17-18第一学期期末初三数学试题+答案

1北京市怀柔区2017-2018学年度第一学期初三期末数学试卷及参考答案2018.1一、选择题(本题共16分，每小题2分)第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1. 北京电影学院落户，怀柔一期工程建设进展顺利，一期工程建筑面积为178800平方米，建设内容有教学行政办公、图书馆、各类实习用房、学生及教工宿舍、食堂用房等，预计将于2019年投入使用. 将178800用科学记数法表示应为A ．1.788×104B ．1.788×105C ．1.788×106D ．1.788×107 2.若将抛物线y = －12x 2先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是A ．2)3(212-+-=x y B ．2)3(212---=x y C ．2)3(2-+=x y D. 2)3(212++-=x y3.在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =4，BC =3，则tan A 错误！未找到引用源。

的值为 A ．34B ．43C ．53D ．54 4. 如图，在△ABC 中，点D ，E 分别为边AB,AC 上的点，且DE ∥BC ，若AD =4，BD =8，AE =2，则CE 的长为A ．2B ．4C ．6D ．8 5. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠BOC =100°） A ．40︒B．50︒ D ．100︒6. 网球单打比赛场地宽度为80.9米（如图AB 的高度）.．．E DC BA 第4题图 第5题图C穿越球，使球落在对方底线上C处，用刁钻的落点牵制对方.在这次进攻过程中，为保证战术成功，该运动员击球点高度至少为A. 1.65米B. 1.75米C.1.85米D. 1.95米7. 某校科技实践社团制作实践设备，小明的操作过程如下：①小明取出老师提供的圆形细铁环，先通过在圆一章中学到的知识找到圆心O，再任意找出圆O的一条直径标记为AB（如图1），测量出AB=4分米；②将圆环进行翻折使点B落在圆心O的位置，翻折部分的圆环和未翻折的圆环产生交点分别标记为C、D（如图2）；③用一细橡胶棒连接C、D两点（如图3）；④计算出橡胶棒CD的长度.小明计算橡胶棒CD的长度为A．22分米B．23分米C．32分米D．33分米8．如图1，⊙O过正方形ABCD的顶点A、D且与边BC相切于点E，分别交AB、DC于点M、N.动点P在⊙O或正方形ABCD的边上以每秒一个单位的速度做连续匀速运动.设运动的时间为x，圆心O与P点的距离为y，图2记录了一段时间里y与x的函数关系，在这段时间里P点的运动路径为第8题图1第8题图23A.从D点出发，沿弧DA→弧AM→线段BM→线段BCB.从B点出发，沿线段BC→线段CN→弧ND→弧DAC.从A点出发，沿弧AM→线段BM→线段BC→线段CND.从C点出发，沿线段CN→弧ND→弧DA→线段AB二、填空题(本题共16分，每小题2分)9．分解因式：3x3-6x2+3x=_________．10．若△ABC∽△DEF，且对应边BC与EF的比为1∶3，则△ABC与△DEF的面积比等于.11. 有一个反比例函数的图象，在第二象限内函数值随着自变量的值增大而增大，这个函数的表达式可能是（写出一个即可）：．12．抛物线y=2(x+1)2+3 的顶点坐标是.13．把二次函数y=x2-4x+5化成y=a(x-h)2+k的形式为__________________．14.数学实践课上，同学们分组测量教学楼前国旗杆的高度.小泽同学所在的组先设计了测量方案，然后开始测量了.他们全组分成两个测量队，分别负责室内测量和室外测量（如图）.室内测量组来到教室内窗台旁，在点E处测得旗杆顶部A的仰角α为45°，旗杆底部B 的俯角β为60°. 室外测量组测得BF的长度为5米.则旗杆AB=______米.415.它是由一个正三角形和圆心分别在正三角形顶点、半径为1米的三个等圆组成，现在要在花坛正三角形以外的区域（图中阴影部分）种植草皮.草皮种植面积为 米2.16. 阅读下面材料：在数学课上，老师提出利用尺规作图完成下面问题： 请回答：这样做的依据是 ． 三、解答题(本题共68分，第20、21题每小题6分，第26-28题每小题7分，其余每小题5分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17.计算：4sin45°-8+(3-1)0+|-2|.18.如图，在△ABC 中，D 为AC 边上一点，BC ＝4，AC ＝8，CD=2．求证：△BCD ∽△ACB .第18题图第15题图519. 如图，在△ABC 中，tan A =43，∠B =45°，AB =14. 求BC 的长.20.在平面直角坐标系xOy 中，直线3+-=x y 与双曲线ky =相交于点A (m ，2). (1)求反比例函数的表达式； (2)画出直线和双曲线的示意图；(3)若P 是坐标轴上一点，且满足P A =OA . 直接写出点P 的坐标．21.一个二次函数图象上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：第19题图6(2)求m 的值；(3)在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象； (4)根据图象，写出当y ＜0时，x 的取值范围.22. 如图，已知AB 是⊙O 的直径，点M 在BA 的延长线上，MD 切⊙O 于点D ，过点B 作BN ⊥MD 于点C ，连接AD 并延长，交BN 于点N ． (1)求证：AB =BN ；(2)若⊙O 半径的长为3，cosB =52，求MA 的长．7D23.数学课上老师提出了下面的问题： 在正方形ABCD 对角线BD 上取一点F ，使51=D B DF . 小明的做法如下：如图① 应用尺规作图作出边AD 的中点M ; ② 应用尺规作图作出MD 的中点E ; ③ 连接EC ，交BD 于点F . 所以F 点就是所求作的点.请你判断小明的做法是否正确，并说明理由.24. 已知：如图，在四边形ABCD 中，BD 是一条对角线，∠DBC =30°， ∠DBA =45°，∠C =70°.若DC =a ，AB=b , 请写出求tan ∠ADB 的思路. （不用写出计算结果．．．．．．．．）25.如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC =90°，点E 是BC 边上一动点，联结AE ，过点E 作AE 的垂线交直线=2cm ，BC =5cm ，设BE 的长为x cm ，CF 的长为y cm.8小东根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行探究. 下面是小东的探究过程，请补充完整：(1)通过取点、画图、测量，得到了x 与y 的几组值，如下表：(说明：补全表格时相关数据保留一位小数)(2)建立直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；(3)结合画出的函数图象，解决问题: 当BE =CF 时，BE 的长度约为 cm.26.在平面直角坐标系xOy 中，直线l : n x y +-=2与抛物线3242---=m mx mx y 相交于点A （2-,7）. (1)求m 、n 的值；(2)过点A 作AB ∥x 轴交抛物线于点B ，设抛物线 与x 轴交于点C 、D (点C 在点D 的左侧)，求△BCD 的面积；(3)点E （t ,0）为x 轴上一个动点，过点E 作平行于y 轴的直线与直线l 和抛物线分别交于点P 、Q .当点P 在点Q 上方时，求线段PQ 的最大值.9B27. 在等腰△ABC 中，AB =AC ，将线段BA 绕点B 顺时针旋转到BD ，使BD ⊥AC 于H ，连结AD 并延长交BC 的延长线于点P . (1)依题意补全图形；(2)若∠BAC =2α，求∠BDA 的大小（用含α的式子表示）；(3)小明作了点D 关于直线BC 的对称点点E ，从而用等式表示线段DP 与BC 之间的数量关系.请你用小明的思路补全图形并证明线段DP 与BC 之间的数量关系.28.在平面直角坐标系xOy 中，点P 的横坐标为x ，纵坐标为2x ，满足这样条件的点称为“关系点”.(1)在点A (1,2)、B (2,1)、M (21，1)、N (1，21)中，是“关系点”的 ； (2)⊙O 的半径为1，若在⊙O 上存在“关系点”P ，求点P 坐标；(3)点C 的坐标为(3，0)，若在⊙C 上有且只有一个．．．．．．“关系点”P ，且“关系点”P 的横坐标满足-2≤x≤2.请直接写出⊙C 的半径r 的取值范围．102017-2018学年度第一学期期末初三质量检测数学试卷评分标准一、选择题(本题共16分，每小题2分)第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个二、填空题(本题共16分，每小题2分)9.3x (x -1)2. 10.1:9. 11.答案不唯一，k <0即可. 12.(﹣1，3). 13.y =(x -2)2+1. 14. 5+53. 15.16.圆的定义，直径的定义，直径所对的圆周角为90°，到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.三、解答题(本题共68分，第20、21题每小题6分，第26-28题每小题7分，其余每小题5分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.2511A17. 解:原式=4×22-22+1+2 …………………………………………………… 4分 =3 ………………………………………………………………………………………5分18.证明：∵BC ＝4，AC ＝8，CD =2.…………………………1分∴BC CD AC BC =………………………………………3分 又∵∠C =∠C ……………………………………4分∴ △BCD ∽△ACB ……………………………………………………………………5分19. 