2019版高考数学(理)一轮复习全国经典版：第8章 平面解析几何 第1讲 直线的倾斜角与斜率

第1讲直线的倾斜角与斜率、直线的方程板块一知识梳理·自主学习[必备知识]考点1直线的倾斜角与斜率1．直线的倾斜角(1)定义：x轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)倾斜角的范围为0°≤α<180°.2．直线的斜率(1)定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tanα，倾斜角是90°的直线斜率不存在．(2)过两点的直线的斜率公式经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝y2－y1.x2－x1考点2直线方程的几种形式[必会结论] 直线的斜率k与倾斜角θ之间的关系“斜率变化分两段，90°是分界线；遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”．[考点自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线的倾斜角越大，其斜率越大．( )(2)斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1，不适用于垂直于x 轴和平行于x 轴的直线．( )(3)当直线的斜率不存在时，其倾斜角存在．( )(4)过点P (x 1，y 1)的直线方程一定可设为y －y 1＝k (x －x 1)．( ) (5)直线方程的截距式x a ＋yb ＝1中，a ，b 均应大于0.( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×2．[课本改编]过点M (－1，m )，N (m ＋1,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( )A ．1 B.12 C ．2 D.13 答案 A解析 由4－mm ＋2＝1，得m ＝1.故选A.3．[课本改编]倾斜角为135°，在y 轴上的截距为－1的直线方程是( )A ．x －y ＋1＝0B ．x －y －1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋1＝0 答案 D解析 直线的斜率为k ＝tan135°＝－1，所以直线方程为y ＝－x －1，即x ＋y ＋1＝0.4．[课本改编]过两点(0,3)，(2,1)的直线方程为( ) A ．x －y －3＝0 B ．x ＋y －3＝0 C ．x ＋y ＋3＝0 D ．x －y ＋3＝0 答案 B解析 所求直线的斜率k ＝3－10－2＝－1，又过点(0,3)，所以直线方程为y －3＝－x ，即x ＋y －3＝0.5．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( )A ．1B ．－1C ．－2或－1D ．－2或1答案 D解析 由题意可知a ≠0.当x ＝0时，y ＝a ＋2；当y ＝0时，x ＝a ＋2a ，∴a ＋2a ＝a ＋2，解得a ＝－2或a ＝1.6．[2018·长春模拟]直线l ：(a －2)x ＋(a ＋1)y ＋6＝0，则直线l 恒过定点________．答案 (2，－2)解析 直线l 的方程变形为a (x ＋y )－2x ＋y ＋6＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，－2x ＋y ＋6＝0，解得x ＝2，y ＝－2， 所以直线l 恒过定点(2，－2)．板块二 典例探究·考向突破 考向直线的倾斜角与斜率例 1 直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________．答案 (－∞，－3]∪[1，＋∞)解析 如图，∵k AP ＝1－02－1＝1, k BP ＝3－00－1＝－3，∴k ∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)．若将题中P (1,0)改为P (－1,0)，其他条件不变，求直线l 斜率的取值范围．解 ∵P (－1,0)，A (2,1)，B (0，3)，∴k AP ＝1－02－(－1)＝13，k BP＝3－00－(－1)＝ 3.如图可知，直线l 斜率的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3.若将题中条件改为“经过P (0，－1)作直线l ，若直线l 与连接A (1，－2)，B (2,1)的线段总有公共点”，求直线l 的倾斜角α的范围．解 如图所示，k P A ＝－2－(－1)1－0＝－1，k PB ＝1－(－1)2－0＝1，由图可观察出：直线l 倾斜角α的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.触类旁通直线的斜率与倾斜角的区别与联系【变式训练1】 (1)[2018·重庆巴蜀中学诊断]直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 答案 B解析 依题意，直线的斜率k ＝－1a 2＋1∈[－1,0)，因此其倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. (2)若经过两点A (4,2y ＋1)，B (2，－3)的直线的倾斜角为3π4，则y等于( )A ．