运筹学-第七章-目标规划

x1 + 2 x2 3 x2 15 x1 + 20 x2 + d1 − − d 1 + − + x1 − 2 x2 + d 2 − d 2 4x + x + d − − d + 1 2 3 3 − + + + − 2 x 4 x d d 1 2 4 4 − + x1 , x2 , d i , d i
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§7-1 目标规划数学模型 Mathematical Model of GP
由于西蒙教授对现代经济管理的决策科学进行了开创性的研究， 荣获了1978年诺贝尔经济学奖。 他提出满意行为模型要比最大化行为模型丰富得多。从而现 代管理决策所追求的不是绝对意义下的最优解，而是相对意义下 的满意解。 目标规划的有关概念和模型最早在１９６１年由美国学者Ａ. 查恩斯和Ｗ.库伯在他们合著的《管理模型和线性规划的工业应用》 一书中提出，以后这种模型又先后经尤吉·艾吉里、杰斯基莱恩和 桑.李不断完善改进。１９７６年伊格尼齐奥发表了《目标规划及 其扩展》一书，系统归纳总结了目标规划的理论和方法。 下面通过例子来具体说明什么是目标规划以及它和线性规划的 区别。
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§7-1 目标规划数学模型 Mathematical Model of GP
上述问题的目标规划模型可以写为：
min z = P1 d1 + P （ 2 d2 + d2 ) + P 3 (d 3 + d 3 ) + P 3d 4
Ⅰ级偏差变量为 d 2 、d 2 ； P2———每级人数不超过定编人数，偏差变量
−
+
− Ⅱ级偏差变量为 d 3 、d 3+； − + Ⅲ级偏差变量为 d 4 、d 4 ；
− + − + 9＋x1＋ d 2 x1＋ d 2 → − d2 = 12 − d2 =3 − 12－x1＋x2＋ d 3 − d 3+ = 15 → －x1＋x2＋ d 3− − d 3+ = 3 − + − + 15－x2＋x3＋ d 4 − d4 = 15 → －x2＋x3＋ d 4 − d4 =0
【例7.2】(教材P109) （１） 不超过年工资总额60000元； （２） 每级人数不超过定编人数； （３） Ⅱ、Ⅲ级的升级面到达或超过现有人数的20％； （４） Ⅲ级不足人数可录用新职工，Ⅰ级职工有10％退 休，退休工资由社会发放。
等级 Ⅰ级 Ⅱ级 Ⅲ级 合计 工资（元/人·年） 2000 1500 1000 现有人数 10 12 15 37 定编人数 12 15 15 42
Exit
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最优和满意
在现实经济生活中，没有最优（max,min）只有满意。 从亚当·斯密斯开始,资产阶级经济学家的一个基本假设就是认 为企业的决策者是“ 经济人”,他们的行为只受“ 最大化”的行为准则 所支配，只以追求最大经济利益（利润）为唯一目标。 社会的发展已经证明，“ 经济人”的假设根本不适应现代管理 的需要。 H.A.西蒙(H.A.Simon-美国卡内基-梅隆大学,1916-)教授着眼 于现代企业的管理职能,否定了“ 经济人”概念和“ 最大化”行为准 则，提出了“ 管理人”的概念和“ 令人满意”的行为准则。
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【例7.１】某企业计划生产I、II两种产品，这些产品分别 要在A、B、 C、D四种不同设备上加工。工艺资料如表7－1所示。
表7－1
− + 2000(9＋x1)＋1500(12－x1＋x2)＋1000(15－x2＋x3)＋ d1 − d1 = 60000
500x1＋500x2＋1000x3＋d 1− − d 1+ =9000
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－x 2 ＋ x 3 ＋ d 4 − d 4 = 0
− x1＋ d 5 − d 5+ = 2.4 − x2＋ d 6 − d 6+ = 3
−
+
x j，d i− , d i+ ≥ 0, i = 1, L ,6; j = 1,2,3
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数学模型：
+ + min Z = p1 d1+ + P2 (d 2 ) + P3 (d 5− + d 6− ) + d 3+ + d 4
500x1＋500x2＋1000x3＋ d1− − d 1+ = 9000
− + x1＋ d 2 − d2 =3 − －x 1 ＋ x 2 ＋ d 3 − d 3+ = 3
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−
+
−
+
−
+
≤ 40 ≤ 24 = 250 =0 = 40 = 40 ≥0
(7.1a ) (7.1b) (7.1c) (7.1d ) (7.1e) (7.1 f ) (i = 1, L,4 )
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P3——Ⅱ、Ⅲ级的升级面到达或超过现有人数的20％ Ⅱ级偏差变量为 Ⅲ级偏差变量为
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− + x + d − d d 、 d ； 1 5 5 = 2 .4
− 5
ຫໍສະໝຸດ Baidu
+ 5
