最优化问题matlab求解共46页文档

如何使用Matlab进行最优化和多目标优化问题求解Matlab是一种强大的数学计算工具，广泛应用于各个领域的科学研究和工程实践中。

其中，最优化和多目标优化问题的求解是Matlab的一项重要功能。

本文将介绍如何使用Matlab进行最优化和多目标优化问题的求解，并提供一些实际应用案例。

一、最优化问题求解最优化问题求解是指在给定的约束条件下，寻找一个使得目标函数取得最大（或最小）值的变量组合。

Matlab提供了多种最优化算法，如线性规划、二次规划、非线性规划等。

下面以非线性规划为例，介绍如何使用Matlab进行最优化问题的求解。

1. 准备工作在使用Matlab进行最优化问题求解之前，需要先定义目标函数和约束条件。

目标函数是最优化问题的核心，可以是线性的或非线性的。

约束条件可以是等式约束或不等式约束。

同时，还需要确定变量的取值范围和初值。

2. 选择合适的算法Matlab提供了多个最优化算法，根据问题的特点选择合适的算法是非常重要的。

常用的算法有fmincon、fminunc、fminsearch等。

例如，fmincon函数适用于求解具有约束条件的非线性规划问题，而fminunc函数适用于求解无约束或有约束的非线性规划问题。

3. 调用相应的函数根据选择的算法，调用相应的函数进行求解。

以fmincon函数为例，其调用方式为：```[x, fval] = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)```其中，fun为目标函数，x0为变量的初值，A、b为不等式约束矩阵和向量，Aeq、beq为等式约束矩阵和向量，lb、ub为变量的下界和上界，nonlcon为非线性约束函数，options为求解选项。

4. 解析结果求解完成后，可以通过解析结果来评估求解器的性能。

Matlab提供了fval和exitflag两个输出参数，其中fval表示最优解的目标函数值，exitflag表示求解器的退出标志。

176第5章优化问题5.1线性规划问题线性规划问题是目标函数和约束条件均为线性函数的问题，MATLAB6.0解决的线性规划问题的标准形式为：min nR x x f ∈'sub.to ：b x A ≤⋅beq x Aeq =⋅ubx lb ≤≤其中f 、x 、b 、beq 、lb 、ub 为向量，A 、Aeq 为矩阵。

其它形式的线性规划问题都可经过适当变换化为此标准形式。

在MATLAB6.0版中，线性规划问题（Linear Programming ）已用函数linprog 取代了MATLAB5.x 版中的lp 函数。

当然，由于版本的向下兼容性，一般说来，低版本中的函数在6.0版中仍可使用。

函数linprog格式x =linprog(f,A,b)%求min f '*x sub.to b x A ≤⋅线性规划的最优解。

x =linprog(f,A,b,Aeq,beq)%等式约束beq x Aeq =⋅，若没有不等式约束b x A ≤⋅，则A=[]，b=[]。

x =linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)%指定x 的范围ub x lb ≤≤，若没有等式约束beq x Aeq =⋅，则Aeq=[]，beq=[]x =linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)%设置初值x0x =linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)%options 为指定的优化参数[x,fval]=linprog(…)%返回目标函数最优值，即fval=f '*x 。

[x,lambda,exitflag]=linprog(…)%lambda 为解x 的Lagrange 乘子。

[x,lambda,fval,exitflag]=linprog(…)%exitflag 为终止迭代的错误条件。

[x,fval,lambda,exitflag,output]=linprog(…)%output 为关于优化的一些信息说明若exitflag>0表示函数收敛于解x ，exitflag=0表示超过函数估值或迭代的最大数字，exitflag<0表示函数不收敛于解x ；若lambda=lower 表示下界lb ，lambda=upper 表示上界ub ，lambda=ineqlin 表示不等式约束，lambda=eqlin 表示177等式约束，lambda 中的非0元素表示对应的约束是有效约束；output=iterations 表示迭代次数，output=algorithm 表示使用的运算规则，output=cgiterations 表示PCG 迭代次数。

最优化方法的Matlab实现Matlab中使用最优化方法可以使用优化工具箱。

在优化工具箱中，有多种最优化算法可供选择，包括线性规划、非线性规划、约束优化等。

下面将详细介绍如何在Matlab中实现最优化方法。

首先，需要建立一个目标函数。

目标函数是最优化问题的核心，它描述了要优化的变量之间的关系。

例如，我们可以定义一个简单的目标函数：```matlabfunction f = objFun(x)f=(x-2)^2+3;end```以上代码定义了一个目标函数`objFun`，它使用了一个变量`x`，并返回了`f`的值。