－1B ．－3C ．0D ．2 答案 B解析 由k ＝－3－2y －12－4＝tan 3π4＝－1，得－4－2y ＝2，所以y＝－3.考向求直线的方程例 2 根据所给条件求直线的方程： (1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010；(2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12； (3)与直线3x －4y －5＝0关于y 轴对称．解 (1)由题设知该直线的斜率存在，故可采用点斜式．设倾斜角为α，则sin α＝1010(0<α<π)，从而cos α＝±31010，则k ＝tan α＝±13， 故所求直线方程为y ＝±13(x ＋4)， 即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0.(2)由题设知截距不为0，设直线方程为x a ＋y 12－a ＝1，又直线过点(－3,4)，从而－3a ＋412－a＝1，解得a ＝－4或a ＝9.故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0.(3)直线3x －4y －5＝0与y 轴的交点为A ⎝⎛⎭⎪⎫0，－54，所求直线过A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－54，且斜率k ＝－34，所求直线方程为y ＝－34x －54，即3x ＋4y ＋5＝0.触类旁通求直线方程的两种方法(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程，选择时，应注意各种形式的方程的适用范围，必要时要分类讨论．(2)待定系数法，即设定含有参数的直线方程，由条件列出方程(组)，再求出参数，最后将其代入直线方程．【变式训练2】 已知△ABC 的三个顶点分别为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2,3)，求：(1)BC 边所在直线的方程；(2)BC 边上中线AD 所在直线的方程； (3)BC 边的垂直平分线DE 的方程．解 (1)因为直线BC 经过B (2,1)和C (－2,3)两点，由两点式得BC 的方程为y －13－1＝x －2－2－2，即x ＋2y －4＝0.(2)设BC 边的中点D 的坐标为(x ，y )， 则x ＝2－22＝0，y ＝1＋32＝2.BC 边的中线AD 过点A (－3,0)，D (0,2)两点，由截距式得AD 所在直线方程为x －3＋y2＝1，即2x －3y ＋6＝0.(3)由(1)知直线BC 的斜率k 1＝－12， 则直线BC 的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2. 由(2)知点D 的坐标为(0,2)．可求出直线的点斜式方程为y －2＝2(x －0)，即2x －y ＋2＝0.考向直线方程的应用例 3 [2018·无锡检测]已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )．(1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．解 (1)证明：直线l 的方程可化为y ＝k (x ＋2)＋1，故无论k 取何值，直线l 总过定点(－2,1)．(2)直线l 的方程为y ＝kx ＋2k ＋1，则直线l 在y 轴上的截距为2k＋1，要使直线l 不经过第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧k ≥0，1＋2k ≥0，解得k 的取值范围是[0，＋∞)．(3)依题意，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2kk ，在y 轴上的截距为1＋2k ，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )． 又－1＋2kk <0且1＋2k >0，∴k >0.故S ＝12|OA ||OB |＝12×1＋2k k ×(1＋2k )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12(4＋4)＝4，当且仅当4k ＝1k ，即k ＝12时，取等号．故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.触类旁通直线方程综合问题的两大类型及解法(1)与函数相结合的问题：解决这类问题，一般是利用直线方程中x ，y 的关系，将问题转化为关于x (或y )的函数，借助函数的性质解决．(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识(如方程解的个数、根的存在问题，不等式的性质、基本不等式等)来解决．【变式训练3】 已知直线l 过点M (1,1)，且与x 轴，y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．求：(1)当|OA |＋|OB |取得最小值时，直线l 的方程； (2)当|MA |2＋|MB |2取得最小值时，直线l 的方程．