d 6−、 d 6+；
x2 + d 6− − d 6+ = 3
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现在企业的经营目标不仅仅是利润，而是考虑多个方面，如： (1)力求使利润指标不低于250元； (2)考虑到市场需求，Ｉ、II两种产品的生产量需保持2：1的比例； (3)Ｃ和Ｄ为贵重设备，严格禁止超时使用； (4)设备A既要求充分利用，又尽可能不加班； (5) 设备B必要时可以加班，但加班时间要控制； 1. 设置目标利润偏差变量，用来表明实际利润值同目标利润之间的 差异。偏差变量用下列符号表示： d1＋ ：超出利润目标的差值，称正偏差变量 d1－ ： 未达到利润目标的差值，称负偏差变量 力求使利润指标不低于250元，可表为：
第七章 目标规划 Goal Programming
§7-1目标规划数学模型 Mathematical Model of GP §7-2目标规划的图解法 The graphical method of GP §7-3单纯形法 Simplex Method
制作与教学 河北工业大学管理学院 孔造杰 kongzj@sina.com
§7-1 目标规划数学模型 Mathematical Model of GP
4. 设 d4＋ d4－
：超出设备B的加工能力的差值 ：
未达到设备B的加工能力的差值，根据要求有
+ min{d 4 } － ＋ 2 x1 + 4 x2 + d 4 − d 4 = 60
设备C、D的加工时间不允许超过现有加工能力，则有：
产品 设备
产品Ⅰ 4 2 1 0 15
产品Ⅱ 1 4 2 3 20
计划期 加工能力(h)
A B C D 产品利润(元/件)
40 60 40 24
问该企业应如何安排计划，使在计划期内的总利润收入为最大?
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3. 设 d3＋ d3－
：超出设备A的加工能力的差值 ：
未达到设备A的加工能力的差值，根据要求有：
－ min{d 3 + d 3+ } － ＋ + + − x x d d 4 3 3 = 40 1 2
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【解】设Ｉ、II 产品的产量分别为x1、x2，可以建立这个问题的线 规划模型如下：
max z = 15 x1 + 20 x2
4 x1 + x2 2 x + 4 x 1 2 x1 + 2 x2 3 x2 x1 , x2 ≤ 40 ≤ 60 ≤ 40 ≤ 24 ≤0
并可求出最优解为x１＝8，x２＝9，Z＝280元。
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【解】设x1———由Ⅱ级升到Ⅰ级的人数 x2———由Ⅲ级升到Ⅱ级的人数 x3———录用的新职工人数 P1——不超过年工资总额60000元,偏差变量为 d1−、d1+；
－ min{d1 } － ＋ x x d d 15 + 20 + − 2 1 1 = 250 1
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2. 设 d2＋ d2－
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目标规划的一般数学模型可表为：
− − + + min z = ∑ Pk (∑wkl dl + wkl dl ) K L
(7.2a)
7.2b 7.2c 7.2d 7.2e
n (i = 1,L, m) ∑aij x j ≤ (=, ≥)bi n j =1 − + + − c x d d (l = 1,L, L) ∑ lj j l l = gl j =1 xj ≥ 0 ( j = 1,L, n) − + d , d (l = 1,L, L) l ≥0 l
：超出产品比例目标的差值 ：
未达到产品比例目标的差值
要求I、II两种产品保持2：1的比例，当作一个约束，可以写为：
x1/x2=2 或x1－2x2=0
但由于对这个比例允许有偏差 ，且希望正负偏差最小，因此有：
－ + min{d 2 ＋d 2 } － ＋ x x d d − + − 2 2 2 2 =0 1
x1 + 2 x2 ≤ 40 3 x2 ≤ 24
称此类约束为系统约束或称刚性约束，相应地把带有偏差变量的 约束称为目标约束。
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5.目标的优先级与权系数: 在一个目标规划的模型中，如果两个不 同目标重要程度相差悬殊，为达到某一目标可牺牲其它一些目标， 称这些目标是属于不同层次的优先级。优先级层次的高低可分别 通过优先因子P1，P2…表示，并规定Pk>>Pk+1即不同优先级之间的 差别无法用数字大小衡量。对属于同一层次优先级的不同目标， 按其重要程度可分别乘以不同的权系数。权系数是一个具体数字， 乘上的权系数越大，表明该目标越重要。 现假定例7.1中企业的最重要目标是利润，列为第一优先级；其次 目标是I、II产品的产量尽可能保持2：1的比例，列为第二优先级； 再次是设备A、B尽量不超负荷工作，列为第三优先级。
k =1
l =1
式中: Pk为第k级优先因子，k=1,…,K; − + 为分别赋予第l个目标约束的正负偏差变量的权系数； wkl 、wkl gl为目标的预期目标值，l=1,…L。 （7.2c）为目标约束，(7.2b)为系统约束。
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