2019年高考数学模拟试题及答案
一、选择题
1．若43i z =+，则z z =（ ） A ．1 B ．1- C ．4355i + D ．4355
i - 2．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
3．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入,a b 分别为14,18，则输出的a =（ ）
A ．0
B ．2
C ．4
D ．14 4．设集合M={1，2，4，6，8},N={1，2，3，5，6，7},则M ⋂N 中元素的个数为( )
A ．2
B ．3
C ．5
D ．7
5．已知全集{1,3,5,7}U =，集合{1,3}A =，{3,5}B =，则如图所示阴影区域表示的集合为（ ）
A ．{3}
B ．{7}
C ．{3,7}
D ．{1,3,5} 6．函数32()31f x x x =-+的单调减区间为
A ．(2,)+∞
B ．(,2)-∞
C ．(,0)-∞
D ．(0,2)
7．某单位有职工100人，不到35岁的有45人，35岁到49岁的有25人，剩下的为50岁以上（包括50岁）的人，用分层抽样的方法从中抽取20人，各年龄段分别抽取的人数为（ ）
A ．7，5，8
B ．9，5，6
C ．7，5，9
D ．8，5，7 8．已知a 与b 均为单位向量，它们的夹角为60︒，那么3a b -等于（ ） A ．7 B ．10 C ．13 D ．4
9．正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点，那么EF =（ ）
A ．
1123AB AD - B ．1142AB AD + C ．1132AB DA + D ．1223
AB AD -. 10．已知复数
，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
11．设a b ，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ） A ．若a b ，与α所成的角相等，则a b ∥
B ．若a αβ∥，b ∥，αβ∥，则a b ∥
C ．若a b a b αβ⊂⊂，，，则αβ∥
D ．若a b αβ⊥⊥，，αβ⊥，则a b ⊥
12．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，俯视图是一个等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为( )
A ．43π
B ．83π
C ．163π
D ．203
π 二、填空题
13．若不等式|3|4x b -<的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b 的取值范围是
14．事件,,A B C 为独立事件，若()()()111,,688
P A B P B C P A B C ⋅=⋅=⋅⋅=，则()P B =_____．
15．在ABC 中，60A =︒，1b =3sin sin sin a b c A B C ________． 16．已知函数21,1
()()1a x x f x x a x ⎧-+≤=⎨->⎩，函数()2()g x f x =-，若函数()()
y f x g x =-恰有4个不同的零点，则实数a 的取值范围为______．
17．设正数,a b 满足21a b +=，则
11a b
+的最小值为__________． 18．已知复数z=1+2i （i 是虚数单位），则|z|= _________ ． 19．若x ，y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩
，则32z x y =+的最大值为_____________．
20．已知实数,x y 满足不等式组201030y x y x y -≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则y x 的取值范围为__________． 三、解答题
21．已知()()ln 1f x x a x =+-.
(1)讨论()f x 的单调性；
(2)当()f x 有最大值，且最大值大于22a -时，求a 的取值范围.
22．如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，2AB AD ==
2CA CB CD BD ====.
（1）求证：AO ⊥平面BCD ；
（2）求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值；
（3）求点E 到平面ACD 的距离．
23．已知等差数列{}n a 满足：12a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得60800n S n >+ ？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由.
24．已知函数2()sin()sin 3cos 2f x x x x π
=--.
(1)求()f x 的最小正周期和最大值；
(2)求()f x 在2[,]63ππ
上的单调区间
25．如图，矩形ABCD 和菱形ABEF 所在的平面相互垂直，ABE 60∠=︒，G 为BE 的中点.
(Ⅰ)求证：AG ⊥平面ADF ；
(Ⅱ) 求AB 3=BC 1=，求二面角D CA G --的余弦值.
26．已知矩形ABCD 的两条对角线相交于点20M （，）
，AB 边所在直线的方程为360x y --=，点11T -（，）
在AD 边所在直线上. （1）求AD 边所在直线的方程；
（2）求矩形ABCD 外接圆的方程.
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