【中考-章节复习六 】 第五章全等三角形1

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证明：延长 ED 到 M，使 DM＝ED，连接 CM，FM，
BD＝DC， ∵D 是 BC 的中点，∴BD＝CD.在△EDB 与△MDC 中，∠EDB＝∠CDM，
ED＝DM，
∴△EDB≌△MDC(SAS)，∴BE＝CM.∵ED⊥DF，ED＝DM， ∴EF＝FM， 又∵在△FMC 中， ∴CF＋CM＞EF，即 CF＋BE＞EF
∴∠CDF＋∠BDF＝90°，
长线上A的E任所一在点和直顶线点A折相连叠，，所得点的B△的DA对B和应△D点AC是无疑点是B不′，全等连的接，由A此B可′并知，延有长两边交及直其一线边D的C对于角对点应F相. 等的两个三角形(简称“边
边角”)不一定全等．因此，在判定三角形全等时，一定要留心“边边角”，别上当哟．
④
对应相等的两个三角形全等(SSS)；
三边
⑤
对应相等的两个直角三角形全等(HL).
斜边和一条直角边
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【例1】 已知：
∴∠EDC＝∠BDF， 图③的结论：BE－DF＝AF； 图②的证明：如图②，延长CD到点G，使DG＝BE，连接AG，需证△ABE≌△ADG，∴∠BAE＝∠DAG，∵CB∥AD，∴∠AEB＝∠EAD， ∵∠BAE＝∠B′AE，∴∠B′AE＝∠DAG，∴∠GAF＝∠DAE，∴∠AGD＝∠GAF，∴GF＝AF，∴BE＋DF＝AF； 图②的证明：如图②，延长CD到点G，使DG＝BE，连接AG，需证△ABE≌△ADG，∴∠BAE＝∠DAG，∵CB∥AD，∴∠AEB＝∠EAD， ∵∠BAE＝∠B′AE，∴∠B′AE＝∠DAG，∴∠GAF＝∠DAE，∴∠AGD＝∠GAF，∴GF＝AF，∴BE＋DF＝AF； 图②的证明：如图②，延长CD到点G，使DG＝BE，连接AG，需证△ABE≌△ADG，∴∠BAE＝∠DAG，∵CB∥AD，∴∠AEB＝∠EAD， ∵∠BAE＝∠B′AE，∴∠B′AE＝∠DAG，∴∠GAF＝∠DAE，∴∠AGD＝∠GAF，∴GF＝AF，∴BE＋DF＝AF； 1．( ·铜仁)如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D是AB的中点，DE⊥DF，点F，F分别在AC，BC上，求证：DE＝DF. ∴∠CDF＋∠BDF＝90°，

第5章图形的性质【精学】考点一、全等三角形1、全等三角形的概念能够完全重合的两个图形叫做全等形。

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。

夹边就是三角形中相邻两角的公共边，夹角就是三角形中有公共端点的两边所成的角。

2、全等三角形的表示和性质全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。

如△ABC≌△DEF，读作“三角形ABC全等于三角形DEF”。

全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。

如图2—7，△ABC≌△A `B`C`，则有A、B、C的对应点A`、B`、C`；AB、BC、CA的对应边是A`B`、B`C`、C`A`。

∠A，∠B，∠C的对应角是∠A`、∠B`、∠C`。

∴AB＝A`B`，BC＝B`C`，CA＝C`A`；∠A＝∠A`，∠ B＝∠B`，∠C＝∠C`注意：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

3、三角形全等的判定三角形全等的判定定理：（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。

直角三角形全等的判定：对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）考点二、全等变换只改变图形的位置，二不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。

