高考一轮复习课时作业4-专题2
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一、选择题
1．(2010·湖北卷)已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，12a3,2a2成等差数列，则a9＋a10a7＋a8＝( )
A．1＋2 B．1－2
C．3＋22 D．3－22
答案 C
解析 设等比数列{an}的公比为q(q＞0)，则由题意得a3＝a1＋2a2，a1q2＝a1＋2a1q，q2－2q－1＝0，q＝1±2.又q＞0，因此有q＝1＋2，a9＋a10a7＋a8＝q2a7＋a8a7＋a8＝q2＝(1＋2)2＝3＋22，选C.
2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S2＝10，S5＝55，则过点P(n，an)和Q(n＋2，an＋2)(a∈N*)的直线的一个方向向量的坐标可以是( )
A．(2,4) B．(－13，－43)
C．(－12，－1) D．(－1，－1)
答案 B
3．已知数列{an}，那么“对任意的n∈N*，点Pn(n，an)都在直线2x－y＋1＝0上”是“{an}为等差数列”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 ∵点Pn(n，an)在直线2x－y＋1＝0上，∴2n－an＋1＝0，即an＝2n＋1，∴an＋1－an＝2，∴数列{an}是等差数列；若数列{an}是等差数列，设公差为d，则an＝nd＋a1－d，即点Pn(n，an)在直线dx－y＋(a1－d)＝0上，不一定是在直线2x－y＋1＝0上，故选A.
4．在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a＋b＋c的值为( )
1 2
12 1
a
b c
A.1 B．2
C．3 D．4
答案 A
解析 由题意知，a＝12，b＝516，c＝316.故a＋b＋c＝1，故选A.
5．用砖砌墙，第一层(底层)用去了全部砖块的一半多一块，第二层用去了剩下的一半多一块，„„，依此类推，每一层都用去了前一层剩下的一半多一块，如果到第九层恰好砖用光，那么，共用去的砖块数为( )
A．1022 B．1024
C．1026 D．1028
答案 A
二、填空题
6．(2011·南京第一次调研)设等差数列{an}的公差d≠0，a1＝4d，若ak是a1与a2k的等比中项，则k的值为________．
答案 3
解析 根据题意ak＝a1＋(k－1)d＝(k＋3)d，a2k＝a1＋(2k－1)d＝(2k＋3)d，又a2k＝a1·a2k，所以(k＋3)2＝4(2k＋3)，解得k＝3或k＝－1(舍去)．
7．(2011·浙江五校第一次联考)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则等比数列{an}的公比为________．
答案 13
解析 设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，由4S2＝S1＋3S3，得4(a1＋a1q)＝a1＋3(a1＋a1q＋a1q2)，即3q2－q＝0，∴q＝13.
8．一种专门占据内存的计算机病毒，开机时占据内存2KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后经过__________分钟，该病毒占据64MB内存(1MB＝210KB)．
答案 45
解析 依题意可知：a0＝2，a1＝22，a2＝23，„，an＝2n＋1
64MB＝64×210＝216KB，令2n＋1＝216得n＝15.
∴开机后45分钟该病毒占据64MB内存．
9．(2011·海淀区)设关于x的不等式x2－x<2nx(n∈N*)的解集中整数的个数为an，数列{an}的前n项和为Sn，则S100的值为________．
答案 10100 解析 由x2－x<2nx(n∈N*)得0 三、解答题 10．等差数列{an}的公差和等比数列{bn}的公比都是d(d≠1)，且a1＝b1，a4＝b4，a10＝b10. (1)求实数a1和d的值． (2)b16是不是{an}中的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由． 解析 (1)依题意知an＝a1＋(n－1)d， bn＝b1·qn－1＝a1·dn－1. 由 a4＝b4，a10＝b10，得 a1＋3d＝a1d3，a1＋9d＝a1d9. 即3d＝a1(d3－1)，9d＝a1(d9－1)， 以上两式相除并整理得d6＋d3－2＝0. 解得d3＝1，或d3＝－2. ∵d≠1，∴d3＝－2，d＝－32，代入原方程解得a1＝32. 故a1＝32，d＝－32. (2)由(1)得，数列{an}，{bn}的通项分别为 an＝(2－n)32，bn＝－(－32)n， 故b16＝－(－32)16＝－3232， 由(2－n)32＝－3232，解得n＝34. 故b16为{an}中的第34项． 11．已知数列{xn}的首项x1＝3，通项xn＝2np＋nq(n∈N*，p、q为常数)，有x1，x4，x5成等差数列，求： (1)p，q的值； (2)数列{xn}的前n项的和Sn的公式． 解析 (1)由x1＝3，得2p＋q＝3，又x4＝24p＋4q，x5＝25p＋5q，且x1＋x5＝2x4，得 3＋25p＋5q＝25p＋8q，解得p＝1，q＝1. (2)Sn＝(2＋22＋„＋2n)＋(1＋2＋„＋n) ＝2n＋1－2＋nn＋12 12．在数列{an}中，设a1为首项，其前n项和为Sm，若对任意的正整数m、n都有不等式S2m＋S2n<2Sm＋n(m≠n)恒成立，且2S6>S3. (1)设{an}为等差数列，且公差为d，求a1d的取值范围； (2)设{an}为等比数列，且公比为q(q>0且q≠1)，求a1－q的取值范围. 解析 (1)∵S2m＋S2n<2Sm＋n， ⇒2ma1＋2m2m－12d＋2na1＋2n2n－12d <2[(m＋n)a1＋m＋nm＋n－12d] ⇒(m－n)2d<0，∴d<0. 又2S6>S3，∴2(6a1＋6×52d)>3a1＋3×22d， ∴9a1＋27d>0，∴a1d<－3. (2)∵S2m＋S2n<2Sm＋n， ∴a11－q(1－q2m)＋a11－q(1－q2n)<2a11－q(1－qm＋n)， ∴a11－q(－q2m－q2n＋2qm＋n)<0， ∴－a11－q(qm－qn)2<0，∴a11－q>0. 又2S6>S3，∴2·a11－q(1－q6)>a11－q(1－q3)， ∴2q6－q3－1<0，∴－12 又∵q>0，∴0 又∵a11－q>0 ∴a1>0 ∴a1－q>－1 13．(2010·陕西卷，理)已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列． (1)求数列{an}的通项； (2)求数列{2an}的前n项和Sn. 解析 (1)由题设知公差d≠0， 由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列得1＋2d1＝1＋8d1＋2d， 解得d＝1，d＝0(舍去)， 故{an}的通项an＝1＋(n－1)×1＝n. (2)由(1)知2an＝2n， 由等比数列的前n项和公式得 Sn＝2＋22＋23＋„＋2n＝21－2n1－2＝2n＋1－2.
