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说课稿平面向量的数量积
数学组徐晓飞
【教材分析】
两个向量的数量积是中学代数以往内容中从未遇到过的一种新的乘法，它区别于数的乘法．这篇案例从学生熟知的功的概念出发，引出平面向量数量积的概念和性质及其几何意义，介绍向量数量积的运算律．向量的数量积把向量的长度和三角函数联系在一起，这为解决三角形的有关问题提供了方便，特别是能有效解决线段的垂直等问题．这节内容是整个向量部分的重要内容之一，对它的理解与掌握将直接影响向量其他内容的学习．这节内容的教学难点是对平面向量数量积的定义及运算律的理解和对平面向量数量积的应用．
【教学目标】
1. 理解并掌握平面向量的数量积、几何意义会初步使用平面向量的数量积来处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件．
2. 通过对数量积的引入和应用，初步体会知识发生、发展的过程和运用过程，培养学生的科学思维习惯．
【教学重点】平面向量数量积的概念
【教学难点】平面向量数量积的定义及运算律的理解，平面向量数量积的应用
【教学方法】启发、合作探究式
【教具】多媒体、投影仪
【课时】1课时
任务分析
两个向量的数量积从形式和实质上都与数的乘法有区别，这就给理解和掌握这个概念带来了一些困难．在学习时，要充分让学生理解、明白两个向量的数量积是一个数量，而不是向量．两个向量的数量积的值是这两个向量的模与两个向量夹角余弦的乘积，其符号由夹角余弦值的正负而确定．
两向量的数量积“a·b”不同于两实数之积“ab”．
通过实例理解a·b＝b·c与a＝c的关系，a·b＝0与a＝0或b＝0的关系，以及（a·b）c ＝a（b·c）与（ab）c＝a（bc）的不同．
【教学过程】
一、问题情景
如图40-1所示，一个力f 作用于一个物体，使该物体发生了位移s ，如何计算这个力所做的功．由于图示的力f 的方向与前进方向有一个夹角θ，真正使物体前进的力是f 在物体前进方向上的分力，这个分力与物体位移的乘积才是力f 做的功．即力f 使物体位移S 所做的功W 可用下式计算．
W ＝｜s ｜｜f ｜cosθ．
其中｜f ｜cosθ就是f 在物体前进方向上的分量，也就是力f 在物体前进方向上正射影的数量．
问题：像功这样的数量值，它由力和位移两个向量来确定．我们能否从中得到启发，把“功”看成这两个向量的一种运算的结果呢？
二、建立模型
1. 引导学生从“功”的模型中得到如下概念：
已知两个非零向量a 与b ，把数量｜a ｜｜b ｜cosθ叫a 与b 的数量积，记作a·b ＝｜a ｜｜b ｜cosθ．其中θ是a 与b 夹角，｜a ｜cosθ（｜b ｜cosθ）叫a 在b 方向上（b 在a 方向上）的投影．
规定：0向量与任一向量的数量积为０．
由上述定义可知（1）两个向量ａ与ｂ的数量积是一个实数．
（2）个向量的数量积写成a ⋅b ；符号“· ”在向量运算中不是乘号，既
不能省略，也不能用“×”代替.
（3）当θ＝2
π时，称a 和b 垂直，记作a ⊥b ． （4）“投影”的概念：作图
定义：|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影.
投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0︒时投影为 |b |；当θ = 180︒时投影为 -|b |.
向量的数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积.
2. 引导学生思考讨论
根据向量数量积的定义，可以得出
（1）设e 是单位向量，a·e ＝｜a ｜cos θ．
（2）设a·b是非零向量，则a⊥b a·b＝0．
（3）a·a＝｜a｜2，于是｜a｜＝.
（4）cosθ＝.