全等变换包括以下三种：（1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。

（2）对称变换：将图形沿某直线翻折180°，这种变换叫做对称变换。

（3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。

BD＝DC， ∴△ADC≌△HDB(SAS)， ∴AC＝BH，∠H＝∠HAC. ∵EA＝EF，∴∠HAE＝∠AFE. 又∵∠BFH＝∠AFE，∴∠H＝∠BFH， ∴BH＝BF，∴AC＝BF.
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第21课时┃ 全等三角形
方法二：如图②，延长FD至点H，使得DH＝ FD，连接HC.
∵D为BC中点，∴BD＝CD. 在△BFD和△CHD中，
BD＝CD， ∠BDF＝∠CDH， DF＝DH，
∴△BFD≌△CHD(SAS)， ∴∠H＝∠BFH，BF＝CH. ∵AE＝FE，∴∠HAC＝∠AFE. 又∵∠AFE＝∠BFH，∴∠H＝∠HAC， ∴CH＝CA，∴AC＝BF.
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第21课时┃ 全等三角形
方法模型 有关全等三角形的一些较难的证明题不能直接找到全等 三角形，而是需要构造合适的全等三角形．那么常见的辅助 线的添加方法有哪些呢？我们现在就列举出一些常见的方 法： (1)有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构 造全等三角形； (2)有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段， 构造全等三角形； (3)有三角形中线时，常延长加倍中线，构造全等三角 形； (4)截长补短法作辅助线．
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第21课时┃ 全等三角形
考点●2 全等三角形的判定
1.三边分别相等的两个三角形全等(简记为SSS) 2.两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(简记为
基本 判 定方 法
____A_S__A_) 3.两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等
(简记为___A_A__S__) 4.两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(简记为
过一点作已知直线的垂线
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考点五全等三角形知识点整合二、全等三角形1．三角形全等的判定定理：（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）；（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）；（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）；（4）对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）．2．全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等；（2）全等三角形的周长相等，面积相等；（3）全等三角形对应的中线、高线、角平分线、中位线都相等．考向一全等三角形1．从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素（其中至少有一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边（角）准确地确定要补充的边（角），有目的地完善三角形全等的条件，从而得到判定两个三角形全等的思路：（1）已知两边SASHLSSS ⎧⎪⎨⎪⎩找夹角→找直角→找第三边→（2）已知一边、一角AASSASASAAAS⎧⎪⎧⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩一边为角的对边→找另一角→找夹角的另一边→一边为角的邻边找夹角的另一角→找边的对角→（3）已知两角ASAAAS ⎧⎨⎩找夹边→找其中一角的对边→2．若题中没有全等的三角形，则可根据题中条件合理地添加辅助线，如运用作高法、倍长中线法、截长补短法、分解图形法等来解决运动、拼接、旋转等探究性题目．典例引领1．在学习了全等三角形的判定后，聪明的小惠猜想了一个命题：如果两个三角形有两边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等．她根据命题的意义画出了图形（如图），并写出了部分已知条件，请你把已知条件补充完整，并写出证明过程．已知：如图，AD 和A D ''分别是ABC 和A B C ''' 的中线，AD A D ''=，AB A B ''=，______．求证：A ABC B C '''≌△△．∴B B '∠=∠，在ABC 和A B C ''' 中，AB A B B B BC B C =⎧⎪∠=∠⎨⎪=''''⎩'，∴()SAS ABC A B C ''' ≌，故答案为：BC B C ''=．2．（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图()1，已知：在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线l 经过点A ，BD ⊥直线l ，CE ⊥直线l ，垂足分别为点D 、E ．