2019届高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形第7讲解三角形应用举例练习理北师大版

sin[2(x－φ)＋4π]＝sin(2x＋4π－2φ)， 又∵g(x)是偶函数，∴4π－2φ＝kπ＋π2(k∈Z). ∴φ＝－k2π－π8(k∈Z). 当 k＝－1 时，φ 取得最小正值38π.
1 23 45
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题型分类 深度剖析
题型一 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
例 1 已知函数 y＝2sin2x＋π3. (1)求它的振幅、周期、初相； 解 y＝2sin2x＋π3的振幅 A＝2， 周期 T＝22π＝π，初相 φ＝π3.
y＝Asin(ωx＋φ) 0
A
0
3π
_2__
_2_π_
－A
0
答案
3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象 的步骤如下：
|φ|
| |
答案
思考辨析
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移 的长度一致.( × ) (2)y＝sinx－π4的图象是由 y＝sinx＋4π的图象向右平移2π个单位得到 的.( √ ) (3)由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内的图象中的最高 点的值与最低点的值确定的.( √ )
解析答案
题型二 由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
例 2 (1)已知函数 y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0，|φ|<π2)的图象上一个最 高点的坐标为(2， 2)，由这个最高点到其右侧相邻最低点间的图象与 x 轴交于点(6,0)，则此函数的解析式为 y＝ 2sinπ8x＋π4 . 解析 由题意得 A＝ 2，T4＝6－2，所以 T＝16，ω＝2Tπ＝π8. 又 sinπ8×2＋φ＝1，所以π4＋φ＝π2＋2kπ (k∈Z). 又因为|φ|<2π，所以 φ＝π4.

17 A. 2
6
海里/小时
B．34 6 海里/小时
17 C. 2
2
海里/小时
D．34 2 海里/小时
[解析] 如图所示，在△PMN 中，siPn4M5°＝sinM1N20°，
∴MN＝68× 3＝34 2
6，∴v＝M4N＝127
选 A.
6(海里/小时)．故
[答案] A
4.如图，某城市的电视发射塔 CD 建在市郊的小山上，小山 的高 BC 为 35 米，在地面上有一点 A，测得 A，C 间的距离为 91 米，从 A 观测电视发射塔 CD 的视角(∠CAD)为 45°，则这座电视 发射塔的高度 CD 为________米．
[解析]
AB＝
912－352＝84
，
tan∠CAB＝BACB
＝3854＝
5 12
.
由
CD8＋4 35＝tan(45°＋∠CAB)＝11＋－115522＝177，得 CD＝169.
[案] 169
考点突破 提能力
研一研 练一练 考点通关
考点一 测量距离问题——偶考点 (2016·四川绵阳南山中学月考)如图，为对某失事客 轮 AB 进行有效援助，现分别在河岸 MN 选择两处 C、D 用强光 柱进行辅助照明，其中 A、B、C、D 在同一平面内．现测得 CD 长为 100 米，∠ADN＝105°，∠BDM＝30°，∠ACN＝45°，∠BCM ＝60°.
(2)画图：根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出． (3)建模求解：将所求题的问题归结到一个或几个三角形中， 通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识建立函数模型(或三 角函数模型)． (4)检验：检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取 舍，得出正确答案．若求最值需注意自变量的范围．

C＋cos Asin C＝35×153＋45×1123＝6635.
63 则由sina A＝sinb B，得b＝assiinnAB＝635＝1231.
5
[答案]
21 13
题型二 利用正余弦定理判断三角形的形状(重点保分题，共同所对的边分别为a，b，c，若
c b
【针对补偿】 1．(2017·浙江)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算 圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了 “割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多 年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6，S6 ＝________.
[解析] 将正六边形分割为6个等边三角形，
即B为钝角，所以△ABC为钝角三角形．
[答案] A
(2)(2018·贵阳监测)在△ABC中，内角A，B，C所对边分别是a，
b，c，若sin2B2＝c－2ca，则△ABC的形状一定是________． [解析] 由题意，得1－c2os B＝c－2ca，即cos B＝ac，又由余弦定
理，得
a c
＝
a2＋c2－b2 2ac
[答案] 1
考向二 与面积有关的三角形问题 3．(2017·课标Ⅱ)△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b， c，已知sin(A＋C)＝8sin2B2， (1)求cos B； (2)若a＋c＝6，△ABC的面积为2，求b.