解 (1)设A (a,0)，B (0，b )(a >0，b >0)． 设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1，则1a ＋1b ＝1，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a ≥2＋2a b ·ba ＝4，当且仅当“a ＝b ＝2”时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.(2)设直线l 的斜率为k ，则k <0， 直线l 的方程为y －1＝k (x －1)， 则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k ，0，B (0,1－k )， 所以|MA |2＋|MB |2＝⎝⎛⎭⎪⎫1－1＋1k 2＋12＋12＋(1－1＋k )2＝2＋k 2＋1k 2≥2＋2k 2·1k 2＝4.当且仅当k 2＝1k 2，即k ＝－1时取等号，此时直线l 的方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.核心规律1.明确直线方程各种形式的适用条件点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x 轴的直线；两点式方程不能表示垂直于x 、y 轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线．2.求直线方程中一种重要的方法就是先设直线方程，再求直线方程中的系数，这种方法叫待定系数法．满分策略1.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率．2.根据斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性．3.截距为一个实数，既可以为正数，也可以为负数，还可以为0，这是解题时容易忽略的一点.板块三 启智培优·破译高考易错警示系列12——都是漏掉“过原点”情况惹的祸 [2018·济南检测]求经过点P (2,3)，并且在两坐标轴上截距相等的直线l 的方程．错因分析 利用截距式方程求解时，忘记过原点的情况，而漏掉直线方程3x －2y ＝0.解 解法一：(1)当截距为0时，直线l 过点(0,0)，(2,3)，则直线l 的斜率为k ＝3－02－0＝32，因此，直线l 的方程为y ＝32x ，即3x －2y ＝0. (2)当截距不为0时，可设直线l 的方程为x a ＋ya ＝1. ∵直线l 过点P (2,3)，∴2a ＋3a ＝1，∴a ＝5， ∴直线l 的方程为x ＋y －5＝0.综上可知，直线l 的方程为3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0. 解法二：由题意可知所求直线斜率存在， 则可设y －3＝k (x －2)，且k ≠0. 令x ＝0，得y ＝－2k ＋3. 令y ＝0，得x ＝－3k ＋2.于是－2k ＋3＝－3k ＋2，解得k ＝32或－1.则直线l 的方程为y －3＝32(x －2)或y －3＝－(x －2)， 即直线l 的方程为3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0.答题启示 在选用直线方程时，常易忽视的情况有： (1)选用截距式方程时忽视与坐标轴垂直和过原点的直线； (2)选用点斜式与斜截式时忽视斜率不存在的情况；(3)选用两点式方程时忽视与x 轴垂直的情况及与y 轴垂直的情况.跟踪训练过点(5,2)，且在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍的直线方程是( )A ．2x ＋y －12＝0B ．2x ＋y －12＝0或2x －5y ＝0C ．x －2y －1＝0D ．x ＋2y －9＝0或2x －5y ＝0 答案 D解析 当直线经过坐标原点时，直线方程为y ＝25x ，即2x －5y ＝0；当直线不经过坐标原点时，设直线方程为x 2b ＋y b ＝1，则52b ＋2b ＝1，解得b ＝92，故所求的直线方程是x 9＋2y9＝1，即x ＋2y －9＝0.板块四 模拟演练·提能增分[A 级 基础达标]1．直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6 答案 D解析 由直线的方程得直线的斜率k ＝－33，设倾斜角为α，则tan α＝－33，所以α＝5π6.2．[2018·沈阳模拟]直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a ，b ，c 应满足( )A ．ab >0，bc <0B ．ab >0，bc >0C ．ab <0，bc >0D ．ab <0，bc <0答案 A解析 由于直线ax ＋by ＋c ＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y ＝－a b x －c b .易知－a b <0且－cb >0，故ab >0，bc <0.3．[2018·邯郸模拟]过点(2,1)，且倾斜角比直线y ＝－x －1的倾斜角小π4的直线方程是( )A ．x ＝2B ．y ＝1C ．x ＝1D ．y ＝2 答案 A解析 ∵直线y ＝－x －1的斜率为－1，则倾斜角为3π4.