证明：DE BD CE =+．（2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图()2，将()1中的条件改为：在ABC 中，AB AC =，D 、A 、E 三点都在直线l 上，并且有BDA AEC BAC α∠=∠=∠=，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE BD CE =+是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图()3，过ABC 的边AB 、AC 向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，AH 是BC 边上的高，延长HA 交EG 于点I ，求证：I 是EG 的中点．【答案】（1）证明见解析；（2）成立，证明见解析；（3）证明见解析．【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，由条件证明三角形全等得到BD AE =、CE AD =是解题的关键．（1）由条件可证明ADB CEA ≌，可得DA CE =，AE BD =，可得结论；（2）由条件可知180BAD CAE α∠+∠=︒-，且180DBA BAD α∠+∠=︒-，可得DBA CAE ∠=∠，结合条件可证明ADB CEA ≌，同（1）可得出结论；（3）过E 作EM HI ⊥于M ，GN HI ⊥，交HI 的延长线于N ．由条件可知EM AH GN ==，可得EM GN =，结合条件可证明EMI GNI ≌，可得出结论I 是EG 的中点．【详解】解：（1）如图1，BD ⊥ 直线l ，CE ⊥直线l ，90BDA CEA ∴∠=∠=︒，90BAC ∠=︒ ，90BAD CAE ∴∠+∠=︒，90BAD ABD ∠+∠=︒ ，CAE ABD ∴∠=∠.在ADB 和CEA 中，BDA AEC DBA EAC AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AAS ADB CEA ∴ ≌，AE BD ∴=，AD CE =，DE AE AD BD CE ∴=+=+；（2）成立：DE BD CE =+．如图2，α∠=∠= BDA BAC ，180α∴∠+∠=∠+∠=︒-DBA BAD BAD CAE ，DBA CAE ∴∠=∠，在ADB 和CEA 中．BDA AEC DBA EAC AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩．ADB ∴ ≌()AAS ADB CEA ∴ ≌，AE BD ∴=，AD CE =，DE AE AD BD CE ∴=+=+；（3）如图3，过E 作EM HI ⊥于M ，GN HI ⊥，交HI 的延长线于N ，90EMI GNI ∴∠=∠=︒，由（1）和（2）同理可证AEM BAH ≌，AGN CAH ≌，EM AH GN ∴==.EM GN ∴=，在EMI △和GNI △中，EIM GIN EMI GNI EM GN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，EMI ∴ ≌()AAS EMI GNI ∴ ≌，EI GI ∴=，I ∴是EG 的中点．3．如图，在ABC 中，AC AB >，D 是BA 延长线上的一点，点E 是CAD ∠的平分线上的一点，EB EC =，过点E 作EF AC ⊥于点F ，EG AD ⊥于点G ．(1)求证：EGB EFC≌△△(2)若3AB =，5AC =，求AF 的长．【答案】(1)见解析(2)1【分析】本题主要考查了角平分线的定义、全等三角形的判定与性质等知识，证明AGE AFE ≌是解答本题的关键．（1）先证明AGE AFE ≌，即有EG EF =，结合EB EC =，即可得Rt Rt EGB EFC △≌△；（2）由（1）AGE AFE ≌，Rt Rt EGB EFC △≌△，进而可得BG FC =，根据5AC AC AF FC BG AB AG ==+=+，，，可得25AF FC AF BG AF AB AG AF AB +=+=++=+=，即可得235AF +=，则AF 可求．【详解】（1）证明：∵EG AD ⊥，EF AC ⊥，∴90EGB EFC ∠=︒=∠，∴EGB 和EFC 是直角三角形，∵AE 平分CAD ∠，∴∠=∠EAG EAF ，∵EA EA =，∴()AAS AGE AFE ≌，∴EG EF =，∵EB EC =，∴()Rt Rt HL EGB EFC ≌，（2）∵AGE AFE ≌，Rt Rt EGB EFC △≌△，∴BG FC =，AG AF =，∵5AC AC AF FCBG AB AG ==+=+，，，∴25AF FC AF BG AF AB AG AF AB +=+=++=+=，∵3AB =，∴235AF +=，∴1AF =，即AF 的长为1．4．阅读理解，自主探究：(1)如图1，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线MN 经过点C ，且AD MN ⊥于点D ，BE MN ⊥于点E ．求证DE AD BE =+．(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，其余条件不变，你认为上述结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时DE 、AD 、BE 之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)（1）中结论不成立，DE AD BE =-，理由见解析．