高考数学讲义直线.板块一.直线的倾斜角与斜率.学生版

直线的倾斜角与斜率

一、课标解读

1．在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素；

2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历由代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式；

3．能根据斜率判定两直线平行或垂直。

二、要点点拨

1．直线的倾斜角

当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角。当直线和x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为00，因此直线倾斜角的取值范围为000180。

注意：（1）清楚定义中的三个条件：

①直线向上方向；

②x轴的正方向；

③小于平角的角。

（2）倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对x轴正方向的倾斜程度。

（3）平面直角坐标系中每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等。

（4）确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可。

2．直线的斜率

我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率。斜率常用小写字母k表示，即tank。

注意：（1）当倾斜角是090时，直线的斜率不存在，并不是该直线不存在，此时直线垂直于x轴（或平行于y轴或与y轴重合）。

（2）所有的直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率。

（3）直线的斜率也反映了直线相对于x轴的正方向的倾斜程度，斜率的绝对值越大，直线的倾斜程度就越大。 3．斜率公式

经过两点111(,)Pxy，222(,)Pxy12()xx的直线的斜率公式为2121yykxx。

注意：（1）斜率公式表明直线相对于x轴的倾斜程度，可以通过直线上任意两点的坐标表示，比使用几何的方法求出倾斜角再求斜率的方法方便。

（2）斜率公式与两点的顺序无关，即两纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调换，就是说，如果分子是21yy，分母必须是21xx；反过来，如果分子是12yy，分母必须是12xx。

第八章 解析几何

第46讲 直线的倾斜角与斜率、直线的方程

考纲要求 考情分析 命题趋势

1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素．

2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．

3．掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系. 2016·四川卷，9

2015·全国卷Ⅰ，20(1) 直线的斜率、直线的方程是高考考查的重点内容，一般不单独命题，而是与圆、圆锥曲线及导数的几何意义、线性规划等相关知识综合考查.

分值：3～5分

1．直线的倾斜角

(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l__向上方向__之间所成的角叫做直线l的倾斜角，当直线l与x轴__平行或重合__时，规定它的倾斜角为0°.

(2)范围：直线l倾斜角的范围是__[0，π)__.

2．直线的斜率

(1)定义：若直线的倾斜角θ不是90°，则斜率k＝__tan_θ__.

(2)计算公式：若由A(x1，y1)，B(x2，y2)确定的直线不垂直于x轴，则k＝__y2－y1x2－x1__.

3．直线方程的五种形式

名称 条件 方程 适用范围

点斜式 斜率k与点(x0，y0) __y－y0＝k(x－x0)__ 不含直线x＝x0

斜截式 斜率k与截距b __y＝kx＋b__ 不含垂直于x轴的直线

两点式 两点(x1，y1)，(x2，y2) __y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1__ 不含直线x＝x1(x1＝x2)和直线y＝y1(y1＝y2) 截距式 截距a与b __xa＋yb＝1__ 不含垂直于坐标轴和过原点的直线

一般式 — __Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)__ 平面直角坐标系内的直线都适用

1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．

(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．( √ )

(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．( × )

直线的倾斜角与斜率

直线的倾斜角与斜率

1. 斜率的定义

斜率是平面直角坐标系中一条直线倾斜程度的度量。斜率可以帮助我们理解直线的倾斜程度以及方向。在数学中，斜率通常用m表示，它表示一条直线在水平方向的单位偏移所对应的垂直方向的单位偏移的比值。也可以理解为直线上两点之间的垂直高度差与水平距离的比率。假设一条直线上有两个点P(x1,

y1)和Q(x2, y2)，那么这条直线的斜率就可以表示为：

m = (y2 - y1) / (x2 - x1)

2. 直线的倾斜角度

直线的倾斜角度也叫直线的斜率角，可以帮助我们更直观地理解一条直线的倾斜程度和方向。与斜率相比，倾斜角度更易于理解和使用，尤其是在实际测量和应用中。直线的倾斜角通常用θ表示，计算公式如下：

tan(θ) = m

其中tan(θ)表示正切函数，它可以是斜率m的反函数。因此，直线的倾斜角通常可以表示为：

θ = atan(m)

而atan表示反正切函数，它可以将斜率转化为对应的弧度角，从而帮助我们更好地理解直线的方向和倾斜程度。

3. 应用举例

下面通过一个具体的应用举例来理解斜率和倾斜角度的概念。假设我们需要计算一条直线的倾斜角度和斜率，该直线穿过两个点P(3, 4)和Q(5, 8)。首先，我们需要计算该直线的斜率：

m = (8 - 4) / (5 - 3) = 2

然后，我们可以将该斜率转化为对应的倾斜角度：

θ = atan(2) = 1.107 rad

也就是说，该直线的倾斜角度是1.107弧度，约等于63.43度。这意味着，在平面坐标系上，该直线与水平方向的夹角为63.43度。可以看出，倾斜角度可以帮助我们更直观地理解直线的倾斜程度和方向，从而更方便地进行测量和计算。

4. 总结

斜率和倾斜角度是描述一条直线倾斜程度和方向的重要概念。它们可以帮助我们更直观地理解一条直线的特性，并且在测量和计算中有广泛的应用。需要注意的是，在实际应用中，我们需要根据具体情况选择使用斜率或倾斜角度，以获得更准确的结果。

高中数学《直线的倾斜角和斜率》教案

在平面直角坐标系中，我们用斜率来描述直线的倾斜程度，但是斜率只能描述直线相对于x轴的倾斜程度，无法描述直线相对于y轴的倾斜程度。因此，引入直线的倾斜角来描述直线的倾斜程度，可以更加全面地描述直线的特征。

2．举例说明：如图，直线L1与x轴的夹角为30度，直线L2与x轴的夹角为60度，直线L3与x轴的夹角为120度。我们可以发现，直线L1相对于x轴的倾斜程度最小，直线L3相对于x轴的倾斜程度最大。同时，我们也可以根据倾斜角的大小来判断直线相对于x轴的倾斜方向。

二)直线的斜率

1．定义：直线L上两点A(x1,y1)和B(x2,y2)的连线所成的角，叫做直线L的斜率，记作k，即k=tan.

2．斜率公式：设直线L上两点A(x1,y1)和B(x2,y2)，则直线L的斜率为k=(y2-y1)/(x2-x1).

3．举例说明：如图，直线L1过点A(1,2)和点B(3,4)，直线L2过点C(2,3)和点D(2,5)，直线L3过点E(-1,2)和点F(1,-2)。我们可以通过斜率公式计算出直线L1的斜率为1，直线L2的斜率为无穷大，直线L3的斜率为-2.

三)倾斜角和斜率的关系

1．推导过程：设直线L与x轴的夹角为，则tan=k，即=arctan(k)。

2．结论：直线的倾斜角和斜率是互相确定的，知道其中一个就可以求出另一个。同时，当直线的斜率存在时，直线的倾斜角是唯一确定的。

三、知识拓展

一)斜率的性质

1．斜率相等的直线平行，斜率相反的直线垂直。

2．斜率为0的直线与x轴平行，斜率不存在的直线与y轴平行。

3．斜率为正数的直线向上倾斜，斜率为负数的直线向下倾斜。

4．斜率越大，直线的倾斜程度越大。

二)斜率的应用 1．求两点间的距离：设两点A(x1,y1)和B(x2,y2)，则AB的距离为d=sqrt[(x2-x1)²+(y2-y1)²]。

2．判断三点共线：设三点A(x1,y1)，B(x2,y2)和C(x3,y3)，则当AB的斜率等于BC的斜率时，三点共线。