解：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，如图. …………………………1分 ∵在Rt △CDA 中，tan A =AD CD = 43设CD =3x ，AD =4x . ……………………………………………………………………………2分 ∵在Rt △CDB 中，∠B =45° ∴tan B =DB CD = 1,sin B =BCCD =22,……………………………………………………………3分∵CD =3x . ∴BD =3x ，BC =2·3x =32x . 又∵AB =AD+BD =14，∴4x +3x =14，解得x =2.…………………………………………………………………………4分 ∴BC =62. ……………………………………………………………………………………5分 20.解：(1)∵直线3+-=x y 与双曲线xky =相交于点A （m ，2）. ∴ A （1，2）………………………………………1分 ∴xy 2=…………………………………………2分 (2)如图…………………………………………………………4分 (3)P (0，4)或P (2，0) …………………………………………6分1221.解：(1)设这个二次函数的表达式为2()y a x h k =-+. 依题意可知，顶点为（-1，2），………………………1分 ∴ ()212++=x a y .∵图象过点（1，0）， ∴()21102++=a .∴12a =-. ∴这个二次函数的表达式为()21212++-=x y ………2分(2)25-=m .………………………………………………3分 (3)如图…………………………………………………………………………………………5分 (4)x <-3或x >1..…………………………………………………………………………………6分 22.(1)证明：连接OD ，…………………………1分 ∵MD 切⊙O 于点D ，∴OD ⊥MD ， ∵BN ⊥MC ，∴OD ∥BN ，…………………………………2分 ∴∠ADO =∠N ，∵OA =OD ，∴∠OAD =∠ADO ，∴∠OAD =∠N ，∴AB =BN ；………………………………………………………………………………………3分 (2)解：由(1)OD ∥BN ，∴∠MOD =∠B ，………………………………………………………………………………4分 ∴cos ∠MOD =cosB =52， 在Rt △MOD 中，cos ∠MOD ==OMOD， ∵OD =OA ，MO =MA +OA =3+MA ，∴AM +33=52，∴MA =4.5………………………………………………………………………………………5分13D23.解：正确. ………………………………………………………………1分 理由如下： 由做法可知M 为AD 的中点，E 为MD 的中点， ∴AD DE =41. …………………………………………………………2分 ∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=BC ，ED ∥BC . ………………………………………………3分 ∴△DEF ∽△BFC ∴BC DE =BF DF ………………………………………………………..4分 ∵AD =BC ∴BF DF =BC DE =41∴BD DF =51………………………………………………………………………………………5分 24. 解: (1)过D 点作DE ⊥BC 于点E ，可知△CDE 和△DEB 都是直角三角形；…………1分 (2)由∠C =70°，可知sin ∠C 的值，在Rt △CDE 中，由sin ∠C 和DC =a ，可求DE 的长；2分 (3)在Rt △DEB 中,由∠DBC =30°，DE 的长，可求BD 的长………………………………3分 (4)过A 点作AF ⊥BD 于点F ， 可知△DF A 和△AFB 都是直角三角形； …………4分 (5)在Rt △AFB 中,由∠DBA =45°，AB =b ，可求AF 和BF 的长； (6)由DB 、BF 的长，可知DF 的长； (7)在Rt △DF A 中,由DFFA ，可求tan ∠ADB . ………………5分 25.解：(1)1.5……………………………………… ..1分 (2)如图……………………………………………4分 (3)0.7(0.6~0.8均可以) .………………………….5分 . 26. 解：(1)m =1………………………………………………………………………………………1分 n =3………………………………………………………………………………………………2分 (2)由(1)知抛物线表达式为y =x 2-4x -5 令y =0得，x 2-4x -5=0.14解得x 1=-1，x 2=5，……………………………………………………………………………3分 ∴抛物线y =x 2-4x -5与x 轴得两个交点C 、D 的坐标分别为C (-1，0)，D (5，0) ∴CD =6.∵A (2-,7)，AB ∥x 轴交抛物线于点B ，根据抛物线的轴对称性，可知B (6，7)………4分∴S △BCD =21.……………………………………………………………………………………5分(3) 据题意，可知P (t ，-2 t +3)，Q ( t ，t 2-4 t -5),由x 2-4x -5=-2x +3得直线y =-2x +3与抛物线y = x 2-4x -5的两个交点坐标分别为(-2,7)和(4,-5) ……………………………………………………………………………………………6分 ∵点P 在点Q 上方∴-2＜t ＜5, ∴PQ = -t 2+2 t +8=-( t -2) 2+9 ∵a =-1∴PQ 的最大值为9.……………………………………………………………………………7分27.解：(1)如图……………………………………………1分(2) ∵∠BAC =2α，∠AHB =90° ∴∠ABH =90°-2α …………………………………………………………………………… 2分 ∵BA =BD ∴∠BDA =45°+α………………………………………………………………………………3分(3)补全图形，如图………………4分证明过程如下：∵D 关于BC 的对称点为E ，且DE 交BP 于G∴DE ⊥BP ，DG =GE ，∠DBP =∠EBP ，BD =BE ；…………………………………………5分 ∵AB=AC ，∠BAC=2α ∴∠ABC=90°-α 由(2)知∠ABH =90°-2α ∠DBP =90°-α-（90°-2α）=α15∴∠DBP =∠EBP =α ∴∠BDE =2α ∵AB =BD∴△ABC ≌△BDE ………………………………………………………………………………6分 ∴BC =DE∴∠DPB =∠ADB -∠DBP =45°+α-α=45° ∴DP DG =21, ∴DP DE=2, ∴DPBC=2, ∴BC =2DP .………………………………………………………………………………7分 28.解：(1)A 、M . ……………………………………………………………………………………2分 (2)过点P 作PG ⊥x 轴于点G …………………………………………………………………3分 设P （x ，2x ）∵OG 2+PG 2=OP 2 ………………………………………………………………………………4分 ∴x 2+4x 2=1 ∴5x 2=1∴x 2=51∴x =55±∴P (55，552)或P (55-，552-)……………………………………………………5分 (3)r =556或 4117≤<r …………………………………………………………7分更多初中数学资料，初中数学试题精解请微信关注16。

2017-2018学年浙江省杭州市余杭区初三上学期期末数学试卷一、选择题1．（3分）sin30°的值是（）A．B．C．D．2．（3分）下列事件中，属于必然事件的是（）A．打开电视机正在播放广告B．投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面向上的次数为50次C．任意画一个三角形，其内角和为180°D．任意一个二次函数图象与x轴必有交点3．（3分）函数y=x2+2x﹣4的顶点所在象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．（3分）如图，C是圆O上一点，若圆周角∠ACB=36°，则圆心角∠AOB的度数是（）A．18°B．36°C．54°D．72°5．（3分）已知AB=2，点P是线段AB上的黄金分割点，且AP＞BP，则AP的长为（）A．B．C．D．6．（3分）已知（1，y1），（﹣2，y2），（﹣4，y3）是抛物线y=﹣2x2﹣8x﹣m上的点，则（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y1＜y3＜y2D．y3＜y1＜y2 7．（3分）如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中△ABC相似的是（）A．B．C．D．8．（3分）如图，已知圆O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB=CD=16，则OP的长为（）A．6B．C．8D．9．（3分）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，以线段AB为直径的半圆与抛物线在第二象限的交点为C，与y轴交于D点，设∠BCD=α，则的值为（）A．sin2αB．cos2αC．tan2αD．tan﹣2α10．（3分）一堂数学课上老师给出一题：“已知抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），B（，0）（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，若△ABC为等腰三角形，试求出满足条件的k值”．学生求出k值的答案有①；；②；③；④2．