初中数学分式方程典型例题讲解

精品 -可编辑- 第十六章分式知识点和典型例习题 【知识网络】 【思想方法】 1．转化思想 转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等． 2．建模思想 本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历“实际问题———分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义． 3．类比法 本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程． 第一讲 分式的运算

【知识要点】1.分式的概念以及基本性质;

2.与分式运算有关的运算法则 3.分式的化简求值(通分与约分) 4.幂的运算法则 【主要公式】1.同分母加减法则:

0

bcbcaaaa



2.异分母加减法则:0,0

bdbcdabcdaacacacacac

;

3.分式的乘法与除法:bdbdacac•,bcbdbdadacac•

4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项 5.同底数幂的乘法与除法;am● an =am+n; am÷ an =am－n

6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m=

am bn , (am)n= a

mn

7.负指数幂: a-p=1pa a0=1 8.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式 精品 -可编辑- (a+b)(a-b)= a2- b2 ;(a±b)2= a2±2ab+b2

（一）、分式定义及有关题型 题型一：考查分式的定义（一）分式的概念： 形如AB (A、B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子，叫做分式.其中 A叫做分式的分子,B叫做分式的分母.

【例1】下列代数式中：yxyxyxyxbabayxx1,,,21,22，是分式的有： . 题型二：考查分式有意义的条件：在分式中，分母的值不能是零.如果分母的值是零，则分式没有意义. 【例2】当x有何值时，下列分式有意义 （1）44xx （2）232xx （3）122x （4）3||6xx （5）xx11

题型三：考查分式的值为0的条件： 1、分母中字母的取值不能使分母值为零，否则分式无意义 2、当分子为零且分母不为零时，分式值为零。

【例3】当x取何值时，下列分式的值为0. （1）31xx （2）42||2xx

题型四：考查分式的值为正、负的条件 【例4】（1）当x为何值时，分式x84为正； （2）当x为何值时，分式2)1(35xx为负； （3）当x为何值时，分式32xx为非负数. 练习： 1．当x取何值时，下列分式有意义： （1）3||61x （2）1)1(32xx （3）x111

2．当x为何值时，下列分式的值为零： （1）4|1|5xx （2）562522xx

x 精品 -可编辑- 3．解下列不等式 （1）012||xx （2）0

3252xx

x

（二）分式的基本性质及有关题型 1．分式的基本性质：MBMAMBMABA





2．分式的变号法则：babababa



题型一：分式化简（约分） （1）4322016xyyx； （2）44422xxx; （3）在分式xyzxyz中，x,y,z分别扩大到

原来的两倍，则分式大小怎么变化？

题型二：化分数系数、小数系数为整数系数 【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.

（1）yxyx41313221 （2）baba04.0

03.02.0

题型三：分数的系数变号 【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号. （1）yxyx （2）baa （3）ba





题型四：化简求值题 【例3】已知：511yx，求yxyxyxyx2232的值.

【例4】已知：2

1

xx，求221xx的值. 精品

-可编辑- 【例5】若0)32(|1|2xyx，求yx241的值.

练习： 1．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数.

（1）yxyx5.008.02.003.0 （2）baba10141534.0



2．已知：31xx，求1242xxx的值. 3．已知：311ba，求aabbbaba232的值. 4．若0106222bbaa，求baba532的值. 5．如果21x，试化简xx2

|2|

xxxx|||1|1

.

（三）分式的乘除法 题型一：分式的乘法： ① 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.如果得到的不是最简分式，应该通过约分进行化简bdac（ ）

② 整式和分式相乘，直接把整式和分式的分子相乘作结果的分子，分母不变。即cab（ ） 【例1】 计算下列各分式：

(1)4411242222aaaaaa；（2）baababba234222；（3）3222

)(35)(42xyxxyx

题型二：分数除法：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘. bdac（ ）

【例2】 计算下列各式： （1）abcacb2110352； （2）yxaxy28512 ；

题型三：分式的混合运算：熟记分式乘除法法则 【例3】计算：

（1）42232)()()(abcabccba； （2）22233)()()3(xyxyyxyxa； 精品 -可编辑- 题型四：化简求值题 【例4】先化简后求值 （1）1112421222aaaaaa，其中a满足02

aa.

（2）已知3:2:yx，求2322])()[()(yxxyxyxxyyx的值. . （四）、分式的加减法 题型一：同分母分数相加减：分母不变，把分子相加减。cdabab 【例1】 计算：

（1）xyyxxyyx2)(2）（；（2）xyyxxyyx22)()(.；（3）22yxx－22xyy

题型二：异分母分数相加减： 正确地找出各分式的最简公分母。 求最简公分母概括为：（通分） ① 最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； ② 最简公分母的字母，取各分母所有字母的最高次幂的积； ③ 分母是多项式时一般需先因式分解。（aba322） 【例2】通分：(1)22232,,555ababbaababab （2）

22,,mnnmnmmnnm



【例3】（1）计算：1624432xx.（2）计算

2a

abab

 精品

-可编辑- （3）31x－31x; （4）412a－21a;

题型三：加减乘除混合运算

【例4】计算：（1）、xxxxxx24)22(，（2）3352242xxx





新授知识 分式方程 问题1：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用的时间，与以最大航速逆流航行60千米所用的时间相等，江水的流速为多少？

分式方程概念：方程中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程.

做一做 在方程①73x=8+152x，②1626x=x，③281x=81xx，④x-112x=0中，是分式方程的有（ ） A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④

问题2：怎么解问题1中的分式方程： 【主要方法】1.分式方程主要是看分母是否有外未知数;

2.解分式方程的关健是化分式方程为整式方程;方程两边同乘以最简公分母. 3.解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系,恰当地设末知数. （一）分式方程题型分析 题型一：用常规方法解分式方程 (1) 113xx (2) 11222xxx



【例1】解下列分式方程 （1）xx311；（2）0132xx；（3）114112xxx；（4）xxxx453

5