依题意，所求直线的倾斜角为3π4－π4＝π2，斜率不存在，∴过点(2,1)的直线方程为x ＝2.4．已知三点A (2，－3)，B (4,3)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，k 2在同一条直线上，则k 的值为( )A ．12B ．9C ．－12D ．9或12 答案 A解析 由k AB ＝k AC ，得3－(－3)4－2＝k2－(－3)5－2，解得k ＝12.故选A.5．[2018·荆州模拟]两直线x m －y n ＝a 与x n －ym ＝a (其中a 是不为零的常数)的图象可能是( )答案 B解析 直线方程x m －y n ＝a 可化为y ＝n m x －na ，直线x n －ym ＝a 可化为y ＝mn x －ma ，由此可知两条直线的斜率同号．故选B.6．[2018·安徽模拟]直线l ：x sin30°＋y cos150°＋1＝0的斜率是( )A.33B. 3 C ．－ 3 D ．－33 答案 A解析 设直线l 的斜率为k ，则k ＝－sin30°cos150°＝33.7．直线x cos α＋3y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是________． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π解析 设直线的倾斜角为θ，依题意知，θ≠π2，k ＝－33cos α，∵cos α∈[－1,1]，∴k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33，即tan θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33.又θ∈[0，π)，∴θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π8．已知实数x ，y 满足方程x ＋2y ＝6，当1≤x ≤3时，y －1x －2的取值范围为________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 解析 y －1x －2的几何意义是过M (x ，y )，N (2,1)两点的直线的斜率，因为点M 在x ＋2y ＝6的图象上，且1≤x ≤3，所以可设该线段为AB ，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，52，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32，由于k NA ＝－32，k NB ＝12，所以y －1x －2的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 9．过点M (－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________．答案 y ＝－53x 或x －y ＋8＝0解析 (1)当直线过原点时，直线方程为y ＝－53x ；(2)当直线不过原点时，设直线方程为x a ＋y－a ＝1，即x －y ＝a ，代入点(－3,5)，得a ＝－8，即直线方程为x －y ＋8＝0.10．[2018·衡阳模拟]一条直线经过点A (2，－3)，并且它的倾斜角等于直线y ＝13x 的倾斜角的2倍，则这条直线的一般式方程是________．答案3x －y －33＝0解析 解法一：∵直线y ＝13x 的倾斜角为30°， 所以所求直线的倾斜角为60°， 即斜率k ＝tan60°＝ 3. 又该直线过点A (2，－3)，故所求直线为y －(－3)＝3(x －2)， 即3x －y －33＝0. 解法二：设直线y ＝13x 的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角θ＝2α.tan θ＝tan2α＝2tan α1－tan 2α＝231－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝ 3.所求直线为3x －y －33＝0.[B 级 知能提升]1．[2018·海南模拟]直线(1－a 2)x ＋y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π4 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝⎛⎦⎥⎤π2，3π4答案 C解析 直线的斜率k ＝－(1－a 2)＝a 2－1，∵a 2≥0，∴k ＝a 2－1≥－1.由倾斜角和斜率的关系(如图所示)，该直线倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.2．已知点A (－1,0)，B (cos α，sin α)，且|AB |＝3，则直线AB 的方程为( )A ．y ＝3x ＋3或y ＝－3x － 3B ．y ＝33x ＋33或y ＝－33x －33C ．y ＝x ＋1或y ＝－x －1D ．y ＝2x ＋2或y ＝－2x － 2答案 B解析 由|AB |＝(cos α＋1)2＋sin 2α＝2＋2cos α＝3，得cos α＝12，所以sin α＝±32，所以直线AB 的斜率k AB ＝sin α－0cos α＋1＝3212＋1＝33或k AB ＝sin α－0cos α＋1＝－3212＋1＝－33，所以直线AB 的方程为y ＝±33(x ＋1)，即直线AB 的方程为y ＝33x ＋33或y ＝－33x －33.