在这个例子中，目标函数是`(x-2)^2 + 3`。

接下来，需要选择一个最优化算法。

在Matlab中，有多种最优化算法可供选择，如黄金分割法、割线法、牛顿法等。

以下是一个使用黄金分割法的示例：```matlabx0=0;%初始点options = optimset('fminsearch'); % 设定优化选项```除了黄金分割法，还有其他最优化算法可供选择。

例如，可以使用`fminunc`函数调用一个无约束优化算法，或者使用`fmincon`函数调用带约束的优化算法。

对于非线性约束优化问题，想要求解最优解，可以使用`fmincon`函数。

以下是一个使用`fmincon`函数的示例：```matlabx0=[0,0];%初始点A = []; b = []; Aeq = []; beq = []; % 约束条件lb = [-10, -10]; ub = [10, 10]; % 取值范围options = optimoptions('fmincon'); % 设定优化选项```除了优化选项，Matlab中还有多个参数可供调整，例如算法迭代次数、容差等。

可以根据具体问题的复杂性来调整这些参数。

总而言之，Matlab提供了丰富的最优化工具箱，可以灵活地实现不同类型的最优化方法。

预备知识：M 文件简介在MATLAB 中，用户可以利用Edtior （编辑器）建立M 文件，然后在命令窗口中的“>〉”提示符下键入M 文件的主文件名,回车执行。

MATLAB 的M 文件有两类：命令文件和函数文件。

将原本要在MATLAB 环境下直接输入的语句，放在一个以 。

m 为后缀的文件中，这一文件就称为命令文件；函数文件由五部分组成:函数定义行、H1行、函数帮助文本、函数体、注释，MATLAB 的内部函数都是由函数文件定义的.1.11 优化(最值、数学规划）在数学上，优化问题包括最值问题和数学规划问题等,后者又包括线性规划、整数规划（含0—1规划)、二次规划等。

在MATLAB 中，求解最值问题的命令主要有:fminbnd (f,x1，x2） 求一元函数f 在区间［x1,x2］上的最小值点［x ，fval]=fminbnd （f ，x1,x2） 求一元函数f 在区间［x1,x2]上的最小值点和最小值 fminsearch (’f’，x0） 求多元函数f 在点x0附近的最小值点［x,fval ］=fminsearch （’f’，x0) 求多元函数f 在点x0附近的最小值点和最小值 例1。

11.1 求函数23)(2++=x x x f 在区间]5,5[-上的最小值点和最小值。

>〉 ［x ，fval]=fminbnd('x^2+3＊x+2',-5，5） x =-1。

5000 fval =—0.2500例1。

11。

2 求函数21212122),(x x x x x x f ++=在点)1,1(附近的最小值点和最小值。

>〉 ［x ，fval ］= fminsearch （'x （1)*x(2)+2/x(1)+2/x(2)',[1 1］) x =1。

2599 1。

2599 fval =4.7622在MATLAB 中,求解数学规划问题的命令主要有：（1）线性规划⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤=⋅≤=ub x lb beq x Aeq bAx t s x c z T ..min命令:[x,fval]=linprog （c ，A,b,Aeq ，beq,lb,ub)在上述命令中，当某些参数空缺时，可用［］代替或省略，下同。

§8.1.1 线性规划问题的MATLAB 求解方法与一般线性规划理论一样，在MATLAB 中有线性规划的标准型。

在调用MATLAB 线性规划函数linprog 时，要遵循MATLAB 中对标准性的要求。

线性规划问题的MATLAB 标准形为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤=≤=ub x lb b x A b Ax t s x c f eq eq T .. min 在上述模型中，有一个需要极小化的目标函数f ，以及需要满足的约束条件假设x 为n 维设计变量，且线性规划问题具有不等式约束1m 个，等式约束2m 个，那么：x 、、lb c 、 和ub 均为n 维列向量，b 为1m 维列向量，eq b 为m 2维列向量，A 为n m ⨯1维矩阵，eq A 为n m ⨯2维矩阵需要注意的是：MATLAB 标准型是对目标函数求极小，如果遇到是对目标函数求极大的问题，在使用MATLAB 求解时，需要在函数前面加一个负号转化为对目标函数求极小的问题；MATLAB 标准型中的不等式约束形式为""≤，如果在线性规划问题中出现""≥形式的不等式约束，则我们需要在两边乘以(-1)使其转化为MATLAB 中的""≤形式。