【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，直角三角形的两锐角互余，熟练掌握全等三角洲的判定及性质是解题的．()1根据三垂直得出ACD CBE ∠∠=，然后得出ADC 和CEB 全等，从而得出AD CE =，DC BE =，从而得到结论；()2首先证明ADC 和CEB 全等，从而得出AD CE =，DC BE =，得出结论．【详解】（1）解：∵90ACB ∠=︒，∴90ACD BCE ∠∠+=︒，∵AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E ，∴90ADC CEB ∠∠==︒，90BCE CBE ∠∠+=︒，∴ACD CBE ∠∠=．在ADC 和CEB 中，ADC CEB ACD CBE AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ADC CEB ≌，∴AD CE =，DC BE =，∴DE DC CE BE AD =+=+；（2）解：（1）中结论不成立，DE AD BE =-，理由如下：∵90ACB ∠=︒，∴90ACD BCE ∠∠+=︒，∵AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E ，∴90ADC CEB ∠∠==︒，90BCE CBE ∠∠+=︒，∴ACD CBE ∠∠=．在ADC 和CEB 中，90ADC CBE ACD CBE AC CB ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ADC CEB ≌，∴AD CE =，DC BE =，∴DE CE CD AD BE =-=-．5．如图，AE 与BD 相交于点C ，AC EC =，BC DC =，4cm AB =，点P 从点A 出发，沿A B A →→方向以3cm/s 的速度运动，点Q 从点D 出发，沿D E →方向以1cm/s 的速度运动，P 、Q 两点同时出发，当点P 到达点A 时，P 、Q 两点同时停止运动．设点P 的运动时间为()s t ．(1)当403t ≤≤时，线段AP 的长为______，当4833t <≤时，线段AP 的长为______（用含t 的式子表示）．(2)请判断AB 与DE 的数量与位置关系，并证明你的结论．(3)连接PQ ，当线段PQ 经过点C 时，求t 的值．在ACP △和ECQ 中，6．如图所示，直线AB 交x 轴正半轴于点(),0A a ，交y 轴正半轴于点()0,B b ，且a 、b 满足50b -=．(1)求A 、B 两点的坐标；(2)如图1所示，D 为OA 的中点，连接BD ，过点O 作OF BD ⊥于点F ，过点A 作AG OA ⊥于点A ，交OF 的延长线于点G ，求点G 的坐标；(3)如图2所示，在（2）的条件下，若AB 交于点E ，连接ED ，求证：BDO EDA ∠=∠．∵AG OA⊥∴904545GAE ∠=︒-︒=︒∴DAE GAE∠=∠又∵AE AE=∴()SAS DAE GAE ≌∴EDA G∠=∠∵()ASA BOD OAG ≌∴BDO G∠=∠∴BDO EDA ∠=∠．7．已知：如图，AB DB =，CB EB =，12∠=∠，求证：A D ∠=∠．【答案】见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先求出ABC DBE ∠=∠，再利用“SAS ”证明ABC DBE ≌，即可得证，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键．【详解】证明：12∠=∠ ，12DBC DBC ∴∠+∠=∠+，即ABC DBE ∠=∠，在ABC 和DBE 中，AB DB ABC DBE CB EB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()SAS ABC DBE ∴△≌△，A D ∴∠=∠．变式拓展8．如图，AB ED ∥，AB ED AF DC ＝，＝．求证：EF CB ∥．【答案】证明见解析【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，平行线的判定，根据题意证明()SAS ABC DEF ≌△△，继而得ACB DFE ∠∠＝，证明即可．【详解】证明：∵AB ED ∥，∴A D ∠∠＝，∵AB ED AF DC ＝，＝，∴AF CD DC CF ++＝，即AC DF ＝，在ABC 和DEF 中，AB DE A D AC DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ABC DEF ≌△△∴ACB DFE ∠∠＝，∴EF CB ∥．9．学习与探究：如图1，OP 是MON ∠的平分线，点A 是OP 上任意一点，用圆规分别在OM 、ON 上截取OB OC =，连接AB 、AC ，则AOB AOC ≌△△，判定方法是_________．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图2，在ABC 中，ACB ∠是直角，=60B ∠︒，AD 、CE 分别是BAC ∠和BCA ∠的平分线，AD 、CE 相交于点F ，求EFA Ð的度数；（2）在（1）的条件下，请判断FE 与FD 之间的数量关系，并说明理由；（3）如图3，在ABC 中，如果ACB ∠不是直角，而（1）中的其他条件不变，试问在（2）题中所得结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，也请说明理由．