则本题满足条件的k的值为（）A．①②④B．①③④C．②D．①②③④二、填空题11．（4分）若7x=3y，则=．12．（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=，则tanB=．13．（4分）为了估计暗箱里白球的数量（箱内只有白球），将5个红球放进去，随机摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再摸出一个球记下颜色，多次重复或发现红球出现的频率约为0.2，那么可以估计暗箱里白球的数量大约为个．14．（4分）如图，AB是圆O的直径，∠A=30°，BD平分∠ABC，CE⊥AB于E，若CD=6，则CE的长为．15．（4分）若函数y=（a﹣2）x2﹣4x+a+1的图象与x轴有且只有一个交点，则a 的值为．16．（4分）如图，矩形ABCD的长为6，宽为4，以D为圆心，DC为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O相交于点F，连接CF并延长交BA的延长线于点H，FH•FC=．三、解答题17．（6分）现如今，“垃圾分类”意识已深入人心，如图是生活中的四个不同的垃圾分类投放桶．其中甲投放了一袋垃圾，乙投放了两袋垃圾．（1）直接写出甲投放的垃圾恰好是“厨余垃圾”的概率；（2）求乙投放的两袋垃圾不同类的概率．18．（8分）如图，一艘舰艇在海面下600米A处测得俯角为30°前下方的海底C 处有黑匣子信号发出，继续在同一深度直线航行2000米后再次在B点处测得俯角为60°前下方的海底C处有黑匣子信号发出，求海底黑匣子C处距离海面的深度（结果保留根号）19．（8分）如图，弧AB的半径R为6cm，弓形的高CD=h 为3cm．求弧AB的长和弓形ADB的面积．20．（10分）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（2，0），直线y=x+m与二次函数的图象交于A，B两点，其中点A在y轴上，B点（8，9）．（1）求二次函数的表达式；（2）Q为线段AB上一动点（不与A，B重合），过点Q作y轴的平行线与二次函数交于点P，设线段PQ长为h，点Q横坐标为x．求①h与x之间的函数关系式；②△ABP面积的最大值．21．（10分）如图，四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，P是线段AB上的一个动点．（1）若AD=2，BC=6，AB=8，且以A，D，P为顶点的三角形与以B，C，P为顶点的三角形相似，求AP的长；（2）若AD=a，BC=b，AB=m，则当a，b，m满足什么关系时，一定存在点P使△ADP∽△BPC？并说明理由．22．（12分）已知二次函数y=x2+2bx+c（1）若b=c，是否存在实数x，使得相应的y的值为1？请说明理由；（2）若b=c﹣2，y在﹣2≤x≤2上的最小值是﹣3，求b的值．23．（12分）已知：如图，AB是圆O的直径，CD是圆O的弦，AB⊥CD，E为垂足，AE=CD=8，F是CD延长线上一点，连接AF交圆O于G，连接AD、DG．（1）求圆O的半径；（2）求证：△ADG∽△AFD；（3）当点G是弧AD的中点时，求△ADG得面积与△AFD的面积比．2017-2018学年浙江省杭州市余杭区初三上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．（3分）sin30°的值是（）A．B．C．D．【解答】解：sin30°=，故选：A．2．（3分）下列事件中，属于必然事件的是（）A．打开电视机正在播放广告B．投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面向上的次数为50次C．任意画一个三角形，其内角和为180°D．任意一个二次函数图象与x轴必有交点【解答】解：A、打开电视机正在播放广告，是随机事件，故此选项错误；B、投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面向上的次数为50次，是随机事件，故此选项错误；C、意画一个三角形，其内角和为180°，是必然事件，故此选项正确；D、任意一个二次函数图象与x轴必有交点，是随机事件，故此选项错误；故选：C．3．（3分）函数y=x2+2x﹣4的顶点所在象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵y=x2+2x﹣4=（x+1）2﹣5，∴抛物线顶点坐标为（﹣1，﹣5），∴顶点在第三象限，故选：C．4．（3分）如图，C是圆O上一点，若圆周角∠ACB=36°，则圆心角∠AOB的度数是（）A．18°B．36°C．54°D．72°【解答】解：∵∠AOB=2∠ACB，∠ACB=36°，∴∠AOB=72°，故选：D．5．（3分）已知AB=2，点P是线段AB上的黄金分割点，且AP＞BP，则AP的长为（）A．B．C．D．【解答】解：由于P为线段AB=2的黄金分割点，且AP＞BP，则AP=×2=﹣1．故选：B．6．（3分）已知（1，y1），（﹣2，y2），（﹣4，y3）是抛物线y=﹣2x2﹣8x﹣m上的点，则（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y1＜y3＜y2D．y3＜y1＜y2【解答】解：抛物线的对称轴为直线x=﹣=﹣2，∵a=﹣2＜0，∴x=﹣2时，函数值最大，又∵1到﹣2的距离比﹣4到﹣2的距离大，∴y1＜y3＜y2．故选：C．7．（3分）如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中△ABC相似的是（）A．B．C．D．【解答】解：已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例．故选：B．8．（3分）如图，已知圆O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB=CD=16，则OP的长为（）A．6B．C．8D．【解答】解：作OE⊥AB交AB与点E，作OF⊥CD交CD于点F，如右图所示，则AE=BE，CF=DF，∠OFP=∠OEP=90°，又∵圆O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB=CD=16，∴∠FPE=90°，OB=10，BE=8，∴四边形OEPF是矩形，OE=6，同理可得，OF=6，∴EP=6，∴OP=，故选：B．9．（3分）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，以线段AB为直径的半圆与抛物线在第二象限的交点为C，与y轴交于D点，设∠BCD=α，则的值为（）A．sin2αB．cos2αC．tan2αD．tan﹣2α【解答】解：连接AD，BD，∵∠BAD与∠BCD是对的圆周角，∴∠BAD=∠BCD=α，∵AB是半圆的直径，∴∠ADB=90°，∴∠BAD+∠ABD=90°，∵∠ODB+∠OBD=90°，∴∠ODB=∠BAD=α，在Rt△AOD中，AO==，在Rt△BOD中，OB=OD•tan∠ODB=OD•tanα，∴==tan2α．故选：C．10．（3分）一堂数学课上老师给出一题：“已知抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），B（，0）（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，若△ABC为等腰三角形，试求出满足条件的k值”．学生求出k值的答案有①；；②；③；④2．则本题满足条件的k的值为（）A．①②④B．①③④C．②D．①②③④【解答】解：如图由题意A（﹣1，0），C（0，﹣2），B（，0）．①当CA=CB时，B（1，0），即=1，k=2；②当AC=AB′=时，B′（﹣1，0），即=﹣1，k=；③当B″A=B″C时，（+1）2=4+（）2，解得k=，故选：B．二、填空题11．（4分）若7x=3y，则=．【解答】解：7x=3y两边都除以7y得，=．故答案为：．12．（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=，则tanB=．【解答】解：如图，因为sinB==所以设AC=2a、AB=3a，则BC==a，所以tanB===，故答案为：．13．（4分）为了估计暗箱里白球的数量（箱内只有白球），将5个红球放进去，随机摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再摸出一个球记下颜色，多次重复或发现红球出现的频率约为0.2，那么可以估计暗箱里白球的数量大约为20个．【解答】解：设暗箱里白球的数量是n，则根据题意得：=0.2，解得：n=20，故答案为：20．14．（4分）如图，AB是圆O的直径，∠A=30°，BD平分∠ABC，CE⊥AB于E，若CD=6，则CE的长为3．【解答】解：∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵∠A=30°，∴∠D=∠A=30°，∠ABC=60°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠ABC=30°，∴∠D=∠CBD，∴CD=CB=6，∵CE⊥AB，∴∠CEB=90°，∴EC=BC•sin60°=3，故答案为3．15．（4分）若函数y=（a﹣2）x2﹣4x+a+1的图象与x轴有且只有一个交点，则a 的值为﹣2或2或3．【解答】解：∵函数y=（a﹣2）x2﹣4x+a+1的图象与x轴有且只有一个交点，当函数为二次函数时，b2﹣4ac=16﹣4（a﹣2）（a+1）=0，解得：a1=﹣2，a2=3，当函数为一次函数时，a﹣2=0，解得：a=2．故答案为：﹣2或2或3．16．（4分）如图，矩形ABCD的长为6，宽为4，以D为圆心，DC为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O相交于点F，连接CF并延长交BA的延长线于点H，FH•FC=．