如果在线性规划问题中出现了“<”或者“>”的约束形式，则我们需要通过添加松弛变量使得不等式约束变为等式约束之后，我们只需要将所有的约束（包括不等式约束和等式约束）转化为矩阵形式的即可。

例如，对于如下线性规划模型：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥=+=+-≥-+-≤+-+-=0,,7 32 8228 122 ..24 max 3212131321321321x x x x x x x x x x x x x t s x x x f 要转化为MATLAB 标准形，则要经过：（1）原问题是对目标函数求极大，故添加负号使目标变为：32124 m in x x x f -+-=；（2）原问题中存在“≥”的约束条件，故添加负号使其变为：8228321≤+-x x x用MATLAB 表达则为c=[-4; 2; -1]; %将目标函数转化为求极小A=[2 -1 1; 8 -2 2]; b=[12; -8]; %不等式约束系数矩阵Aeq=[-2 0 1; 1 1 0];beq=[3; 7]; %等式约束系数矩阵lb=[0; 0; 0];ub=[Inf; Inf; Inf] %对设计变量的边界约束MATLAB 优化工具箱中求解线性规划问题的命令为linprog ，其函数调用方法有多种形式如下所示：x = linprog(c,A,b)x = linprog(c,A,b,Aeq,beq)x = linprog(c,A,b,Aeq,beq,lb,ub)x = linprog(c,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)x = linprog(c,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)x = linprog(problem)[x,fval] = linprog(...)[x,fval,exitflag] = linprog(...)[x,fval,exitflag,output] = linprog(...)[x,fval,exitflag,output,lambda] = linprog(...)输入参数MATLAB工具箱中的linprog函数在求解线性规划问题时，提供的参数为：模型参数、初始解参数和算法控制参数。

一、引言我们需要明确什么是等式约束最优化问题。

在实际应用中，经常会遇到这样的问题：在满足一定的条件约束下，寻找一个使得某个目标函数达到最优值的解。

而等式约束最优化问题就是在满足一系列等式约束条件的前提下，求解出目标函数的最优值和对应的解向量。

在数学领域，等式约束最优化问题有着重要的理论和实际意义，对于工程、经济、管理等领域都有着广泛的应用。

二、问题描述一个典型的等式约束最优化问题可以用如下的数学形式来描述：minimize f(x)subject to:g(x) = 0其中，f(x)是目标函数，x是自变量向量，g(x)是等式约束条件函数。

三、外点罚函数法外点罚函数法是一种常用的方法，用于求解等式约束最优化问题。

它的基本思想是通过对目标函数和约束条件进行适当的变换，将等式约束问题转化为无约束问题。

具体地，外点罚函数法通过引入罚函数，将约束条件融入到目标函数中，构造出一个新的优化问题。

然后将这个新问题求解为原问题的近似解。

在优化的过程中，罚函数的惩罚项会惩罚那些违反约束条件的解，从而使得优化过程能够逼近满足约束条件的最优解。

四、matlab中的外点罚函数法求解在matlab中，可以利用现成的优化工具箱来求解等式约束最优化问题。

其中，fmincon函数是用来求解带有等式约束的最优化问题的。

它允许用户自定义目标函数和约束条件函数，并指定优化的初始点和其他参数。

通过在fmincon函数中调用外点罚函数法求解等式约束最优化问题，可以得到目标函数的最优值和对应的解向量。

五、实例分析为了更加直观地理解matlab中外点罚函数法的应用，我们来举一个简单的实例。

假设我们要求解如下的等式约束最优化问题：minimize f(x) = x1^2 + x2^2subject to:g(x) = x1 + x2 - 1 = 0我们需要将目标函数和约束条件转化成matlab可以识别的形式。

我们可以利用fmincon函数来求解这个最优化问题。

预备知识：M 文件简介在MATLAB 中，用户可以利用Edtior （编辑器）建立M 文件，然后在命令窗口中的“>>”提示符下键入M 文件的主文件名，回车执行.MATLAB 的M 文件有两类：命令文件和函数文件。

