青浦区2014年高三数学一模试卷

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2014年青浦区高考数学一模卷

一、填空题（本大题满分56分）

1.(2014年1月青浦)在直角坐标系内，到点（1,0）和直线1x距离相等的点的轨迹方程是 24yx ．

【解析】（解释性理解水平/点的轨迹方程）由题意知，该点的轨迹是抛物线，其中抛物线的焦点坐标为(1,0)，故点的轨迹方程为24yx.

2. (2014年1月青浦)已知全集U=R，集合,12AxxaBxx,且UABð=R，则实数a的取值范围是 2a… ．

【解析】（探究性理解水平/集合的并集、补集运算，集合的描述法）由,12,UBð，且UABRð，则易得2a….

3. (2014年1月青浦)各项为实数的等比数列中7191,8aa，则13a 22 ．

【解析】（探究性理解水平/等比数列的性质，等比中项）由等比数列的性质得：2661978,22aqqa,613712222aaq.

4. (2014年1月青浦)已知点(1,1)(12)(21)(34)ABCD、，、，、，，则向量AB在CD方向上的投影为

133434 ．

【解析】(探究性理解水平/平面向量的数量积，向量的投影) 依题意，(2,1),AB

(5,3)CD,设AB与CD夹角为，则13cos534ABCDABCD，AB在CD方向上的投影为131334cos534534AB.

5. (2014年1月青浦)已知5π1cos()123，且ππ2，则

223

．

【解析】(探究性理解水平/同角三角比的关系，诱导公式) ππ2，则7π5ππ121212，5π122sin()11293，所以πcos()12π5π5π22cos[()]sin()212123.

6. (2014年1月青浦)已知圆锥底面圆的周长为4π，侧棱与底面所成角的大小为arctan2，则该圆锥的体积是

16π3 ．

【解析】(探究性理解水平/圆锥的体积)设圆锥底面圆的半径为r，高为h，侧棱与底面所成角为，则4π=2π,r2r，又tan2,4hhr，所以圆锥的体积为21π3Vhr 16π3.

7. (2014年1月青浦)要使函数23yxax在区间[2,3]上存在反函数，则实数a的取值范围是 4a„或6a… ．

【解析】（探究性理解水平/反函数，函数的单调性）要使函数23yxax在区间2,3上存在反函数，则函数23yxax在区间2,3上单调，则22a„或32a…，即4a„或6a….

8. (2014年1月青浦)已知lim(1)1nnq，则实数q的取值范围是 11q ． 2 / 10

【解析】（解释性理解水平/极限的计算）因为lim(1)1nnq，故lim0nnq，故1q，则q的取值范围为11q.

9. (2014年1月青浦)已知定义域为R上的偶函数f(x)在(,0]上是减函数，且1()22f，则不等式(2)2xf的解集为 {|1}xx ．

【解析】（探究性理解水平/函数的奇偶性、单调性）由题意可知函数()fx在(0,)上是增函数，则有122x，即1x，所以不等式(2)2xf的解集为{|1}xx.

10. (2014年1月青浦)已知集合1,2,3,4,5A，从A的非空子集中任取一个，该集合中所有元素之和为奇数的概率是 1631 ．

【解析】（解释性理解水平、探究性理解水平/随机事件的概率，加法原理，组合与组合数）因为A中有5个元素，所以其非空子集的个数为52131.该集合中所有元素之和为奇数的情况有5种情况：①集合中含有1个元素的情况有13C3种；②集合中含有2个元素的情况有1132CC6种；③集合中含有3个元素的情况有321323CCC4种；④集合中含有4个元素的情况有3132CC2种；⑤集合中含有5个元素的情况有1种，故该集合中所有元素之和为奇数的概率为：36421163131.

11. (2014年1月青浦)点P在22125144xy上，若116PF,则2PF 26 ．

【解析】(探究性理解水平/双曲线的简单几何性质)由题意知5,12ab，设12FF、分别为双曲线的左、右焦点，则点P在双曲线的右支上，根据双曲线的几何性质，有12||||210PFPFa，所以2||26PF.