【解答】解：连接BF、OF、OD，OD交CH于K．∵DF=DC，OF=OC，∴OD垂直平分线段CF，∴CK=KF==，OK==，∵OB=OC，CK=KF，∴BF=2OK=，∵BC是直径，∴∠BFC=90°，∵∠CBH=90°，∴∠CBF+∠FCB=90°，∠HBF+∠FBC=90°，∴∠HBF=∠FCB，∵∠BFH=∠BFC=90°，∴△BFH∽△CFB，∴BF2=CF•FH=．故答案为．三、解答题17．（6分）现如今，“垃圾分类”意识已深入人心，如图是生活中的四个不同的垃圾分类投放桶．其中甲投放了一袋垃圾，乙投放了两袋垃圾．（1）直接写出甲投放的垃圾恰好是“厨余垃圾”的概率；（2）求乙投放的两袋垃圾不同类的概率．【解答】解：（1）∵垃圾要按A，B，C、D类分别装袋，甲投放了一袋垃圾，∴甲投放的垃圾恰好是A类：厨余垃圾的概率为：；（2）记这四类垃圾分别为A、B、C、D，画树状图如下：由树状图知，乙投放的垃圾共有16种等可能结果，其中乙投放的两袋垃圾不同类的有12种结果，所以乙投放的两袋垃圾不同类的概率为=．18．（8分）如图，一艘舰艇在海面下600米A处测得俯角为30°前下方的海底C 处有黑匣子信号发出，继续在同一深度直线航行2000米后再次在B点处测得俯角为60°前下方的海底C处有黑匣子信号发出，求海底黑匣子C处距离海面的深度（结果保留根号）【解答】解：由C点向AB作垂线，交AB的延长线于F点，并交海面于H点．已知AB=2000（米），∠BAC=30°，∠FBC=60°，∵∠BCA=∠FBC﹣∠BAC=30°，∴∠BAC=∠BCA．∴BC=BA=2000（米）．在Rt△BFC中，FC=BC•sin60°=2000×=1000（米）．∴CH=CF+HF=100+600（米）．答：海底黑匣子C点处距离海面的深度约为（1000+600）米．19．（8分）如图，弧AB的半径R为6cm，弓形的高CD=h 为3cm．求弧AB的长和弓形ADB的面积．【解答】解：由题意：CO=R﹣h=6﹣3=3（cm）在△BCO中，∵cos∠COB===，∴∠COB=60°，∴∠AOB=60°×2=120°，则==4π（cm）．S弓形ADB=S扇形AOB﹣S△AOB=﹣•6•3=12π﹣9．20．（10分）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（2，0），直线y=x+m与二次函数的图象交于A，B两点，其中点A在y轴上，B点（8，9）．（1）求二次函数的表达式；（2）Q为线段AB上一动点（不与A，B重合），过点Q作y轴的平行线与二次函数交于点P，设线段PQ长为h，点Q横坐标为x．求①h与x之间的函数关系式；②△ABP面积的最大值．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2，把B（8，9）代入得a（8﹣2）2=9，解得a=，∴抛物线解析式为y=（x﹣2）2，即y=x2﹣x+1；（2）①把B（8，9）代入y=x+m得8+m=9，解得m=1，所以直线AB的解析式为y=x+1，设P（x，x2﹣x+1）（0＜x＜8），则Q（x，x+1），∴h=x+1﹣（x2﹣x+1）=﹣x2+2x（0＜x＜8）；=S△APQ+S△BPQ=•PQ•8=﹣4（x2﹣2x）=﹣x2+8x=﹣（x﹣4）2+16，②S△ABP当x=4时，△ABP面积有最大值，最大值为16．21．（10分）如图，四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，P是线段AB上的一个动点．（1）若AD=2，BC=6，AB=8，且以A，D，P为顶点的三角形与以B，C，P为顶点的三角形相似，求AP的长；（2）若AD=a，BC=b，AB=m，则当a，b，m满足什么关系时，一定存在点P使△ADP∽△BPC？并说明理由．【解答】解：（1）设AP=x．∵以A，D，P为顶点的三角形与以B，C，P为顶点的三角形相似，①当=时，=，解得x=2或6．②当=时，=，解得x=2，∴当A，D，P为顶点的三角形与以B，C，P为顶点的三角形相似，AP的值为2或6；（2）设PA=x，∵△ADP∽△BPC，∴=，∴=，整理得：x2﹣mx+ab=0，由题意△≥0，∴m2﹣4ab≥0．∴当a，b，m满足m2﹣4ab≥0时，一定存在点P使△ADP∽△BPC．22．（12分）已知二次函数y=x2+2bx+c（1）若b=c，是否存在实数x，使得相应的y的值为1？请说明理由；（2）若b=c﹣2，y在﹣2≤x≤2上的最小值是﹣3，求b的值．【解答】解：（1）由y=1得x2+2bx+c=1，∴x2+2bx+c﹣1=0∵△=4b2﹣4b+4=（2b﹣1）2+3＞0，则存在两个实数，使得相应的y=1；（2）由b=c﹣2，则抛物线可化为y=x2+2bx+b+2，其对称轴为x=﹣b，①当x=﹣b≤﹣2时，则有抛物线在x=﹣2时取最小值为﹣3，此时﹣3=（﹣2）2+2×（﹣2）b+b+2，解得b=3；②当x=﹣b≥2时，则有抛物线在x=2时取最小值为﹣3，此时﹣3=22+2×2b+b+2，解得b=﹣，不合题意，舍去，③当﹣2＜﹣b＜2时，则=﹣3，化简得：b2﹣b﹣5=0，解得：b1=（不合题意，舍去），b2=．综上：b=3或．23．（12分）已知：如图，AB是圆O的直径，CD是圆O的弦，AB⊥CD，E为垂足，AE=CD=8，F是CD延长线上一点，连接AF交圆O于G，连接AD、DG．（1）求圆O的半径；（2）求证：△ADG∽△AFD；（3）当点G是弧AD的中点时，求△ADG得面积与△AFD的面积比．【解答】解：（1）如图1，连接OC，设⊙O的半径为R，∵AE=8，∴OE=8﹣R，∵直径AB⊥CD，∴∠CEO=90°，CE=CD=4，在Rt△CEO中，根据勾股定理得，R2﹣（8﹣R）2=16，∴R=5，即：⊙O的半径为5；（2）如图2，连接BG，∴∠ADG=∠ABG，∵AB是⊙O的直径，∴∠AGB=90°，∴∠ABG+∠BAG=90°，∴∠ADG+∠BAG=90°，∵AB⊥CD，∴∠BAG+∠F=90°，∴∠ADG=∠F，∵∠DAG=∠FAD，∴△ADG∽△AFD；（3）如图3，在Rt△ADE中，AE=8，DE=CD=4，根据勾股定理得，AD=4，连接OG交AD于H，∵点G是的中点，∴AH=AD=2，OG⊥AD，在Rt△AOH中，根据勾股定理得，OH=，在Rt△AHG中，HG=OG﹣OH=5﹣，根据勾股定理得，AG2=AH2+HG2=50﹣10，∵点G是的中点，∴DG=AG=50﹣10，∴∠DAG=∠ADG，由（2）知，∠ADG=∠F，∴∠DAG=∠F，∴DF=AD=4，由（2）知，△ADG∽△AFD，∴=（）2===．。

2017-2018学年山东省滨州市无棣县初三上学期期末数学试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分在每小题的四个选项中只有一个是正确的，请把正确的选出来）1．（3分）图中几何体的主视图是（）A．B．C．D．2．（3分）若一个三角形三个内角度数的比为1：2：3，那么这个三角形最小角的正切值为（）A．B．C．D．3．（3分）在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣1与坐标轴交点的个数是（）A．3B．2C．1D．04．（3分）一个透明的袋子中只装有5个红球，从中随机摸出一个球是红球（）A．属于随机事件B．可能性大小为C．属于不可能事件D．是必然事件5．（3分）如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB 宽为8cm，水面最深地方的高度为2cm，则该输水管的半径为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm6．（3分）共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆．设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，则所列方程正确的为（）A．1000（1+x）2=1000+440B．1000（1+x）2=440C．440（1+x）2=1000D．1000（1+2x）=1000+4407．（3分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AC、BC上，下列条件中不能判断△CAB∽△CED的是（）A．∠CDE=∠B B．∠CED=∠A C．D．8．（3分）在正方形网格中，△ABC的位置如图，则sin∠B的值为（）A．B．C．D．9．（3分）若二次函数y=x2+bx的图象的对称轴是经过（1，0）且平行于y轴的直线，则关于x的方程x2﹣bx=3的解是（）A．x1=﹣1，x2=﹣3B．x1=1，x2=﹣3C．x1=1，x2=3D．x1=﹣1，x2=310．（3分）如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交于点E，以点C为圆心，OA的长为半径作半圆交CE于点D，若OA=4，则图中阴影部分的面积为（）A．3π﹣B．3π﹣2C．﹣2D．﹣11．（3分）如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，若∠ACD=∠B，AD=1，AC=2，△ADC的面积为1，则△BCD的面积为（）A．1B．2C．3D．412．（3分）如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO=∠ADB=90°，反比例函数y=在第一象限的图象经过点B，则△OAC与△BAD的面积之差S△OAC ﹣S△BAD为（）A．36B．12C．6D．3二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）13．（4分）反比例函数y=的图象经过点（1，6）和（a，﹣2），则a= 14．（4分）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4=0有一个解是0，则m=．15．（4分）分别写有数字0，|﹣2|，﹣4，，﹣5的五张卡片，除数字不同外其它均相同，从中任抽一张，那么抽到非负数的概率是16．