[解析] (1)由题设及A＋B＋C＝π，sin B＝8sin2B2， 故sin B＝4(1－cos B)． 上式两边平方，整理得17cos2B－32cos B＋15＝0， 解得cos B＝1(舍去)，cos B＝1175.
2．(2016·北京高考)在△ABC中，∠A＝

2024年高考数学总复习第四章《三角函数、解三角形》§4.7解三角形的实际应用最新考纲能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．测量中的有关几个术语术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的范围是0°≤θ<360°方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α例：(1)北偏东α：(2)南偏西α：坡角与坡比坡面与水平面所成二面角的度数叫坡度，θ为坡角；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比，即i ＝hl＝tan θ概念方法微思考在实际测量问题中有哪几种常见类型，解决这些问题的基本思想是什么？提示实际测量中有高度、距离、角度等问题，基本思想是根据已知条件，构造三角形(建模)，利用正弦定理、余弦定理解决问题．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.(×)(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为0，π2.(×)(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．(√)(4)方位角大小的范围是[0,2π)，方向角大小的范围一般是0，π2√)题组二教材改编2.如图所示，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出A ，C 的距离为50m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为________m.答案502解析由正弦定理得AB sin ∠ACB＝ACsin B ，又B ＝30°，∴AB ＝AC sin ∠ACBsin B＝50×2212＝502(m)．3．如图，在山脚A 测得山顶P 的仰角为30°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走a 米到B ，在B处测得山顶P 的仰角为60°，则山高h ＝______米．答案22a 解析由题图可得∠PAQ ＝α＝30°，∠BAQ ＝β＝15°，在△PAB 中，∠PAB ＝α－β＝15°，又∠PBC ＝γ＝60°，∴∠BPA ＝(90°－α)－(90°－γ)＝γ－α＝30°，∴在△PAB 中，a sin 30°＝PBsin 15°，∴PB ＝6－22a ，∴PQ ＝PC ＋CQ ＝PB ·sin γ＋a sin β＝6－22a ×sin 60°＋a sin 15°＝22.题组三易错自纠4．要测量底部不能到达的电视塔AB 的高度，在C 点测得塔顶A 的仰角是45°，在D 点测得塔顶A 的仰角30°，并测得水平面上的∠BCD ＝120°，CD ＝40m ，则电视塔的高度为()A ．102mB ．20mC ．203mD ．40m答案D解析设电视塔的高度为x m ，则BC ＝x ，BD ＝3x .在△BCD 中，由余弦定理得3x 2＝x 2＋402－2×40x ×cos 120°，即x 2－20x －800＝0，解得x ＝－20(舍去)或x ＝40.故电视塔的高度为40m.5．在某次测量中，在A 处测得同一半平面方向的B 点的仰角是60°，C 点的俯角是70°，则∠BAC ＝________.答案130°解析60°＋70°＝130°.6．海上有A ，B ，C 三个小岛，A ，B 相距53海里，从A 岛望C 和B 成45°视角，从B 岛望C 和A 成75°视角，则B ，C 两岛间的距离是________海里．答案52解析由题意可知∠ACB ＝60°，由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝BC sin ∠BAC ，即53sin 60°＝BCsin 45°，得BC ＝52.题型一测量距离问题1．(2018·长春检测)江岸边有一炮台高30m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距____m.答案103解析如图，OM ＝AO tan 45°＝30(m)，ON ＝AO tan 30°＝33×30＝103(m)，在△MON 中，由余弦定理得MN ＝900＋300－2×30×103×32＝300＝103(m)．2.如图，A ，B 两点在河的同侧，且A ，B 两点均不可到达，要测出A ，B 的距离，测量者可以在河岸边选定两点C ，D ，若测得CD ＝32km ，∠ADB ＝∠CDB ＝30°，∠ACD ＝60°，∠ACB ＝45°，则A ，B 两点间的距离为________km.答案64解析∵∠ADC ＝∠ADB ＋∠CDB ＝60°，∠ACD ＝60°，∴∠DAC ＝60°，∴AC ＝DC ＝32km.在△BCD 中，∠DBC ＝45°，由正弦定理，得BC ＝DC sin ∠DBC ·sin ∠BDC ＝32sin 45°·sin 30°＝64(km)．在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos 45°＝34＋38－2×32×64×22＝38.∴AB ＝64km.∴A ，B 两点间的距离为64km.3．