利用MATLAB求解机械设计优化问题的分析
周婷婷
(能源与动力学院,油气0701)
摘要：MATLAB是目前国际上最流行的科学与工程计算的软件工具, 它具有强大的数值分析、矩阵运算、信号处理、图形显示、模拟仿真和最优化设计等功能。本文浅谈MATLAB在机械设计优化问题的几点应用。
关键词：MATLAB 约束条件机械设计优化
引言：在线性规划和非线性规划等领域经常遇到求函数极值等最优化问题，当函数或约束条件复杂到一定程度时就无法求解，而只能求助于极值分析算法，如果借助计算器进行手工计算的话，计算量会很大，如果要求遇到求解极值问题的每个人都去用BASIC,C和FORTRAN之类的高级语言编写一套程序的话，那是非一朝一日可以解决的，但如用MATLAB语言实现极值问题的数值解算，就可以避免计算量过大和编程难的两大难题，可以轻松高效地得到极值问题的数值解，而且可以达到足够的精度。
1无约束条件的极值问题的解算方法
设有Rosenbrock函数如下：
f(X1,X2)=100(X2-X1*X1)2+(1-X1)2
求向量X取何值时，F(x)的值最小及最小值是多少？
先用MATLAB语言的编辑器编写求解该问题的程序如下：
%把函数写成MATLAB语言表达式
fun=’100*(X(2)-X(1)*X(1)2+(1-X(1))2
%猜自变量的初值
X0=[-1 2]; %所有选项取默认值
options=[ ]；
%调用最优化函数进行计算。
%函数最小值存放在数组元素options(8)中
%与极值点对应的自变量值存放在向量X里
%计算步数存放在数组元素options(10)中
[X,options]=fmins(fun,X0,options)；
%显示与极值点对应的自变向量X的值。
%显示函数最小值
options(8)
%显示函数计算步数
options(10)
把上面这段程序保存为m文件，然后用“Tools”菜单中的“Run”命令行这段程序，就可以轻松的得到如下结果：
X=9.999908938395383e-001
9.99982742178110e-001
ans=1.706171071794760e-001
ans=195
显然，计算结果与理论结果的误差小到e-10级,这里调用了MATLAB的最优化函数fmins(),它采用Nelder-Mead的单纯形算法，就是因为这个函数的采用，使最小值问题的解算变得非常简单。
2.带约束条件的极值问题的解法
设目标函数和约束条件如下:
f(x) =-3X1+X2+X3
-X1+2X2-X3>= -11
4X1-X2-2X3<=-3
2X1-X3= -1
X1>=0,X2>=0，X3>=0;
求X向量取何值时函数取极小值？
对条件极值问题通常的做法都是将约束条件标准化（即把等式约束条件写成等号为0的形式，把不等式写成<=0的形式）。然后把条件极值问题转换为非条件极值问题，MATLAB也采用同样的做法。
下面是求解该问题的MATLAB语言程序。
funf =’f=-3*X(1)+X(2)+X(3);’%写出目标函数表达式。
fung=’g=[2*X(1)-X(3)+1;X(1)-2*X(2)+X(3)-11;4*X(1)-X(2)-2*X(3)+3]；’%把约束条件标准化，写成向量函数。注意等式约束条件要放在前面。
fun=[funf ,fung] %把目标函数表达式和约束条件表达式合成一个向量函数。
X0=[101] %猜初值
options= [ ]
options[13]=1 %在options(13)中指定等式约束条件的个数。
vlb =zeros(1,3); %指定向量X的下界为0。
vub =[ ]; %对向量的上界不做要求。
[X,options]=constr(fun,X0,options,Vlb,Vlb); %调constr()函数%显示与极值点对应的X 向量值。
options(8) %显示极小值
options(10) %显示计算次数
g=[2*X(1)-X(3)+1;X(1)-2*X(2)+X(3)-11;4*X(1)-X(2)-2*X(3)+3] %显示约束条件表达式的取值。
运行这段MATLAB程序得到如下结果:
X=4.000000000000000e+000
1.00000000000000le+000
9.000000000000005e+000
ans=-1.99999999999999le+000
ans=17
g=-6.21724522790877e-015
1.77635683940025le-015
-1.421085471520200e-014
显然，计算结果是非常精确的，这里调用了MATLAB的最优化函数constr()，它是专门用来解算条件极值问题的。
3．机械优化设计应用实例
机械优化设计把数学规划理论与数值方法应用于设计中，用计
算机从大量可行方案中找出最优化设计方案，从而大大提高设计质
量和设计效率。MATLAB 具有解决线性规划和非线性规划、约束
优化和无约束优化问题的内部函数，因而可以完成这一功能。
现举一例：螺栓组联结的优化设计
如图4所示的压力容器螺栓组联接中，已知D 1= 400mm,D 2 =
250mm ，缸内工作压力为p=1.5 MPa ，螺栓材料为35号钢，σs =320Mpa,安全系数S=3,取残余预紧力Q ’p =1.6F,采用铜皮石棉密封垫片。现从安全、可靠、经济的角度来选择螺栓的个数n 和螺栓的直径d 。
3．1 设计问题分析
若从经济性考虑，螺栓数量尽量少些、尺寸小些，但这会使降低联结的强度和密封性，不能保证安全可靠的工作；若从安全、可靠度考虑，螺栓数量应多一些、尺寸大一些为好，显然经济性差，甚至造成安装扳手空间过小，操作困难。为此，该问题的设计思想是：在追求螺栓组联结经济成本最小化的同时，还要保证联结工作安全、可靠。
3 ．2 设计变量 目标函数 约束条件
3．2 .1 设计变量 选取螺栓的个数n 和直径d(mm)为设计变量:
T 21T ]x [x ]d [n X ==
3．2 .2 目标函数 追求螺栓组联结经济成本C n 最小为目标。而当螺栓的长度、材料和加工条件一定时，螺栓的总成本与nd 值成正比，所以本问题优化设计的目标函数为
min F(X) = C n = n d = x 1x 2
① 强度约束条件 为了保证安全可靠地工作，螺栓组联结必须满足强度条件
][32.521σπσ≤=d Q
ca ； 其中Mpa S s 106.
3320][===σσ； n n p n D F F F F Q Q p πππ6093742505.16.246.26.26.12
22'
=⨯=⨯==+=+= N ；
对于粗牙普通螺纹：由文献[3]推荐，小径 d 1=0.85d 所以，强度约束条件为：