（4分）如图，△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且S△ABC=S△DEF，则AB：DE的值为17．（4分）如图，AB是⊙O的弦，AB=8，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB=45°，若点M、N分别是AB、AC的中点，则MN长的最大值是．18．（4分）某数学兴趣小组研究二次函数y=mx2﹣2mx+1（m≠0）的图象时发现：无论m如何变化，该图象总经过两个定点（0，1）和（，）．三、解答题（共7小题，满分60分解答时请写出必要的演推过程）19．（8分）已知关于x的方程x2+ax+a﹣1=0（1）当该方程的一个根为﹣3时，求a的值及该方程的另一根（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个实数根20．（7分）全面两孩政策实施后，甲、乙两个家庭有了各自的规划，假定生男生女的概率相同，回答下列问题：（1）甲家庭已有一个男孩，准备再生一个孩子，则第二个孩子是女孩的概率是；（2）乙家庭没有孩子，准备生两个孩子，求至少有一个孩子是女孩的概率．21．（8分）如图，海丰塔一直以来是无棣县象征性的地标建筑，技术人员利用无人机测量坐标塔的高度，无人机在点C处，测得塔顶A点的俯角为45°，塔底B点俯角为60°，此时无人机与塔身AB的水平距离CD为60米，求海丰塔AB的高（结果保留根号）22．（10分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的半圆交BC于点D，过点D作EF⊥AC于点F，交AB的延长线于点E（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）当BD=5，DF=4时，求直径AB23．（8分）如图所示，在一矩形空地ABCD内建筑一个小的矩形花坛AMPN，要求P在BD上，M，N分别在AB，AD上，已知AB=160米，AD=100米，设AN=x （米）（1）设AM=y，求y与x之间的函数表达式；（2）当AM，AN的长度分别是多少时，花坛AMPN的面积最大？并求出最大面积24．（9分）如图，直线y=ax+1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与双曲线y=（x＞0）相交于点P，PC⊥x轴于点C，且PC=2，点A的坐标为（﹣2，0）．（1）求双曲线的解析式；（2）若点Q为双曲线上点P右侧的一点，且QH⊥x轴于H，当以点Q、C、H 为顶点的三角形与△AOB相似时，求点Q的坐标．25．（10分）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．2017-2018学年山东省滨州市无棣县初三上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分在每小题的四个选项中只有一个是正确的，请把正确的选出来）1．（3分）图中几何体的主视图是（）A．B．C．D．【解答】解：从正面看应得到第一层有3个正方形，第二层从左面数第1个正方形上面有1个正方形，故选：D．2．（3分）若一个三角形三个内角度数的比为1：2：3，那么这个三角形最小角的正切值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵三角形三个内角度数的比为1：2：3，∴设三个内角分别为k、2k、3k，∴k+2k+3k=180°，解得k=30°，最小角的正切值=tan30°=．故选：C．3．（3分）在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣1与坐标轴交点的个数是（）A．3B．2C．1D．0【解答】解：当x=0时，y=x2﹣1=﹣1，∴抛物线y=x2﹣1与y轴交于点（0，﹣1）；当y=x2﹣1=0时，x=±1，∴抛物线y=x2﹣1与x轴交于点（﹣1，0）、（1，0）．∴抛物线y=x2﹣1与坐标轴有三个交点．故选：A．4．（3分）一个透明的袋子中只装有5个红球，从中随机摸出一个球是红球（）A．属于随机事件B．可能性大小为C．属于不可能事件D．是必然事件【解答】解：一个透明的袋子中只装有5个红球，从中随机摸出一个球是红球是必然事件．故选：D．5．（3分）如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB 宽为8cm，水面最深地方的高度为2cm，则该输水管的半径为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【解答】解：如图所示：过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，∵OD⊥AB，∴AD=AB=×8=4cm，设OA=r，则OD=r﹣2，在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2，即r2=（r﹣2）2+42，解得r=5cm．故选：C．6．（3分）共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆．设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，则所列方程正确的为（）A．1000（1+x）2=1000+440B．1000（1+x）2=440C．440（1+x）2=1000D．1000（1+2x）=1000+440【解答】解：由题意可得，1000（1+x）2=1000+440，故选：A．7．（3分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AC、BC上，下列条件中不能判断△CAB∽△CED的是（）A．∠CDE=∠B B．∠CED=∠A C．D．【解答】解：A、∵∠CDE=∠B，∠C=∠C，∴△CAB∽△CED，∴选项A能判断△CAB∽△CED；B、∵∠CED=∠A，∠C=∠C，∴△CAB∽△CED，∴选项B能判断△CAB∽△CED；C、∵，∠C=∠C，∴△CAB∽△CED，∴选项C能判断△CAB∽△CED；D、由，∠C=∠C，不能判断△CAB∽△CED；故选：D．8．（3分）在正方形网格中，△ABC的位置如图，则sin∠B的值为（）A．B．C．D．【解答】解：AB==4，则sin∠B==．故选：B．9．（3分）若二次函数y=x2+bx的图象的对称轴是经过（1，0）且平行于y轴的直线，则关于x的方程x2﹣bx=3的解是（）A．x1=﹣1，x2=﹣3B．x1=1，x2=﹣3C．x1=1，x2=3D．x1=﹣1，x2=3【解答】解：∵二次函数y=x2+bx的图象的对称轴是经过点（1，0）且平行于y 轴的直线，∴抛物线的对称轴为直线x=1，则﹣=1，解得：b=﹣2，∴x2﹣bx=3即为x2+2x=3，则（x+3）（x﹣1）=0，解得：x1=﹣3，x2=1．故选：B．10．（3分）如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交于点E，以点C为圆心，OA的长为半径作半圆交CE于点D，若OA=4，则图中阴影部分的面积为（）A．3π﹣B．3π﹣2C．﹣2D．﹣【解答】解：连接OE，如图所示：∵C为OA的中点，CE⊥OA且OA=4，∴OC=2，∴cos∠EOC==，CE==2，∴∠COE=60°．∵∠AOB=90°，∴∠BOE=30°，∴S阴影=S扇形AOB﹣S扇形ACD﹣S扇形BOE﹣S△COE=﹣﹣﹣×2×2=﹣2．故选：C．11．（3分）如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，若∠ACD=∠B，AD=1，AC=2，△ADC的面积为1，则△BCD的面积为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴=（）2=．∵S△ACD=1，∴S△ABC=4，S△BCD=S△ABC﹣S△ACD=3．故选：C．12．（3分）如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO=∠ADB=90°，反比例函数y=在第一象限的图象经过点B，则△OAC与△BAD的面积之差S△OAC ﹣S△BAD为（）A．36B．12C．6D．3【解答】解：设△OAC和△BAD的直角边长分别为a、b，则点B的坐标为（a+b，a﹣b）．∵点B在反比例函数y=的第一象限图象上，∴（a+b）×（a﹣b）=a2﹣b2=6．∴S△OAC ﹣S△BAD=a2﹣b2=（a2﹣b2）=×6=3．故选：D．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）13．（4分）反比例函数y=的图象经过点（1，6）和（a，﹣2），则a=﹣3【解答】解：∵反比例函数y=的图象经过点（1，6），∴k=6，∴y=，∵反比例函数y=的图象经过点（a，﹣2），∴﹣2=，∴a=﹣3．故答案为﹣314．（4分）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4=0有一个解是0，则m=﹣2．【解答】解：把x=0代入一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4=0，得m2﹣4=0，即m=±2．又m﹣2≠0，m≠2，取m=﹣2．故答案为：m=﹣2．15．（4分）分别写有数字0，|﹣2|，﹣4，，﹣5的五张卡片，除数字不同外其它均相同，从中任抽一张，那么抽到非负数的概率是【解答】解：∵|﹣2|=2，=2，∴在分别写有数字0，|﹣2|，﹣4，，﹣5的五张卡片中，非负数是0，|﹣2|，，共3个，∴从中任意抽取一张，抽到非负数的概率是．故答案为．16．（4分）如图，△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且S△ABC=S△DEF，则AB：DE的值为2：3【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且S=S△DEF，△ABC∴=，∴AB：DE的值为：2：3．