12. (2014年1月青浦)已知扇形的周长为定值l，写出扇形的面积y关于其半径x的函数解析式

1(2),(,)222π2llylxxx ．

【解析】（探究性理解水平/扇形的周长、面积公式）由题意，扇形的半径为x，周长为l，则扇形的弧长为2lx，所以扇形的面积为1(2)2ylxx.

又2022πlxlxx，解得22π2llx，故1(2),(,)222π2llylxxx

13. (2014年1月青浦)**已知直角坐标平面上任意两点1122,,,PxyQxy，定义

212121212121,,,xxxxyydPQyyxxyy…

【解析】（探究性理解水平/数学概念的新定义，数形结合的思想）由题意可知点M在以A为圆心，3r为半径的圆周上，如图所示：

第13题图

由“非常距离”的新定义可知：当xayb时，(,)dMA取得最小值，min,dMA 3 / 10 322；当3,0xayb或0,3xayb时，(,)dMA取得最大值，max,3dMA，故,dMA的取值范围为32,32

14. (2014年1月青浦)**若不等式11131nnan

3a„<2 ．

【解析】（探究性理解水平/不等式恒成立，求参数）当n为奇数时，不等式可化为113311aann<>，要使不等式对任意自然数n恒成立，则3a…；当n为偶数时，不等式可化为131an<，要使不等式对任意自然数n恒成立，则

(3amin11)32101n，即2a.综上，3a„<2.

二、选择题（本大题满分20分）

15. (2014年1月青浦)指数函数0,1xfxaaa且>在R上是减函数，则函数22gxax在R上的单调性为 （D）

A.单调递增 B.单调递减

C.在,0上递减，在0,上递增 D.在,0上递增，在0,上递减

【解析】（探究性理解水平/指数函数的单调性，二次函数的单调性）因为指数函数xfxa在R上是减函数，则01a<<，所以221a<<，故函数22gxax开口向下，故gx在区间,0上递增，在区间0,上递减，故选D.

16. (2014年1月青浦)直线21210axay的倾斜角的取值范围是 （C）

A.π0,4 B.ππ,42 C.π3π,44 D.π3π0,,π44

【解析】（探究性理解水平/直线的倾斜角与斜率的关系，基本不等式）①当0a时，斜率不存在，即倾斜角为π2；②当0a时，直线的斜率211121222aaaka…，即直线的倾斜角的取值范围为ππ[,)42.当0a时，直线的斜率21122aaaka1212„，即直线的倾斜角的取值范围为π3π(,]24.综上，直线的倾斜角的取值范围为π3π[,]44，故选C.

17. (2014年1月青浦)设等差数列na的前n项和为nS且满足15160,0,SS>

（C） 4 / 10

A.66Sa B.77Sa C.88Sa D.99Sa

【解析】(探究性理解水平/等差数列的性质及其前n项和) 由于11515152aaS

8150a>，11616891680,2aaSaa

所以89101512128910150,0,,0,0,0,,0,SSSSSSaaaaaa>>><<

且1280aaa>>>，所以在15121215,,,SSSaaa中最大的项是88Sa，故选C.

18. (2014年1月青浦)**对于函数fx，若在定义域内存在．．实数x，满足fxfx，称fx为“局部奇函数”，若12423xxfxmm为定义域R上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围是

（B）

A.1313m剟 B.1322m剟

C.2222m剟 D.2213m剟

【解析】(探究性理解水平/函数奇偶性的新定义，二次函数的性质，换元法）()fx为“局部奇函数”，∴存在实数x满足()()fxfx，即24223xxmm

24223xxmm，令2(0)xtt，则222112()260tmtmtt，即

2211()2()280tmtmtt在t>0有解，再令1(2)htht≥，则

22()2280ghhmhm在2h≥有解.函数关于h的对称轴为h=m，①当2m≥时，()()ghgm≥，222()2280gmmmm≤，解得22m2≤≤；②当2m时，则2(2)44280gmm≤，即2220mm≤，解得132m≤.综合①②，可知1322m≤≤.故选B.

三、解答题（本大题满分74分）

19. (2014年1月青浦) (本题满分12分)本题共2小题,第(1)小题6分,第(2)小题6分.

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量(cos,1)2Cmur，(1,sin())nABr,

且mnurr.