将原本要在MATLAB 环境下直接输入的语句，放在一个以 .m 为后缀的文件中，这一文件就称为命令文件；函数文件由五部分组成：函数定义行、H1行、函数帮助文本、函数体、注释，MATLAB 的内部函数都是由函数文件定义的。

1.11 优化(最值、数学规划)在数学上，优化问题包括最值问题和数学规划问题等，后者又包括线性规划、整数规划（含0-1规划）、二次规划等.在MATLAB 中，求解最值问题的命令主要有：fminbnd (f,x1,x2) 求一元函数f 在区间[x1,x2]上的最小值点[x,fval]=fminbnd(f,x1,x2) 求一元函数f 在区间[x1,x2]上的最小值点和最小值 fminsearch (’f’,x0) 求多元函数f 在点x0附近的最小值点[x,fval]=fminsearch(’f’,x0) 求多元函数f 在点x0附近的最小值点和最小值例1.11.1 求函数23)(2++=x x x f 在区间]5,5[-上的最小值点和最小值. >> [x,fval]=fminbnd('x^2+3*x+2',-5,5) x =-1.5000 fval =-0.2500例1.11.2 求函数21212122),(x x x x x x f ++=在点)1,1(附近的最小值点和最小值. >> [x,fval]= fminsearch('x(1)*x(2)+2/x(1)+2/x(2)',[1 1]) x =1.2599 1.2599 fval =4.7622在MATLAB 中，求解数学规划问题的命令主要有：（1）线性规划⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤=⋅≤=ub x lb beq x Aeq bAx t s x c z T ..min命令：[x,fval]=linprog (c,A,b,Aeq,beq,lb,ub)在上述命令中，当某些参数空缺时，可用[]代替或省略，下同。

§8.1.1 线性规划问题的MATLAB 求解方法与一般线性规划理论一样，在MATLAB 中有线性规划的标准型。

在调用MATLAB 线性规划函数linprog 时，要遵循MATLAB 中对标准性的要求。

线性规划问题的MATLAB 标准形为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤=≤=ub x lb b x A b Ax t s x c f eq eq T .. min 在上述模型中，有一个需要极小化的目标函数f ，以及需要满足的约束条件假设x 为n 维设计变量，且线性规划问题具有不等式约束1m 个，等式约束2m 个，那么：x 、、lb c 、 和ub 均为n 维列向量，b 为1m 维列向量，eq b 为m 2维列向量，A 为n m ⨯1维矩阵，eq A 为n m ⨯2维矩阵需要注意的是：MATLAB 标准型是对目标函数求极小，如果遇到是对目标函数求极大的问题，在使用MATLAB 求解时，需要在函数前面加一个负号转化为对目标函数求极小的问题；MATLAB 标准型中的不等式约束形式为""≤，如果在线性规划问题中出现""≥形式的不等式约束，则我们需要在两边乘以(-1)使其转化为MATLAB 中的""≤形式。

如果在线性规划问题中出现了“<”或者“>”的约束形式，则我们需要通过添加松弛变量使得不等式约束变为等式约束之后，我们只需要将所有的约束（包括不等式约束和等式约束）转化为矩阵形式的即可。

例如，对于如下线性规划模型：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥=+=+-≥-+-≤+-+-=0,,7 32 8228 122 ..24 max 3212131321321321x x x x x x x x x x x x x t s x x x f 要转化为MATLAB 标准形，则要经过：（1）原问题是对目标函数求极大，故添加负号使目标变为：32124 m in x x x f -+-=；（2）原问题中存在“≥”的约束条件，故添加负号使其变为：8228321≤+-x x x用MATLAB 表达则为c=[-4; 2; -1]; %将目标函数转化为求极小A=[2 -1 1; 8 -2 2]; b=[12; -8]; %不等式约束系数矩阵Aeq=[-2 0 1; 1 1 0];beq=[3; 7]; %等式约束系数矩阵lb=[0; 0; 0];ub=[Inf; Inf; Inf] %对设计变量的边界约束MATLAB 优化工具箱中求解线性规划问题的命令为linprog ，其函数调用方法有多种形式如下所示：x = linprog(c,A,b)x = linprog(c,A,b,Aeq,beq)x = linprog(c,A,b,Aeq,beq,lb,ub)x = linprog(c,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)x = linprog(c,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)x = linprog(problem)[x,fval] = linprog(...)[x,fval,exitflag] = linprog(...)[x,fval,exitflag,output] = linprog(...)[x,fval,exitflag,output,lambda] = linprog(...)输入参数MATLAB工具箱中的linprog函数在求解线性规划问题时，提供的参数为：模型参数、初始解参数和算法控制参数。