故答案为：2：3．17．（4分）如图，AB是⊙O的弦，AB=8，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB=45°，若点M、N分别是AB、AC的中点，则MN长的最大值是4．【解答】解：如图，∵点M，N分别是AB，AC的中点，∴MN=BC，∴当BC取得最大值时，MN就取得最大值，当BC是直径时，BC最大，连接BO并延长交⊙O于点C′，连接AC′，∵BC′是⊙O的直径，∴∠BAC′=90°．∵∠ACB=45°，AB=8，∴∠AC′B=45°，∴BC′=，=4．∴MN最大故答案为：418．（4分）某数学兴趣小组研究二次函数y=mx2﹣2mx+1（m≠0）的图象时发现：无论m如何变化，该图象总经过两个定点（0，1）和（2，1）．【解答】解：∵原函数化为y=mx（x﹣2）+1的形式，∴当x=0或x﹣2=0时函数值与m值无关，∵当x=0时，y=1；当x=2时，y=1，∴两定点坐标为：（0，1），（2，1）．故答案为：2，1．三、解答题（共7小题，满分60分解答时请写出必要的演推过程）19．（8分）已知关于x的方程x2+ax+a﹣1=0（1）当该方程的一个根为﹣3时，求a的值及该方程的另一根（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个实数根【解答】（1）解：将x=﹣3代入原方程，得：9﹣3a+a﹣1=0，解得：a=4，∴方程的另一根为﹣a﹣（﹣3）=﹣4+3=﹣1．答：a的值为4，方程的另一根为﹣1．（2）证明：∵△=a2﹣4（a﹣1）=a2﹣4a+4=（a﹣2）2≥0，即△≥0，∴不论a取何实数，该方程都有两个实数根．20．（7分）全面两孩政策实施后，甲、乙两个家庭有了各自的规划，假定生男生女的概率相同，回答下列问题：（1）甲家庭已有一个男孩，准备再生一个孩子，则第二个孩子是女孩的概率是；（2）乙家庭没有孩子，准备生两个孩子，求至少有一个孩子是女孩的概率．【解答】解：（1）第二个孩子是女孩的概率=；故答案为；（2）画树状图为：共有4种等可能的结果数，其中至少有一个孩子是女孩的结果数为3，所以至少有一个孩子是女孩的概率=．21．（8分）如图，海丰塔一直以来是无棣县象征性的地标建筑，技术人员利用无人机测量坐标塔的高度，无人机在点C处，测得塔顶A点的俯角为45°，塔底B点俯角为60°，此时无人机与塔身AB的水平距离CD为60米，求海丰塔AB的高（结果保留根号）【解答】解：在Rt△ADC中，∵∠ACD=45°，CD=60米，∴AD=CD=60米，在Rt△BCD中，∵∠BCD=60°，CD=60米，∴BD=CDtan∠BCD=60米，则AB=BD﹣AD=60﹣60（米），答：海丰塔AB的高为（60﹣60）米．22．（10分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的半圆交BC于点D，过点D作EF⊥AC于点F，交AB的延长线于点E（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）当BD=5，DF=4时，求直径AB【解答】（1）证明：连结OD．∵EF⊥AC，∴∠DFA=90°，∵AB=AC，∴∠1=∠C，∵OB=OD，∴∠1=∠2，∴∠2=∠C，∴OD∥AC，∴∠EDO=∠DFA=90°，即OD⊥EF．∴EF是⊙O的切线；（2）解：连结AD，∵AB是直径∴AD⊥BC，又AB=AC，在Rt△CFD中，DF=4，∴CF==3，在Rt△CFD中，DF⊥AC，∴△CFD∽△DFA，∴=，即AF==，∴AC=CF+AF=3+=，∴AB=AC=．23．（8分）如图所示，在一矩形空地ABCD内建筑一个小的矩形花坛AMPN，要求P在BD上，M，N分别在AB，AD上，已知AB=160米，AD=100米，设AN=x （米）（1）设AM=y，求y与x之间的函数表达式；（2）当AM，AN的长度分别是多少时，花坛AMPN的面积最大？并求出最大面积【解答】解：（1）∵四边形AMPN是矩形，∴PN∥AB，PN=AM，∴△DNP∽△DAB．∵AB=160，AD=100，AN=x，AM=y，∴=．∴y=﹣x+160．（2）设花坛AMPN的面积为S，则S=xy=x（﹣x+160）=﹣（x﹣50）2+4000．∵﹣＜0，∴当x=50时，S有最大值，S=4000．最大值即当AM=80m，AN=50m时，花坛AMPN的最大面积为4000m2．24．（9分）如图，直线y=ax+1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与双曲线y=（x＞0）相交于点P，PC⊥x轴于点C，且PC=2，点A的坐标为（﹣2，0）．（1）求双曲线的解析式；（2）若点Q为双曲线上点P右侧的一点，且QH⊥x轴于H，当以点Q、C、H 为顶点的三角形与△AOB相似时，求点Q的坐标．【解答】解：（1）把A（﹣2，0）代入y=ax+1中，求得a=，∴y=x+1，由PC=2，把y=2代入y=x+1中，得x=2，即P（2，2），把P代入y=得：k=4，则双曲线解析式为y=；（2）设Q（m，n），∵Q（m，n）在y=上，∴n=，当△QCH∽△BAO时，可得=，即=，∴m﹣2=2n，即m﹣2=，解得：m=4或m=﹣2（舍去），∴Q（4，1）；当△QCH∽△ABO时，可得=，即=，整理得：2a﹣4=，解得：a=1+或a=1﹣（舍），∴Q（1+，2﹣2）．综上，Q（4，1）或Q（1+，2﹣2）．25．（10分）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=a （x +4）（x ﹣2），将B （0，﹣4）代入得：﹣4=﹣8a ，即a=，则抛物线解析式为y=（x +4）（x ﹣2）=x 2+x ﹣4；（2）过M 作MN ⊥x 轴，将x=m 代入抛物线得：y=m 2+m ﹣4，即M （m ，m 2+m ﹣4），∴MN=|m 2+m ﹣4|=﹣m 2﹣m +4，ON=﹣m ，∵A （﹣4，0），B （0，﹣4），∴OA=OB=4，∴△AMB 的面积为S=S △AMN +S 梯形MNOB ﹣S △AOB=×（4+m ）×（﹣m 2﹣m +4）+×（﹣m ）×（﹣m 2﹣m +4+4）﹣×4×4=2（﹣m 2﹣m +4）﹣2m ﹣8=﹣m 2﹣4m=﹣（m +2）2+4，当m=﹣2时，S 取得最大值，最大值为4．。

2017-2018学年浙江省湖州市南浔区初三上学期期末数学试卷一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）已知⊙O的半径为3cm，点O到直线l的距离为4cm，则l与⊙O的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．不能确定2．（3分）一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的5个红球和3个黄球，从中随机摸出一个，则摸到红球的概率是（）A．B．C．D．3．（3分）若将抛物线y=5x2先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为（）A．y=5（x﹣2）2+1B．y=5（x+2）2+1C．y=5（x﹣2）2﹣1D．y=5（x+2）2﹣14．（3分）如图，在⊙O中，∠BOC=100°，则∠A等于（）A．100°B．50°C．40°D．25°5．（3分）已知△MNP如图所示，则下列四个三角形中与△MNP相似的是（）A．B．C．D．6．（3分）如图，已知AB是⊙O的切线，B为切点，AO与⊙O交于点C，若∠BAO=40°，则∠OCB的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．65°7．（3分）如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，则sinA的值为（）A．B．C．D．8．（3分）如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，则下列结论中正确的是（）A．AC=AB B．∠C=∠BOD C．∠C=∠B D．∠A=∠BOD 9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为（）A．B．C．D．210．（3分）如图，已知像这样由7个全等的正六边形组成的图形叫做“二环蜂窝”，每个正六边形的顶点叫做格点，顶点都在格点上的三角形叫做格点三角形．已知△ABC为该二环蜂窝一个格点三角形，则在该二环蜂窝中，以点A为顶点且与△ABC相似（包括全等但不与△ABC重合）的格点三角形最多能作的个数为（）A．18B．23C．25D．28二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）对于二次函数y=（x+1）2﹣5的最小值是12．（4分）已知圆的半径是6cm，则120°的圆心角所对的弧长是cm．13．（4分）如图，“石头、剪子、布”是民间广为流传的游戏．“剪刀石头布”比赛时双方每次任意出“剪刀”、“石头”、“布”这三种手势中的一种，规则为：剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀，若双方出现相同手势，则算打平．若小刚和小明两人只比赛一局，那么两人打平的概率P=．14．（4分）如图，有一个晾衣架放置在水平地面上，在其示意图中，支架OA、OB的长均为100cm，支架OA与水平晾衣架OC的夹角∠AOC为59°，则支架两个着地点之间的距离AB为cm．（参考数据：sin59°≈0.86，cos59°≈0.52，tan59°≈1.66）15．（4分）如图，已知⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F，若∠E+∠F=70°，则∠A的度数是16．