如图，为了测量两座山峰上P ，Q 两点之间的距离，选择山坡上一段长度为3003m 且和P ，Q 两点在同一平面内的路段AB 的两个端点作为观测点，现测得∠PAB ＝90°，∠PAQ ＝∠PBA ＝∠PBQ ＝60°，则P ，Q 两点间的距离为________m.答案900解析由已知，得∠QAB ＝∠PAB －∠PAQ ＝30°.又∠PBA ＝∠PBQ ＝60°，∴∠AQB ＝30°，∴AB ＝BQ .又PB 为公共边，∴△PAB ≌△PQB ，∴PQ ＝PA .在Rt △PAB 中，AP ＝AB ·tan 60°＝900，故PQ ＝900，∴P ，Q 两点间的距离为900m.思维升华求距离问题的两个策略(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．题型二测量高度问题例1(2018·福州测试)如图，小明同学在山顶A 处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A 处测得公路上B ，C 两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC ＝135°，若山高AD ＝100m ，汽车从B 点到C 点历时14s ，则这辆汽车的速度约为________m/s.(精确到0.1，参考数据：2≈1.414，5≈2.236)答案22.6解析因为小明在A 处测得公路上B ，C 两点的俯角分别为30°，45°，所以∠BAD ＝60°，∠CAD ＝45°，设这辆汽车的速度为v m/s ，则BC ＝14v ，在Rt △ADB 中，AB ＝ADcos ∠BAD ＝AD cos 60°＝200.在Rt △ADC 中，AC ＝AD cos ∠CAD ＝100cos 45°＝100 2.在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos ∠BAC ，所以(14v )2＝(1002)2＋2002－2×1002×200×cos 135°，所以v ＝50107≈22.6，所以这辆汽车的速度约为22.6m/s.思维升华(1)高度也是两点之间的距离，其解法同测量水平面上两点间距离的方法是类似的，基本思想是把要求的高度(某线段的长度)纳入到一个可解的三角形中．(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．跟踪训练1如图所示，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角为α，在塔底C 处测得A 处的俯角为β.已知铁塔BC 部分的高为h ，则山高CD ＝____________.答案h cos αsin βsin (α－β)解析由已知得∠BCA ＝90°＋β，∠ABC ＝90°－α，∠BAC ＝α－β，∠CAD ＝β.在△ABC 中，由正弦定理得AC sin ∠ABC ＝BCsin ∠BAC，即AC sin (90°－α)＝BC sin (α－β)，∴AC ＝BC cos αsin (α－β)＝h cos αsin (α－β).在Rt △ACD 中，CD ＝AC sin ∠CAD ＝AC sin β＝h cos αsin βsin (α－β).故山高CD 为h cos αsin βsin (α－β).题型三角度问题例2如图所示，一艘巡逻船由南向北行驶，在A 处测得山顶P 在北偏东15°(∠BAC ＝15°)的方向，匀速向北航行20分钟后到达B 处，测得山顶P 位于北偏东60°的方向，此时测得山顶P 的仰角为60°，已知山高为23千米．(1)船的航行速度是每小时多少千米？(2)若该船继续航行10分钟到达D 处，问此时山顶位于D 处南偏东多少度的方向？解(1)在△BCP 中，由tan ∠PBC ＝PCBC，得BC ＝PCtan ∠PBC ＝2，在△ABC 中，由正弦定理得BC sin ∠BAC ＝AB sin ∠BCA，即2sin 15°＝ABsin 45°，所以AB ＝2(3＋1)，故船的航行速度是每小时6(3＋1)千米．(2)在△BCD 中，BD ＝3＋1，BC ＝2，∠CBD ＝60°，则由余弦定理得CD ＝6，在△BCD 中，由正弦定理得CD sin ∠DBC ＝BCsin ∠CDB，即6sin 60°＝2sin ∠CDB ，所以sin ∠CDB ＝22，所以，山顶位于D 处南偏东45°的方向．思维升华解决测量角度问题的注意事项(1)首先应明确方位角和方向角的含义．(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步．(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用．跟踪训练2如图所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站C 的北偏东40°的方向上，灯塔B 在观察站C 的南偏东60°的方向上，则灯塔A 在灯塔B 的______的方向上．答案北偏西10°解析由已知得∠ACB ＝180°－40°－60°＝80°，又AC ＝BC ，∴∠A ＝∠ABC ＝50°，60°－50°＝10°，∴灯塔A 位于灯塔B 的北偏西10°的方向上．1．(2018·武汉调研)已知A ，B 两地间的距离为10km ，B ，C 两地间的距离为20km ，现测得∠ABC ＝120°，则A ，C 两地间的距离为()A ．10kmB ．103kmC ．105kmD ．107km答案D解析如图所示，由余弦定理可得AC 2＝100＋400－2×10×20×cos 120°＝700，∴AC ＝107.2.如图所示，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100m 到达B 处，又测得C 对于山坡的斜度为45°，若CD ＝50m ，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于()A.32B.22C.3－1D.2－1答案C解析在△ABC 中，由正弦定理得AB sin 30°＝ACsin 135°，∴AC ＝100 2.