矩阵Jordan 标准型简介一、什么是矩阵的Jordan 标准型►1.1 设A ，B 为n 阶矩阵，如果存在n 阶可逆矩阵P 存在，使得1P AP B -=,则称矩阵A 与B 相似，记为A ~B 。
►1.2 任何方阵A 均可通过某一相似变换化为如下Jordan 标准型：1122()()()s s J J J J λλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦其中 10()10i ii i i J λλλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦称为Jordan 块。
12,,,s λλλ为A 的特征。
说明：（1）()i i J λ中的特征值全为i λ，但是对于不同的i 、j ，有可能i j λλ=，即多重特征值可能对应多个Jordan 块矩阵。
（2）Jordan 标准型是唯一的，这种唯一性是指：各Jordan 块矩阵的阶数和对应的特征值是唯一的，但是各Jordan 块矩阵的位置可以变化。
二、如何求矩阵的Jordan 标准型►2.1. 多项式矩阵（又称为λ阵）()()()()()()()()()()111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a λλλλλλλλλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦称为λ的多项式矩阵，其中矩阵元素()ij a λ为λ的多项式。
►2.2. 多项式矩阵的初等变换 （1） 互换两行（列）（2） 以非零常数乘以某行（列）[这里不能乘以λ的多项式或零，这样有可能改变原来矩阵的秩和属性]（3） 将某行（列）乘以λ的多项式加到另一行（列）►2.3. 多项式矩阵的Smith 标准型：采用初等变换可将多项式矩阵化为如下形式：()()()()12000r d d A d λλλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦其中，多项式()i d λ是首一多项式（首项系数为1，即最高幂次项的系数为1），且()()12d d λλ、()()23d d λλ、、()()1r r d d λλ-，即()i d λ是()1i d λ+的因式。
【线性代数】06-Jordan标准型 现在就来研究将空间分割为不变⼦空间的⽅法，最困难的是我们还不知道从哪⾥着⼿。
你可能想到从循环⼦空间出发，⼀块⼀块地进⾏分割，但这个⽅案的存在性和唯⼀性都不能解决。
不变⼦空间分割不仅要求每个⼦空间V'是不变的，还隐含要求V'之外元素的像不落在V'中，这⼀条就导致从局部开始分割的⽅案是⾏不通的。
另外，这种⽅法也⽆法保障分割的唯⼀性，因为分割过程依赖每个⼦空间的选取。
1. 化零多项式 看来还是得从全局出发，期望找到某个属性，它能将空间完美分割。
那么⾸先要将整个空间V放置在\mathscr{A}的某个属性下，然后按这个属性再进⾏细分。
这⼀步该如何跨出是很艰难的，想必历史上也并不是⼀蹴⽽就得来的。
前⾯我们已经做了⼀些简单的铺垫，最重要的⼀个是，变换的多项式所具有的不变⼦空间。
你可能问过⾃⼰，对⼀般的变换，是否有对其成⽴的恒等式？如果可以在多项式中找到这个等式就更好了。
想法是很好的，但在⾛向结论时却需要⼀个巧妙的构造，我不知道数学家们是如何得到的，毕竟⾃⼰的素养还不够。
回顾特征矩阵\lambda I-A，你既可以把它看成是矩阵系数的多项式，也可以看成是以多项式为元素的矩阵。
但在所有的变形中，其实我们默认\lambda是域K中的元素，⽽不是任意的不定元。
所以变形得到的等式也不能草率地当作⼀般多项式看待，尤其不能随便⽤⼀个矩阵带⼊到式⼦中，这⼀点⼀定要弄清楚。
但庆幸的是，还真有⼀个特殊情况，矩阵是可以代⼊多项式等式的。
考察特征矩阵的任意⼀个等式（1），展开左式并对应到右式，得到⼀系列等式（2）。
等式两边分别乘上I,A,A^2,\cdots并相加，就得到0=f(A)，这就仿佛是将矩阵A代⼊了等式（1）。
但这种代⼊⼀般是很难成⽴，它是得益于特征矩阵的特殊形式，我们可以把这个有趣的性质当做结论，(\lambda I-A)g(\lambda)=(\lambda I-A)(\lambda^mB_m+\lambda^{m-1}B_{m-1}+\cdots+B_0)=\lambda^nC_n+\lambda^{n-1}C_{n-1}+\cdots+C_0=f(\lambda)\tag{1}-AB_0=C_0;\;B_0-AB_1=C_1;\;B_1-AB_2=C_2;\cdots B_{n-1}-AB_n=C_n;\;B_n-AB_{n+1}=0;\cdots B_m=0\tag{2} 特别地，取g(\lambda)为\lambda I-A的伴随矩阵，等式右边就是\varphi(\lambda)I，从⽽有Hamilton-Caylay定理成⽴（公式（3），请参考抽象代数多项式⾥的余数定理）。
jordan标准形定理的证明以《Jordan标准形定理的证明》为标题，写一篇3000字的中文文章Jordan标准形定理是一种在抽象代数学中强有力的理论。
它指出，拥有可交换群（G）结构的任何有限群都可以表示为一系列两两不同的子群的乘积的和的形式，即G=A1A2A3…An。
该定理由古典拉格朗日定理（1870年）演变而来，于1906年由Edouard Jordan命名，因此也称为Jordan定理。
Jordan标准形定理是一种有用的抽象代数学定理，它已成功应用于很多科学领域，例如数论，群论，环论，主题论，基本代数系统，高等代数学等。
该定理的主要目的是用一种简单的方式给出有限群的结构，以便更好地理解和控制它们。
Jordan标准形定理的证明可以分为以下三步。
首先，我们假设群G是有限的，将它表示为：G＝A1＋A2＋…＋An 。
其次，我们需要证明子群Ai是互斥的，即Ai∩Aj=，i≠j。
最后，我们要证明A1*A2*…*An=G。
