c ．4040305010170++++=(1,1,1,1,0,0,1)d. 1501054040303530167.560-++++⨯=3(1,1,1,0,1,,0)4e. 150130404050353017560-++++⨯=1(1,1,0,1,1,,0)3f. 1501304040503510170.7135-++++⨯=4(1,1,0,1,1,0,)7g. 40405030160+++=(1,1,0,1,0,1,0)h. 1501404040353010146.8535-++++⨯=2(1,1,0,0,1,1,)7i.1501254030503530167.560-++++⨯=5(1,0,1,1,1,,0)12 j. 1501454030503530157.560-++++⨯=1(0,1,1,1,1,,0)12在Q 1处获得该问题的最优解为(1,1,1,1,0,0,1)，背包效益为170。
1．给出n个正整数内置分奇偶的算法，偶数排在奇数前边，并说明算法的比较次数和移动次数。
（05－1，02－1）答：算法描述如下：void partition(int *a, int n){int low = 0,high = n-1;int temp = a[0]; //起始位置先置空位while(low<high){while(a[high]是奇数&&high>=0) high--;if（high!=0）a[low++] = a[high];while(a[low]是偶数&&low<n-1) low++;if（low!=n-1）a[high--] = a[low];}if（high!=0&& low!=n-1）a[low] = temp; //最终空出的位置填入起始为止的那个值。
}本算法在比较次数上：因为第一个元素没有参与比较，故为n－1次在移动元素次数上，是来回移动的，最坏情况下，n－1个元素都要相互移动，为n-1次，还有将首位置元素移入temp和从temp移入最终空位的2次，共需n-1+2=n+1次。
2．找出n个元素的最大元和最小元，并说明这个算法好的理由。
（05－3，04－9）算法描述如下：maxMin(int *a, int n){n（奇数）个元素两两比较（除去最后一个）共(n-1)/2次，大的放在偶数位，小的放在奇数位，然后比较。
n个元素两两比较，大的一半存入数组b，小的一半存入数组c；将最后一个元素分别放入两半中考虑。
比较法选出b中最大的元素，即为最大元；比较(n-1)/2次比较法选出c中最小的元素，即为最小元；比较(n-1)/2次共3（n-1）/2}n为偶数时方法同上：两两比较需比较n/2次；b中有n/2个元素，找到最大需n/2 - 1次，c中有n/2个元素，找到最小需n/2 – 1次，所以共需要3n/2 – 2次。