（4分）已知当x1=a、x2=b、x3=c时，二次函数y=﹣x2+kx对应的函数值分别为y1、y2、y3，若正整数a、b、c恰好是一个三角形的三边长，且当a＜b ＜c时，都有y1＞y2＞y3，则实数k的取值范围是．三、解答题（本题有8小题，共66分）17．（6分）计算：sin30°+tan260°﹣cos45°．18．（6分）有2个信封，每个信封内各装有四张卡片，其中一个信封内的四张卡片上分别写有1、2、3、4四个数，另一个信封内的四张卡片分别写有5、6、7、8四个数，甲、乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个信封中各随机抽取一张卡片，然后把卡片上的两个数相乘，如果得到的积大于20，则甲获胜，否则乙获胜．（1）请你通过列表（或画树状图）计算甲获胜的概率．（2）你认为这个游戏公平吗？为什么？19．（6分）如图，已知在边长相等的小正方形组成的网格中，点A，B，C均在格点上，连接BC．（1）求tan∠ABC的值；（2）在网格中，用无刻度直尺，画出∠CBD，使tan∠CBD=．20．（8分）如图，二次函数y=（x+2）2+m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（﹣1，0）及点B．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围．21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点O在AB上，经过点A 的⊙O与BC相切于点D，交AB于点E．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若CD=2，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．22．（10分）林场要建一个果园（矩形ABCD），果园的一面靠墙（墙最大可用长度为30米），另三边用木栏围成，中间EF也用木栏隔开，分为甲、乙两个场地，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏），木栏总长57米．设果园（矩形ABCD）的宽AB为x米，矩形ABCD的面积为S平方米．（1）求S关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．（2）求果园能达到的最大面积S及相应x的值．（3）若木栏BF比CF多10米，其余条件不变，甲场地种植葡萄，一季平均每平方米收益40元；乙场地种植益莓，一季平均每平方米收益160元．问该果园一季能达到的最大收益W为多少元？23．（10分）如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，动点M以每秒2个单位的速度从点A出发，沿着A→B→C的方向运动，当点M到达点C 时，运动停止．点N是点M关于点B的对称点，过点M作MQ⊥AC于点Q，以MN，MQ为边作▱MNPQ，设点M的运动时间为t秒．（1）分别求当t=2和t=5时，线段MN的长；（2）是否存在这样的t的值，使得▱MNPQ为菱形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；（3）作点P关于直线MQ的对称点P'，当点P'落在△ABC内部时，请直接写出t的取值范围．24．（12分）已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，如图1，直角三角板△MON中，OM=ON=，OQ=1，直线l过点N和点N，抛物线y=ax2+x+c 过点Q和点N．（1）求出该抛物线的解析式；（2）已知点P是抛物线y=ax2+x+c上的一个动点．①初步尝试若点P在y轴右侧的该抛物线上，如图2，过点P作PA⊥y轴于点A，问：是否存在点P，使得以N、P、A为顶点的三角形与△ONQ相似．若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；②深入探究若点P在第一象限的该抛物线上，如图3，连结PQ，与直线MN交于点G，以QG为直径的圆交QN于点H，交x轴于点R，连结HR，求线段HR的最小值．2017-2018学年浙江省湖州市南浔区初三上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）已知⊙O的半径为3cm，点O到直线l的距离为4cm，则l与⊙O的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．不能确定【解答】解：∵⊙0的半径为3cm，点O到直线l的距离为4cm，∴d＞r∴l与⊙0的位置关系相离．故选：A．2．（3分）一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的5个红球和3个黄球，从中随机摸出一个，则摸到红球的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：袋中共有5+3=8（个）两种不同颜色的球，随机从袋中取一个球的所有可能结果为m=8，取到红球的结果n=5，=．所以P（取到红球）故选：D．3．（3分）若将抛物线y=5x2先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为（）A．y=5（x﹣2）2+1B．y=5（x+2）2+1C．y=5（x﹣2）2﹣1D．y=5（x+2）2﹣1【解答】解：y=5x2先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为y=5（x﹣2）2+1，故选：A．4．（3分）如图，在⊙O中，∠BOC=100°，则∠A等于（）A．100°B．50°C．40°D．25°【解答】解：∵∠BOC=100°，∴∠A=∠BOC=50°．故选：B．5．（3分）已知△MNP如图所示，则下列四个三角形中与△MNP相似的是（）A．B．C．D．【解答】解：第三个图与△MNP三角对应相等，所以两个三角形相似．故选C．6．（3分）如图，已知AB是⊙O的切线，B为切点，AO与⊙O交于点C，若∠BAO=40°，则∠OCB的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．65°【解答】解：∵AB是⊙O的切线，B为切点，∴OB⊥AB，即∠OBA=90°，∵∠BAO=40°，∴∠O=50°，∵OB=OC，∴∠OCB=（180°﹣∠O）=65°．故选：D．7．（3分）如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，则sinA的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，∴AB=5；∴sinA==．故选：C．8．（3分）如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，则下列结论中正确的是（）A．AC=AB B．∠C=∠BOD C．∠C=∠B D．∠A=∠BOD 【解答】解：A、根据垂径定理不能推出AC=AB，故A选项错误；B、∵直径CD⊥弦AB，∴=，∵对的圆周角是∠C，对的圆心角是∠BOD，∴∠BOD=2∠C，故B选项正确；C、不能推出∠C=∠B，故C选项错误；D、不能推出∠A=∠BOD，故D选项错误；故选：B．9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为（）A．B．C．D．2【解答】解：∵∠ACB=90°，BC=3，AC=4，根据勾股定理得：AB=5，而AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，∴∠BDE=90°，∠B=∠B，∴△ACB∽△EDB，∴BC：BD=AB：（BC+CE），又BC=3，AC=4，AB=5，∴3：2.5=5：（3+CE），从而得到CE=．故选：B．10．（3分）如图，已知像这样由7个全等的正六边形组成的图形叫做“二环蜂窝”，每个正六边形的顶点叫做格点，顶点都在格点上的三角形叫做格点三角形．已知△ABC为该二环蜂窝一个格点三角形，则在该二环蜂窝中，以点A为顶点且与△ABC相似（包括全等但不与△ABC重合）的格点三角形最多能作的个数为（）A．18B．23C．25D．28【解答】解：∵7个全等的正六边形，∴△ABC三个内角分别为30°，60°，90°，①如图1，与△ABC全等时，在正六边形ADEFGH中，以AF为斜边的有4个：△AFG，△AFH，△AFE，△AFD，以DG为斜边的有△ADG，以EH为斜边的有△AEH，同理另外以点A为顶点的两个正六边形各有6个全等的三角形，去掉△ABC本身，所以一共有17个三角形；②如图2，与△ABC相似的，以AA'为斜边的有4个，以AD为斜边的有4个，以C'B'为斜边的有△AB'C'，以BB'为斜边的有△ABB'，以D'H为斜边的有△AHD'，所以一共有11个，综上所述，以点A为顶点且与△ABC相似（包括全等但不与△ABC重合）的格点三角形最多能作的个数为：17+11=28（个）；故选：D．二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）对于二次函数y=（x+1）2﹣5的最小值是﹣5【解答】解：二次函数y=（x+1）2﹣5的最小值是﹣5．故答案为：﹣5．12．（4分）已知圆的半径是6cm，则120°的圆心角所对的弧长是4πcm．【解答】解：由题意知，r=6cm，n=120，∴l===4π，故答案为：4π．13．（4分）如图，“石头、剪子、布”是民间广为流传的游戏．“剪刀石头布”比赛时双方每次任意出“剪刀”、“石头”、“布”这三种手势中的一种，规则为：剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀，若双方出现相同手势，则算打平．若小刚和小明两人只比赛一局，那么两人打平的概率P=．【解答】解：画树状图得：∵共有9种等可能的结果，两人打平的有3种情况，∴两人打平的概率P=．故答案为：．14．