第一步：假设G是有限的，将它表示为：G＝A1＋A2＋…＋An 。
有限群G一定存在一些最简单的不同的子群Ai。
它们可以被称为最小群，它们的组合将构成G。
第二步：显然，Ai∩Aj=，i≠j，我们需要证明子群Ai是互斥的。
实际上，由于G是一个有限群，任意两个它的子群Ai和Aj都是无限的。
有限群G一定存在某个非负整数m，其中对任何元素g∈G，g=a1g1+…+amgm，其中ai∈Ai，i=1,2,…,m。
因此，每一对Ai，Aj 都有至少一个元素不属于两个群，因此子群Ai和Aj是互斥的。
第三步：最后我们需要证明A1*A2*…*An=G。
由第二步的证明，我们已经知道A1*A2*…*An是无限的。
而有限群G一定存在某个非负整数m，其中对任何元素g∈G，都满足g=a1g1+…+amgm，其中ai∈Ai，i=1,2,…,m。
由此可知，G中所有元素都可以在A1*A2*…*An中找到，因此A1*A2*…*An=G。
数学写作论文题目:浅谈矩阵Jordan标准形及其应用专业代码:作者姓名:学号:单位: 级班指导教师:年月日原创性声明本人郑重声明: 所提交的学位论文是本人在导师指导下, 独立进行研究取得的成果. 除文中已经注明引用的内容外, 论文中不含其他人已经发表或撰写过的研究成果, 也不包含为获得聊城大学或其他教育机构的学位证书而使用过的材料. 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体, 均已在文中以明确方式标明. 本人承担本声明的相应责任.学位论文作者签名: 日期指导教师签名: 日期目录第一章引言 (1)第二章基本概念 (1)2.1若尔当标准形的定义 (1)2.2若尔当标准形的性质 (3)第三章若尔当标准形的应用 (5)3.1矩阵分解论中的应用 (5)3.2解矩阵方程中的应用 (6)3.3解线性递推关系式中的应用 (7)3.4哈密顿—凯莱定理的证明 (11)第四章结束语 (13)参考文献 (14)致谢 (15)摘要矩阵在高等代数中占有举足轻重的作用.而且矩阵有很多形式,本文主要介绍Jordan标准形的定义、性质及其应用,例如:每个n级复数都与一个若尔当形矩阵相似、复数矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是A的不变因子没有重根等,对于今后的高等代数的进一步研究学习有很大的帮助.关键词：若尔当标准形; 矩阵分解; 线性递推; 哈密顿—凯莱定理AbstractMatrix is very import in high level mathematic. There are many kinds of matrix. This paper describes several equivalent definitions of mathematic, and then focused on the properties of Jordan matrix and application of the Jordan matrix such as every n level plural is similar for a Jordon matrix, plural A is similar to diagonally matrix on the base of the unconverted factor without two same resultsKey words Jordan matrix; matrix resolve; analysis linearly; Hamilton-Caylay浅谈矩阵Jordan标准形及其应用第一章引言在学习与代数相关的知识中,矩阵的学习是必须的,在高等代数中矩阵是研究问题很重要的工具.在研究矩阵相似问题时,若尔当块、若尔当标准形的定义及简单性质比较容易给出,但对若尔当标准形一些具有规律性的性质研究却很少,而正是这些性质使得若尔当标准形具有极其重要的理论和应用价值.对于若尔当标准形的性质及其应用,大多都是从相似的角度提及.但在大量实际应用中不难发现,将一般矩阵的问题化为若尔当标准形来讨论,可以使问题得到简化.为此,本文将围绕若尔当标准形的应用,从四个大方面:若尔当标准形在矩阵分解论中的应用、若尔当标准形在解线性递推关系式中的应用、若尔当标准形在矩阵方程中的应用、以及用若尔当标准形证明哈密顿—凯莱（Hamilton-Caylay）定理,来对若尔当标准形的应用进行归纳总结.本文以例题的形式给出了若尔当矩阵在这四个方面的应用,通过同常规解题方法的比较,不难得出,矩阵的若尔当标准形对于我们求解某些矩阵的幂、行列式的值以及证明都是很有用的.总的来说,本文从若尔当标准形的定义及简单性质出发,对若尔当标准形的应用做了系统的梳理.第二章 Jordan标准形基本概念2．1定义形式为0 (000)1 (000)(,)00 (10)00 (01)t t J tλλλλλ⨯⎛⎫⎪⎪⎪=⎪⎪⎪⎝⎭的矩阵为若尔当（Jordan ）块，其中λ是复数.由若干个若尔当块组成的准对角矩阵为若尔当形矩阵,其一般形式如12s J J J ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,其中1=11i i i ii ii k k J λλλλ⨯⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,并且12,,......,s λλλ中有一些可以相等.特别地，一级若尔当块就是一级矩阵，因此若尔当矩阵包括对角矩阵.在复数域范围内,对任意方阵A 总存在可逆矩阵P ,使11k J P AP J -⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭,其中11ii i J λλ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭为若尔当块()1,2,,i k =.