在△ADC 中，AC sin (θ＋90°)＝CDsin 15°，∴cos θ＝sin(θ＋90°)＝AC ·sin 15°CD＝3－1.3．一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是()A ．102海里B ．103海里C ．203海里D ．202海里答案A解析如图所示，易知，在△ABC 中，AB ＝20，∠CAB ＝30°，∠ACB ＝45°，根据正弦定理得BC sin 30°＝ABsin 45°，解得BC ＝10 2.4.如图，两座相距60m 的建筑物AB ，CD 的高度分别为20m ，50m ，BD 为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角为()A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°答案B解析依题意可得AD ＝2010，AC ＝305，又CD ＝50，所以在△ACD 中，由余弦定理得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD ＝(305)2＋(2010)2－5022×305×2010＝600060002＝22，又0°<∠CAD <180°，所以∠CAD ＝45°，所以从顶端A 看建筑物CD 的张角为45°.5．(2018·郑州质检)如图所示，测量河对岸的塔高AB 时可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝30°，CD ＝30，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°，则塔高AB 等于()A ．56B ．153C ．52D ．156答案D解析在△BCD 中，∠CBD ＝180°－15°－30°＝135°.由正弦定理得BC sin 30°＝CDsin 135°，所以BC ＝15 2.在Rt △ABC 中，AB ＝BC tan ∠ACB ＝152×3＝15 6.故选D.6．(2018·广州模拟)如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m ，则河流的宽度BC 等于()A ．240(3＋1)mB ．180(2－1)mC ．120(3－1)mD ．30(3＋1)m答案C解析如图，∠ACD ＝30°，∠ABD ＝75°，AD ＝60m ，在Rt △ACD 中，CD ＝AD tan ∠ACD ＝60tan 30°＝603(m)，在Rt △ABD 中，BD ＝AD tan ∠ABD ＝60tan 75°＝602＋3＝60(2－3)m ，∴BC ＝CD －BD ＝603－60(2－3)＝120(3－1)m.7．(2018·哈尔滨模拟)如图，某工程中要将一长为100m ，倾斜角为75°的斜坡改造成倾斜角为30°的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长________m.答案1002解析设坡底需加长x m ，由正弦定理得100sin 30°＝xsin 45°，解得x ＝100 2.8.如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ的值为________．答案2114解析在△ABC 中，AB ＝40，AC ＝20，∠BAC ＝120°，由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 120°＝2800，得BC ＝207.由正弦定理，得AB sin ∠ACB ＝BC sin ∠BAC，即sin ∠ACB ＝AB BC ·sin ∠BAC ＝217.由∠BAC ＝120°，知∠ACB 为锐角，则cos ∠ACB ＝277.由θ＝∠ACB ＋30°，得cos θ＝cos(∠ACB ＋30°)＝cos ∠ACB cos 30°－sin ∠ACB sin 30°＝2114.9．(2018·青岛模拟)一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时________海里．答案10解析如图所示，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°，所以∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10，在Rt △ABC 中，得AB ＝5，于是这艘船的速度是50.5＝10(海里/时)．10．(2018·泉州质检)如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO 的小路CD .已知某人从O 沿OD 走到D 用了2分钟，从D 沿DC 走到C 用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为______米．答案507解析如图，连接OC ，在△OCD 中，OD ＝100，CD ＝150，∠CDO ＝60°.由余弦定理得OC 2＝1002＋1502－2×100×150×cos 60°＝17500，解得OC ＝507.11.如图，在山底A 点处测得山顶仰角∠CAB ＝45°，沿倾斜角为30°的斜坡走1000米至S 点，又测得山顶仰角∠DSB ＝75°，则山高BC 为______米．答案1000解析由题图知∠BAS ＝45°－30°＝15°，∠ABS ＝45°－(90°－∠DSB )＝30°，∴∠ASB ＝135°，在△ABS 中，由正弦定理可得1000sin 30°＝AB sin 135°，∴AB ＝10002，∴BC ＝AB 2＝1000.12.