（4分）如图，有一个晾衣架放置在水平地面上，在其示意图中，支架OA、OB的长均为100cm，支架OA与水平晾衣架OC的夹角∠AOC为59°，则支架两个着地点之间的距离AB为104cm．（参考数据：sin59°≈0.86，cos59°≈0.52，tan59°≈1.66）【解答】解：作OD⊥AB于点D，∵OA=OB∴AD=BD∵OC∥AB∴∠OAB=59°，在Rt△AOD中，AD=OA•cos59°，∴AB=2AD=2OA•cos59°=2×100×0.52≈104cm．答：支架两个着地点之间的距离AB约为104cm．故答案为：10415．（4分）如图，已知⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F，若∠E+∠F=70°，则∠A的度数是55°【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠A=∠BCF，∵∠EBF=∠A+∠E，而∠EBF=180°﹣∠BCF﹣∠F，∴∠A+∠E=180°﹣∠BCF﹣∠F，∴∠A+∠E=180﹣∠A﹣∠F，即2∠A=180°﹣（∠E+∠F）=110°，∴∠A=55°，故答案为：55°．16．（4分）已知当x1=a、x2=b、x3=c时，二次函数y=﹣x2+kx对应的函数值分别为y1、y2、y3，若正整数a、b、c恰好是一个三角形的三边长，且当a＜b ＜c时，都有y1＞y2＞y3，则实数k的取值范围是k＜．【解答】解：∵若正整数a、b、c恰好是一个三角形的三边长，且当a＜b＜c时∴a最小是2，b最小是3∵当a＜b＜c时，都有y1＞y2＞y3∴根据二次函数的增减性和对称性知，二次函数y=﹣x2+kx的对称轴在2，3之间，且偏向2∴﹣＜∴k＜故答案为：k＜三、解答题（本题有8小题，共66分）17．（6分）计算：sin30°+tan260°﹣cos45°．【解答】解：原式=+3﹣1=2．18．（6分）有2个信封，每个信封内各装有四张卡片，其中一个信封内的四张卡片上分别写有1、2、3、4四个数，另一个信封内的四张卡片分别写有5、6、7、8四个数，甲、乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个信封中各随机抽取一张卡片，然后把卡片上的两个数相乘，如果得到的积大于20，则甲获胜，否则乙获胜．（1）请你通过列表（或画树状图）计算甲获胜的概率．（2）你认为这个游戏公平吗？为什么？【解答】解：（1）利用列表法得出所有可能的结果，如下表：123455101520661218247714212888162432由上表可知，该游戏所有可能的结果共16种，其中两卡片上的数字之积大于20的有5种，所以甲获胜的概率为P甲=．（2）这个游戏对双方不公平，因为甲获胜的概率P甲=，乙获胜的概率P乙=，∵P甲≠P乙，∴游戏对双方是不公平的．19．（6分）如图，已知在边长相等的小正方形组成的网格中，点A，B，C均在格点上，连接BC．（1）求tan∠ABC的值；（2）在网格中，用无刻度直尺，画出∠CBD，使tan∠CBD=．【解答】解：（1）如图，在Rt△BCE中，tan∠ABC==；（2）如图所示，tan∠CBD=．20．（8分）如图，二次函数y=（x+2）2+m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（﹣1，0）及点B．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围．【解答】解：（1）∵抛物线y=（x+2）2+m经过点A（﹣1，0），∴0=1+m，∴m=﹣1，∴抛物线解析式为y=（x+2）2﹣1=x2+4x+3，∴点C坐标（0，3），∵对称轴x=﹣2，B、C关于对称轴对称，∴点B坐标（﹣4，3），∵y=kx+b经过点A、B，∴，解得，∴一次函数解析式为y=﹣x﹣1，（2）由图象可知，写出满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围为x≤﹣4或x≥﹣1．21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点O在AB上，经过点A 的⊙O与BC相切于点D，交AB于点E．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若CD=2，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．【解答】（1）证明：连结OD，∵BC是⊙O的切线，∴∠ODB=90°=∠C，∴OD∥AC，∴∠ODA=∠DAC，∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD，∴∠CAD=∠OAD，即AD平分∠BAC；（2）解：过O作OH⊥AC于H，则△AOH是等腰直角三角形．∵CD=2，∴OD=OA=BD=2，∴△ODB 的面积是4，∵扇形ODE的面积是=π，阴影部分面积是4﹣π．22．（10分）林场要建一个果园（矩形ABCD），果园的一面靠墙（墙最大可用长度为30米），另三边用木栏围成，中间EF也用木栏隔开，分为甲、乙两个场地，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏），木栏总长57米．设果园（矩形ABCD）的宽AB为x米，矩形ABCD的面积为S平方米．（1）求S关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．（2）求果园能达到的最大面积S及相应x的值．（3）若木栏BF比CF多10米，其余条件不变，甲场地种植葡萄，一季平均每平方米收益40元；乙场地种植益莓，一季平均每平方米收益160元．问该果园一季能达到的最大收益W为多少元？【解答】解：（1）由题意可知，∵AB=x，∴BC=60﹣3x．∴S=x（60﹣3x）=﹣3x2+60x．由BC=60﹣3x≤30，且60﹣3x＞0，可得自变量x的取值范围是：10≤x＜20．（2）因为S=﹣3x2+60x=﹣3（x﹣10）2+300，=300m2．所以x=﹣=10m时，S最大值（3）∵BC=60﹣3x，即BF+CF=60﹣3x，∴BF=+5=35﹣1.5x，CF=﹣5=25﹣1.5x．∴W=40x•（35﹣1.5x）+160x•（25﹣1.5x）=﹣300x2+5400x （10≤x＜），x=﹣=9，但不在取值范围内，由函数增减性可知，当x=10m时，W=24000元．最大答：该果园一季能达到的最大收益W为24000元．23．（10分）如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，动点M以每秒2个单位的速度从点A出发，沿着A→B→C的方向运动，当点M到达点C 时，运动停止．点N是点M关于点B的对称点，过点M作MQ⊥AC于点Q，以MN，MQ为边作▱MNPQ，设点M的运动时间为t秒．（1）分别求当t=2和t=5时，线段MN的长；（2）是否存在这样的t的值，使得▱MNPQ为菱形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；（3）作点P关于直线MQ的对称点P'，当点P'落在△ABC内部时，请直接写出t的取值范围．【解答】解（1）由题意得t=2，AM=4，MB=2，∵M、N关于点B对称，∴BM=BN，∴MN=2BM=4t=5，AB+BM=10，AB=6，MB=4，∴MN=2BM=8．（2）情况一：当点M在边AB上时，如图1，由△AQM∽△ABC，可得=，∵AM=2t，AB=6，BC=8，AC=10．∴QM=t，BM=6﹣2t，MN=12﹣4t．QM=MN时，即=12﹣4t，解得t=．情况二：当点M在边BC上时，如图2，△CMQ∽△CAB，∴=，∴=，∴MQ=（14﹣2t），∵MN=MQ，∴2（2t﹣6）=（14﹣2t），解得：t=综上，当t=或时，四边形MNPQ为菱形．（3）如图3中，当点P关于QM的对称点P′落在线段AB上时，易证四边形PQP′M是菱形，∴PP′⊥MQ，∵MQ⊥AC，∴PP′∥AC，∵PQ∥AP′∴四边形AQPP′是平行四边形，∴AP′=PQ=MP′=MN，∴AM=2MN，∴2t=2（6﹣2t）∴t=2，∴2＜t＜3时，当点P'落在△ABC内部．如图4中，当点P的对称点落在线段BC上时，易证四边形PQP′M是菱形，可得P′M=P′Q=CP′=MN，∴BM+CM=8，∴2t﹣6+2（4t﹣12）=8，解得t=，∴3＜t＜时，当点P'落在△ABC内部．综上所述，2＜t＜3或3＜t＜时，当点P'落在△ABC内部．24．（12分）已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，如图1，直角三角板△MON中，OM=ON=，OQ=1，直线l过点N和点N，抛物线y=ax2+x+c 过点Q和点N．（1）求出该抛物线的解析式；（2）已知点P是抛物线y=ax2+x+c上的一个动点．①初步尝试若点P在y轴右侧的该抛物线上，如图2，过点P作PA⊥y轴于点A，问：是否存在点P，使得以N、P、A为顶点的三角形与△ONQ相似．若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；②深入探究若点P在第一象限的该抛物线上，如图3，连结PQ，与直线MN交于点G，以QG为直径的圆交QN于点H，交x轴于点R，连结HR，求线段HR的最小值．【解答】解（1）由题意可知，Q（﹣1，0），N（0，）．∴c=，即y=ax2+x+．将Q（﹣1，0）代入解析式得0=a﹣+，解得a=﹣．∴抛物线解析式是y=﹣x2+x+．（2）①分三种情况，如图2，情况一：点P在第一象限时，△APN∽△ONQ，设AN=m，则AP=m，则P的坐标（m，m+），而点P在抛物线上，代入可得m+=﹣（m）2++（m）+，解得m=．∴P1（1，）；情况二：点P恰好在x轴上，P2（3，0）．情况三：P在第四象限内，同情况一方法可解得P3（5，﹣4）．②连结CH和CR，如图3，∵∠NQ0=60°，∴∠HCR=120°，∵CH=CR，∴HR=CH．∴HR最小时，只需要半径最小，即直径最小即可．∴过Q作NM的垂线，垂直时，QG最小．∴用面积法求出，QG=，HR最小值=．。