（5）｜a·b｜≤｜a｜｜b｜（这与实数｜ab｜＝｜a｜｜b｜不同）．
三、解释应用
［例题］
已知向量a，b满足｜a｜＝5，｜b｜＝4，夹角θ＝120°，求a·b．
解：a·b＝｜a｜｜b｜cosθ＝5×4×cos120°＝－10．
［课堂练习］
1. 已知向量a，b，｜a｜＝3，ｂ在ａ上的投影为－2，求：（1）a·ｂ．（2）a 在b上的投影．
2. 已知：在△ABC中，a＝5，b＝8，c＝60°，求·．
四、建立向量数量积的运算律
1. 出示问题：从数学的角度考虑，我们希望向量的数量积运算，也能像数量乘法那样满足某些运算律，这样数量积运算才更富有意义．回忆实数的运算律，你能类比和归纳出向量数量积的一些运算律吗？它们成立吗？为什么？
2. 运算律及其推导
已知：向量a，b，c和λ∈R，则
（1）a·b＝b·a（交换律）．
证明：左＝｜a｜｜b｜cosθ＝右．
（2）（λa）·b＝λ（a·b）＝a·（λb）（数乘结合律）．
证明：设a，b夹角为θ，当λ＞0时，λa与b的夹角为θ，
∴（λa）·b＝（λa）·｜b｜cosθ＝λ｜a｜｜b｜cosθ＝λ（a·b）；
当λ＜0时，λa与b的夹角为（π－θ），
∴（λa）·b＝｜λa｜｜b｜cos（π－θ）＝－λ｜a｜｜b｜（－cosθ）＝λ｜a｜｜b｜cosθ＝λ（a·b）；
当λ＝0时，（λa）·b＝0·b＝0＝λ（a·b）．
总之，（λa）·b＝λ（a·b）；
同理a·（λb）＝λ（a·b）．
（3）（a＋b）·c＝a·c＋b·c（乘法对加法的分配律）．
证明：如图40-2，任取一点O，作＝a，＝ｂ，＝c．
∵a＋b（即）在c方向上的投影等于a，b在c方向上的投影的和，即
｜a＋b｜cosθ＝｜a｜cosθ1＋｜b｜cosθ2，
∴｜c｜｜a＋b｜cosθ＝｜c｜（｜a｜cosθ1＋｜b｜cosθ2）＝
｜c｜｜a｜cosθ1＋｜c｜｜b｜cosθ2＝c·a＋c·b，
∴（a＋b）·c＝a·c＋b·c．
思考：（1）向量的数量积满足结合律，即（a·b）c＝a（b·c）吗？
（2）向量的数量积满足消去律，即如果a·b＝c·b，那么a＝c吗？
五、应用与深化
［例题］
1. 对实数a，b，有（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2，（a＋b）（a－b）＝a2－b2．类似地，对任意向量a，b，也有类似结论吗？为什么？
解：类比完全平方和公式与平方差公式，有
（a ＋b ）2＝a 2＋2a·b ＋b 2，（a ＋b ）·（a －b ）＝a 2－b 2．
其证明是：（a ＋b ）2＝（a ＋b ）·（a ＋b ）＝a·a ＋a·b ＋b·a ＋b·b ＝a 2＋2a·b ＋b 2， （a ＋b ）·（a －b ）＝a·a －a·b ＋b·a －b·b ＝a 2－b 2．
∴有类似结论．
2. 已知向量a 、b 满足｜a ｜＝6，｜b ｜＝4，夹角θ＝60°，求（a ＋2b ）·（a －3b ）． 解：（a ＋2b ）·（a －3b ）＝a 2－3a·b ＋2b·a －6b 2＝｜a ｜2－｜a ｜｜b ｜cos60°－6｜b ｜2＝－72．
3. 已知｜a ｜＝3，｜b ｜＝4，且a 与b 不共线．当k 为何值时，（a ＋kb ）⊥（a －kb ）？ 解：（a ＋kb ）⊥（a －kb ），即（a ＋kb ）·（a －kb ）＝0，即a 2－k 2b 2＝0，即9－k 2×16＝0，即43±=k 因此，当43±
=k 时，有（a ＋kb ）⊥（a －kb ）． ［课堂练习］
1. ｜a ｜＝4，｜b ｜＝3，（2a －3b ）·（2a ＋b ）＝61，求a 与b 的夹角θ．
2. 在边长为2的正三角形ABC 中，求·＋·＋·．
【小结】你学习这节课有哪些收获？
(1)数量积定义（2）数量积的运算律（3）数量积应用于求长度、角度以及处理垂直问题
【作业】P108习题A 组1、2、6、7
【板书设计】
课题 平面向量的数量积
一、 平面向量数量积概念
二、 平面向量数量积运算律 三、小结与作业
【教后记】 【课外思考、拓展延伸】（供学习能力较好的学生思考）
1、三个单位向量a ，b ，c 有相同终点且a ＋b ＋c ＝0，问：它们的起点连成怎样的三角形？
3、在△ABC中，·＝·＝·，问：O点在△ABC的什么位置？
点评
这篇案例的一个突出特点是使用类比方法，即在研究向量的数量积的性质及运算律时，经常以实数为对象进行类比．以物理学中的力对物体做功的实例，引入数量积的过程比较自然，学生容易接受．在“拓展延伸”中，较多地展示了向量的综合应用．这都充分体现了向量是数形结合的重要载体．运用向量方法解决与向量有关的综合问题，越来越成为考查学生数学思维能力的一个重要方面．认识向量并会使用向量是这一部分的基础，也是重点．总之，这篇案例较好地实现了教学目标，同时，关注类比方法的运用，以及学生数学思维水平的提高．美中不足的是，对学生的自主探究的引导似乎有所欠缺．。