∵AD 是BAC ∠的平分线，∴EAF GAF ∠=∠，在EAF △和GAF 中，∵===AE AG EAF FAG AF AF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴()SAS EAF GAF ≌，∴FE FG =，==60EFA GFA ∠∠︒，∴=1806060=60GFC ∠--︒︒︒︒，又∵==60DFC EFA ∠∠︒，∴DFC GFC ∠=∠，在FDC △和FGC △中∵===DFC GFC FC FC FCG FCD ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩，∴()ASA FDC FGC ≌，∴FD FG =，∴FE FD =．（3）在（2）中的结论FE FD =仍然成立．在AC 上截取AH AE =，连接FH ，如图所示：10．在ABC 中，90ACB ∠=︒，分别过点A 、B 两点作过点C 的直线m 的垂线，垂足分别为点D 、E ．(1)如图1，当AC CB =，点A 、B 在直线m 的同侧时，求证：DE AD BE =+；(2)如图2，当AC CB =，点A 、B 在直线m 的异侧时，请问（1）中有关于线段DE 、AD 和BE 三条线段的数量关系的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请给出正确结论，并说明理由；(3)如图3，当16cm AC =，30cm CB =，点A 、B 在直线m 的同侧时，一动点M 以每秒2cm 的速度从A 点出发沿A →C →B 路径向终点B 运动，同时另一动点N 以每秒3cm 的速度从B 点出发沿B →C →A 路径向终点A 运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动．在运动过程中，分别过点M 和点N 作MP m ⊥于P ，NQ m ⊥于Q ．设运动时间为t 秒，当t 为何值时，MPC 与NQC 全等？【答案】(1)见解析(2)DE AD BE =-，见解析(3)9.2t =或14或16秒【分析】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，同角的余角相等，判断出ADC CEB ≌是解本题的关键，还用到了分类讨论的思想．（1）根据AD m ⊥于D ，BE m ⊥于E ，得90ADC CEB ∠∠==︒，而90ACB ∠=︒，根据等角的余角相等得ACD CBE ∠∠=，然后根据“AAS ”可判断ADC CEB ≌，则AD CE =，DC BE =，于是DE DC CE BE AD =+=+；（2）同（1）易证ACD CBE ≌，则AD CE =，CD BE =，于是DE CE CD AD BE =-=-；（3）只需根据点M 和点N 的不同位置进行分类讨论即可解决问题．【详解】（1）证明：∵90ACB ∠=︒，∴90ACD BCE ∠∠+=︒，∵AD m ⊥于D ，BE m ⊥于E ，∴90ADC CEB ∠∠==︒，90BCE CBE ∠∠+=︒，∴ACD CBE ∠∠=，在ADC 和CEB 中，ADC CEB ACD CBE AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS ADC CEB ≌，∴AD CE =，DC BE =，∴DE DC CE BE AD =+=+；（2）解：结论：DE AD BE =-；理由：∵AD m ⊥，BE m ⊥，∴90ADC CEB ∠∠==︒，∵90ACB ∠=︒，∴90ACD CAD ACD BCE ∠∠∠∠+=+=︒，∴CAD BCE ∠∠=，在ACD 和CBE 中，ADC CEB CAD BCE AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∵MC NC =，∴162303t t -=-，解得：14t =，不合题意；②当810t ≤<时，点M 在BC ∵MC NC =，∴点M 与点N 重合，∴216303t t =﹣﹣，解得：9.2t =；∵MC NC =，∴216330t t -=-，解得：14t =；∵MC NC =，∴21616t -=，解得：16t =；综上所述：当9.2t =或14或1611．在正方形纸片ABCD 中，点M 、N 分别是BC 、AD 上的点，连接MN ．(1)问题探究：如图1，作DD MN '⊥，交AB 于点D ¢，求证：MN DD '=；(2)问题解决：如图2，将正方形纸片ABCD 沿过点M 、N 的直线折叠，点D 的对应点D ¢恰好落在AB 上，点C 的对应点为点C '，若12BD '=，4CM =，求线段MN 的长．四边形ABCD 是正方形，∴AD AB =，90DAB ABM ∠=∠=︒， 90∠=︒NHB ，∴四边形ABHN 是矩形，∴AB HN =，DD MN '⊥，∴90DON ∠=︒，∴90OND ODN ∠+∠=︒，90OND MNH ∠+∠=︒，∴ODN MNH ∠=∠，DAD NHM '∠=∠，AD NH =，∴()'ASA ADD HNM ≌，∴MN DD '=；（2）（2）连接MD '，DD '，由折叠的性质得到：C M CM '=，CD C D =''，设正方形的边长为x ，由勾股定理得，2222BD BM D C C M ''''++=，∴()22221244x x +-=+，解得：18x =，∴18AB AD ==，∴18126AD AB BD ''=-=-=，由勾股定理得，2222186360610DD AD AD ''=+=+==，MN 是DD '的垂直平分线，由（1）知，DD MN '=，∴610MN =．