如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60°方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．(1)求渔船甲的速度；(2)求sin α的值．解(1)依题意知，∠BAC ＝120°，AB ＝12，AC ＝10×2＝20，∠BCA ＝α.在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos ∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784，解得BC ＝28.所以渔船甲的速度为BC 2＝14(海里/时)．(2)在△ABC 中，因为AB ＝12，∠BAC ＝120°，BC ＝28，∠BCA ＝α，由正弦定理，得AB sin α＝BC sin 120°，即sin α＝AB sin 120°BC ＝12×3228＝3314.13.如图，在水平地面上有两座直立的相距60m 的铁塔AA 1和BB 1.已知从塔AA 1的底部看塔BB 1顶部的仰角是从塔BB 1的底部看塔AA 1顶部的仰角的2倍，从两塔底部连线中点C 分别看两塔顶部的仰角互为余角，则从塔BB 1的底部看塔AA 1顶部的仰角的正切值为________；塔BB 1的高为________m.答案1345解析设从塔BB 1的底部看塔AA 1顶部的仰角为α，则AA 1＝60tan α，BB 1＝60tan 2α.∵从两塔底部连线中点C 分别看两塔顶部的仰角互为余角，∴△A 1AC ∽△CBB 1，∴AA 130＝30BB 1，∴AA 1·BB 1＝900，∴3600tan αtan 2α＝900，∴tan α＝13，tan 2α＝34，则BB 1＝60tan 2α＝45.14.如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600km 处的热带风暴中心正以20km/h 的速度向正北方向移动，距风暴中心450km 以内的地区都将受到影响，求该码头将受到热带风暴影响的时间．解记现在热带风暴中心的位置为点A ，t 小时后热带风暴中心到达B 点位置，在△OAB 中，OA ＝600，AB ＝20t ，∠OAB ＝45°，根据余弦定理得OB 2＝6002＋400t 2－2×600×20t ×22，令OB 2≤4502，即4t 2－1202t ＋1575≤0，解得302－152≤t ≤302＋152，所以该码头将受到热带风暴影响的时间为302＋152－302－152＝15(h)．15．某舰艇在A 处测得一艘遇险渔船在其北偏东40°的方向距离A 处10海里的C 处，此时得知，该渔船正沿南偏东80°的方向以每小时9海里的速度向一小岛靠近，若舰艇的时速为21海里，求舰艇追上渔船的最短时间．解如图所示，设舰艇追上渔船的最短时间是t 小时，经过t 小时渔船到达B 处，则舰艇也在此时到达B 处．在△ABC 中，∠ACB ＝40°＋80°＝120°，CA ＝10，CB ＝9t ，AB ＝21t ，由余弦定理得(21t )2＝102＋(9t )2－2×10×9t ×cos 120°，即36t 2－9t －10＝0，解得t ＝23或t ＝－512(舍)．所以＝23.16.如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C ，现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50m /min.在甲出发2min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1min 后，再匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min ，山路AC 长为1260m ，经测量得cos A ＝1213，sin B ＝6365.(1)问乙出发多少min 后，乙在缆车上与甲的距离最短？(2)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min ，乙步行的速度应控制在什么范围内？解(1)∵cos A ＝1213，sin B ＝6365，∴sin A ＝513，cos B ＝－1665，∴sin C ＝sin(A ＋B )＝45，在△ABC 中，由正弦定理AC sin B ＝AB sin C，得AB ＝1040m ，设乙出发t min 后，甲、乙距离为d ，由余弦定理得d 2＝(130t )2＋(100＋50t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213，即d 2＝200(37t 2－70t ＋50)＝20037＋62537.∵0≤t ≤1040130，即0≤t ≤8，∴当t ＝3537时，即乙出发3537min 后，乙在缆车上与甲的距离最短．(2)∵sin A ＝513，∴由正弦定理，得BC sin A ＝AC sin B ，即BC 513＝12606365，∴BC ＝500m.乙从B 出发时，甲已经走了50(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710m 才能到达C .设乙的步行速度为v m/min ，则|500v－71050|≤3，故－3≤500v －71050≤3，解得125043≤v ≤62514.故为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min ，乙步行的速度应控制在125043，62514范围内.。