用MATLAB 优化工具箱解线性规划min z=cXbAX t s ≤..1、模型：命令：x=linprog （c ，A ，b ）2、模型：beqAeqX bAX ..min =≤=t s cXz 命令：x=linprog （c ，A ，b ，Aeq,beq ）注意：若没有不等式：b AX ≤存在，则令A=[]，b=[].若没有等式约束,则令Aeq=[],beq=[].3、模型：VUBX VLB beqAeqX bAX ..min ≤≤=≤=t s cXz 命令：[1]x=linprog （c ，A ，b ，Aeq,beq,VLB ，VUB ）[2]x=linprog （c ，A ，b ，Aeq,beq,VLB ，VUB,X0）注意：[1]若没有等式约束,则令Aeq=[],beq=[].[2]其中X0表示初始点4、命令：[x,fval]=linprog(…)返回最优解ｘ及ｘ处的目标函数值fval.例1max 6543216.064.072.032.028.04.0x x x x x x z +++++=85003.003.003.001.001.001.0..654321≤+++++x x x x x x t s 70005.002.041≤+x x 10005.002.052≤+x x 90008.003.063≤+x x 6,2,10 =≥j x j 解编写M 文件小xxgh1.m 如下：c=[-0.4-0.28-0.32-0.72-0.64-0.6];A=[0.010.010.010.030.030.03;0.02000.0500;00.02000.050;000.03000.08];b=[850;700;100;900];Aeq=[];beq=[];vlb=[0;0;0;0;0;0];vub=[];[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)例2321436min x x x z ++=120..321=++x x x t s 301≥x 5002≤≤x 203≥x 解:编写M 文件xxgh2.m 如下：c=[634];A=[010];b=[50];Aeq=[111];beq=[120];vlb=[30,0,20];vub=[];[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub例3（任务分配问题）某车间有甲、乙两台机床，可用于加工三种工件。

176第5章优化问题5.1线性规划问题线性规划问题是目标函数和约束条件均为线性函数的问题，MATLAB6.0解决的线性规划问题的标准形式为：min nR x x f ∈'sub.to ：b x A ≤⋅beq x Aeq =⋅ubx lb ≤≤其中f 、x 、b 、beq 、lb 、ub 为向量，A 、Aeq 为矩阵。

其它形式的线性规划问题都可经过适当变换化为此标准形式。

在MATLAB6.0版中，线性规划问题（Linear Programming ）已用函数linprog 取代了MATLAB5.x 版中的lp 函数。

当然，由于版本的向下兼容性，一般说来，低版本中的函数在6.0版中仍可使用。

函数linprog格式x =linprog(f,A,b)%求min f '*x sub.to b x A ≤⋅线性规划的最优解。

x =linprog(f,A,b,Aeq,beq)%等式约束beq x Aeq =⋅，若没有不等式约束b x A ≤⋅，则A=[]，b=[]。

x =linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)%指定x 的范围ub x lb ≤≤，若没有等式约束beq x Aeq =⋅，则Aeq=[]，beq=[]x =linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)%设置初值x0x =linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)%options 为指定的优化参数[x,fval]=linprog(…)%返回目标函数最优值，即fval=f '*x 。

[x,lambda,exitflag]=linprog(…)%lambda 为解x 的Lagrange 乘子。

[x,lambda,fval,exitflag]=linprog(…)%exitflag 为终止迭代的错误条件。

[x,fval,lambda,exitflag,output]=linprog(…)%output 为关于优化的一些信息说明若exitflag>0表示函数收敛于解x ，exitflag=0表示超过函数估值或迭代的最大数字，exitflag<0表示函数不收敛于解x ；若lambda=lower 表示下界lb ，lambda=upper 表示上界ub ，lambda=ineqlin 表示不等式约束，lambda=eqlin 表示177等式约束，lambda 中的非0元素表示对应的约束是有效约束；output=iterations 表示迭代次数，output=algorithm 表示使用的运算规则，output=cgiterations 表示PCG 迭代次数。