12．【问题解决】已知ABC 中，,,,AB AC D A E =三点都在直线1上，且有BDA AEC BAC ∠=∠=∠．如图①，当90BAC ∠=︒时，线段,,DE BD CE 的数量关系为：DE BD CE=+【类比探究】（1）如图②，在（1）的条件下，当0180BAC ︒<∠<︒时，线段,,DE BD CE 的数量关系是'否变化，若不变，请证明：若变化，写出它们的关系式；【拓展应用】（2）如图③，,90AC BC ACB =∠=︒，点C 的坐标为()2,0-，点B 的坐标为()1,2，请求出点A 的坐标．【答案】（1）DE BD CE =+的数量关系不变，理由见解析；（2）(4,3)-【分析】本题考查的是三角形全等的判定和性质、坐标与图形性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．（1）根据三角形的外角性质得到ABD CAE ∠=∠，证明ABD CAE ≌ ，根据全等三角形的性质解答；（2）过点A 作AM x ⊥轴于点M ，过点B 作BN x ⊥轴于点N ，根据（1）的结论得到ACM BCN ≌△△，根据全等三角形的性质解答即可．【详解】解：（1）DE BD CE =+的数量关系不变，理由如下：BAE ∠ 是ABD 的一个外角，BAE ADB ABD ∴∠=∠+∠，BDA BAC ∠=∠ ，ABD CAE ∴∠=∠，在ABD △和CAE V 中，ABD CAE ADB CEA BA AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(AAS)ABD CAE ∴△≌△，AD CE ∴=，BD AE =，DE AD AE BD CE ∴=+=+；（2）过点A 作AM x ⊥轴于点M ，过点B 作BN x ⊥轴于点N ，点C 的坐标为(2,0)-，点B 的坐标为(1,2)，2OC ∴=，1ON =，2BN =，3CN ∴=，由（1）可知，ACM BCN ≌△△，3AM CN ∴==，2CM BN ==，4OM OC CM ∴=+=，∴点A 的坐标为(4,3)-．13．【初步探索】（1）如图1，在四边形ABCD 中，AB AD =，90B ADC ∠=∠=︒，120BAD ∠=︒，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且60EAF ∠=︒，探究图中BE 、EF 、FD 之间的数量关系．小芮同学探究此问题的方法是：延长FD 到点G ，使DG BE =，连接AG ，先证明：ABE ADG △≌△，再证明AEF AGF ≌，可得出结论，他的结论应是；【灵活运用】（2）如图2，若在四边形ABCD 中，AB AD =，180B D ∠+∠=∠︒，120BAD ∠=︒，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且60EAF ∠=︒，（1）中的结论是否仍然成立，说明理由．【拓展延伸】（3）如图3，在四边形ABCD 中，180ABC ADC ∠+∠=︒，AB AD =，若点E 在CB 的延长线上，点F 在CD 的延长线上，满足EF BE FD =+，请判断EAF ∠与DAB ∠的数量关系．并证明你的结论．【答案】（1）BE FD EF +=；（2）（1）中的结论仍成立，理由见解答过程；（3）11802EAF DAB ∠=︒-∠．理由见解答过程．证明见解析【分析】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等．（1）根据SAS 可判定ABE ADG △≌△，进而得出BAE DAG ∠=∠，AE AG =，再根据SAS 判定AEF AGF ≌，可得出EF GF DG DF BE DF ==+=+，据此得出结论；（2）延长FD 到点G ，使DG BE =，连接AG ，先根据SAS 判定ABE ADG △≌△，进而得出BAE DAG ∠=∠，AE AG =，再根据SAS 判定AEF AGF ≌，可得出EF GF DG DF BE DF ==+=+；（3）在DC 延长线上取一点G ，使得DG BE =，连接AG ，先根据SAS 判定ADG ABE ≌，再根据SAS 判定AEF AGF ≌，得出FAE FAG ∠=∠，最后根据360FAE FAG GAE ∠+∠+∠=︒，推导得到2360FAE DAB ∠+∠=︒，即可得出结论．【详解】解：（1）BE FD EF +=．理由如下：如图1，延长FD 到点G ，使DG BE =，连接AG ，90ADC ∠=︒ ，18090ADG ADC ∴∠=︒-∠=︒，又90B ∠=︒ ，B ADG ∴∠=∠，在ABE 与ADG △中，AB AD B ADG BE DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(SAS)ABE ADG ∴ ≌，BAE DAG ∴∠=∠，AE AG =，120BAD ∠=︒ ，60EAF ∠=︒，60BAE DAF BAD EAF ∴∠+∠=∠-∠=︒，60DAG DAF ∴∠+∠=︒，即60GAF =︒∠，GAF EAF ∴∠=∠；在AEF △与AGF 中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，180∠+∠=︒，B ADF∴∠=∠，B ADG又AB AD，=≌(SAS)∴ABE ADG∴∠=∠，AE BAE DAG180ABC ADC ∠+∠=︒ ，ADC ABE ∴∠=∠，在ABE 与ADG △中，AB AD B ADG BE DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，。