选B.3．[2018·宁夏调研]若ab >0，且A (a,0)，B (0，b )，C (－2，－2)三点共线，则ab 的最小值为________．答案 16解析 根据A (a,0)，B (0，b )确定直线的方程为x a ＋yb ＝1，又C (－2，－2)在该直线上，故－2a ＋－2b ＝1，所以－2(a ＋b )＝ab .又ab >0，故a <0，b <0.根据基本不等式ab ＝－2(a ＋b )≥4ab ，从而ab ≤0(舍去)或ab ≥4，故ab ≥16，当且仅当a ＝b ＝－4时取等号，即ab 的最小值为16.4．在△ABC 中，已知A (1,1)，AC 边上的高线所在直线方程为x －2y ＝0，AB 边上的高线所在直线方程为3x ＋2y －3＝0.求BC 边所在直线方程．解 k AC ＝－2，k AB ＝23.∴AC ：y －1＝－2(x －1)，即2x ＋y －3＝0， AB ：y －1＝23(x －1)，即2x －3y ＋1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －3＝0，3x ＋2y －3＝0，得C (3，－3)． 由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，x －2y ＝0，得B (－2，－1)． ∴BC ：2x ＋5y ＋9＝0.5．过点P (2,1)作直线l ，与x 轴和y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，求：(1)△AOB 面积的最小值及此时直线l 的方程；(2)求直线l 在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线l 的方程； (3)求|P A |·|PB |的最小值及此直线l 的方程．解 (1)解法一：设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)，则可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －1k ，0，B (0,1－2k )． ∵与x 轴，y 轴正半轴分别交于A ，B 两点，∴⎩⎨⎧2k －1k>0，1－2k >0⇒k <0.于是S △AOB ＝12·|OA |·|OB | ＝12·2k －1k ·(1－2k )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫4－1k －4k ≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ·(－4k )＝4. 当且仅当－1k ＝－4k ，即k ＝－12时，△AOB 面积有最小值为4，此时，直线l 的方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.解法二：设所求直线l 的方程为x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)，则2a ＋1b ＝1. 又∵2a ＋1b ≥22ab ⇒12ab ≥4，当且仅当2a ＝1b ＝12，即a ＝4，b ＝2时，△AOB 面积S ＝12ab 有最小值为4.此时，直线l 的方程是x 4＋y2＝1，即x ＋2y －4＝0.(2)解法一：∵A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －1k ，0，B (0,1－2k )(k <0)， ∴截距之和为2k －1k ＋1－2k ＝3－2k －1k ≥3＋2(－2k )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ＝3＋2 2.当且仅当－2k ＝－1k ，即k ＝－22时，等号成立．故截距之和最小值为3＋22，此时l 的方程为y －1＝－22(x －2)，即2x ＋2y －2－22＝0.解法二：∵2a ＋1b ＝1，∴截距之和a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝3＋2b a ＋ab ≥3＋22b a ·a b ＝3＋2 2.此时2b a ＝ab ，求得b ＝2＋1，a ＝2＋ 2. 此时，直线l 的方程为x 2＋2＋y2＋1＝1，即2x ＋2y －2－22＝0.(3)解法一：∵A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －1k ，0，B (0,1－2k )(k <0)， ∴|P A |·|PB |＝1k 2＋1·4＋4k 2＝4k2＋4k 2＋8 ≥2·4k 2·4k 2＋8＝4.当且仅当4k 2＝4k 2，即k ＝－1时上式等号成立，故|P A |·|PB |最小值为4，此时，直线l 的方程为x ＋y －3＝0.解法二：设∠OAB＝θ，则|P A|＝1sinθ，|PB|＝2sin(90°－θ)＝2cosθ，∴|P A|·|PB|＝2sinθcosθ＝4sin2θ，当sin2θ＝1，θ＝π4时，|P A|·|PB|取得最小值4，此时直线l的斜率为－1，又过定点(2,1)，∴其方程为x ＋y－3＝0.。