而1k J J ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭称为A 的若尔当标准形.2.2性质性质1 n 级的复矩阵A 的若尔当标准形除去其中若尔当块的排列次序外是被矩阵A 唯一确定的.性质2 n 级的复矩阵A 的若尔当标准形J ，主对角线上的元素正是A 的特征多项式的全部的根，即A 的全部特征值（重根按重数计算）.性质3 复数矩阵A 与对角矩阵相似的充分必要条件是，A 的若尔当标准形全由1级的若尔当块构成.性质4 设n nA C ⨯∈,()[]f x C x ∈，若12,,,nλλλ为A 的全部特征值,则()f A 的全部特征值为12(),(),,()n f f f λλλ,即11()()()n f P f A P f λλ-⎛⎫⎪=⎪ ⎪*⎝⎭.证明 设110n P AP λλ-⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭为A 的若尔当标准形,再设10()m m f x a x a x a =+++,则111100()n n f A f P P PfP λλλλ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11110000mm m n n P a a a E Pλλλλ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=+++ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11()0()n f P P f λλ-⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪*⎝⎭，可见()f A 的全部特征值为12(),(),,()n f f f λλλ.性质5 在复数域范围内,对任意方阵A 总存在可逆矩阵P , 使11k J P AP J -⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭,则11K J A P P J -⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭11m m m k J A P P J -⎛⎫⎪∴=⎪ ⎪⎝⎭.其中m i J111111mi m m i m mmm m m m m m i i C C C C C λλλλ----⎛⎫⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(1,2,,)i k =.证明 设011iii i i J E A λλλλ⎛⎫ ⎪⎪==+ ⎪ ⎪⎝⎭,0110A ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭注意到：001010i nA ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，200001100i n A ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,,100100i i n n A -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭，0(0)i i nn A =.于是11110000()m m m m m m mi i i m i m i J E A E C A C A A λλλλ---=+=++++111111mi m m i m mmm m m m m m i i C C C C C λλλλ----⎛⎫⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭第三章 若尔当标准形的应用3.1 若尔当标准形在矩阵分解论中的应用（V oss 定理）设()n n A Mat C ⨯∈，证明：A 可以分解成两个对称矩阵之积，并且其中至少有一个是可逆的.例1设()n n A Mat C ⨯∈，矩阵P 和矩阵B 都是11n n ⨯矩阵，记111()1P n ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 11111111(,)1B n λλλλλ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 则有A PB =.证明 矩阵P 和矩阵B 都是对称的11n n ⨯矩阵，且1()P n 是可逆的，并有11111(,)()(,)J n P n B n λλ=又()n n A Mat C ⨯∈，则A 相似于一个若尔当矩阵，即存在()n n C Mat C ⨯∈，使得1A CJC -=,其中1122((,),(,),,(,))s s J diag J n J n J n λλλ=取12((),(),,())T s P Cdiag P n P n P n C =111122()((,),(,),,(,))T s s B C diag B n B n B n C λλλ--=即满足B ，P 都是对称的，P 是可逆的，并且A PB =.3.2 若尔当标准形在矩阵方程中的应用我们以“设()n n A Mat C ⨯∈，求矩阵X ,使得AX XA =”为例，说明Jordan 标准形在解矩阵方程中的应用.为了描述结果，我们引进下面的记号.记(){((0,))()[]}T n n g J n g x C x ⨯=∈如果121210()n n n n g x t x t x t x t ----=++++则 01201210((0,))n n n t t t g J n t t t t t t ---⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦上面的矩阵也称为下三角形Toepliz 矩阵。
