行列式计算方法演示文稿

计算n阶行列式的若干方法举例

n阶行列式的计算方法很多，除非零元素较少时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。下面介绍几种常用的方法，并举例说明。

1．利用行列式定义直接计算

例 计算行列式 001002001000000nDnn

解 Dn中不为零的项用一般形式表示为 112211!nnnnnaaaan.

该项列标排列的逆序数t（n－1 n－2…1n）等于(1)(2)2nn，

故(1)(2)2(1)!.nnnDn

2．利用行列式的性质计算

例： 一个n阶行列式nijDa的元素满足,,1,2,,,ijjiaaijn 则称Dn为反对称行列式， 证明：奇数阶反对称行列式为零.

证明：由ijjiaa知iiiiaa，即0,1,2,,iiain

故行列式Dn可表示为1213112232132331230000nnnnnnnaaaaaaDaaaaaa，由行列式的性质TAA，1213112232132331230000nnnnnnnaaaaaaDaaaaaa12131122321323312300(1)00nnnnnnnaaaaaaaaaaaa(1)nnD

当n为奇数时，得Dn =－Dn，因而得Dn = 0.

3．化为三角形行列式

若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。

化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。这是计算行列式的基本方法重要方法之一。因为利用行列式的定义容易求得上（下）三角形行列式或对角形行列式的性质将行列式化为三角形行列式计算。

11 计算n阶行列式的若干方法举例

n阶行列式的计算方法很多，除非零元素较少时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。下面介绍几种常用的方法，并举例说明。

1．利用行列式定义直接计算

例 计算行列式 001002001000000nDnn

解 Dn中不为零的项用一般形式表示为 112211!nnnnnaaaan.

该项列标排列的逆序数t（n－1 n－2…1n）等于(1)(2)2nn，

故(1)(2)2(1)!.nnnDn

2．利用行列式的性质计算

例： 一个n阶行列式nijDa的元素满足,,1,2,,,ijjiaaijn 则称Dn为反对称行列式， 证明：奇数阶反对称行列式为零.

证明：由ijjiaa知iiiiaa，即0,1,2,,iiain

故行列式Dn可表示为1213112232132331230000nnnnnnnaaaaaaDaaaaaa，由行列式的性质AA，1213112232132331230000nnnnnnnaaaaaaDaaaaaa12131122321323312300(1)00nnnnnnnaaaaaaaaaaaa(1)nnD

当n为奇数时，得Dn =－Dn，因而得Dn = 0.

22 3．化为三角形行列式

若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。

化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。这是计算行列式的基本方法重要方法之一。因为利用行列式的定义容易求得上（下）三角形行列式或对角形行列式的性质将行列式化为三角形行列式计算。

计算n阶行列式的若干方法举例

n阶行列式的计算方法很多，除非零元素较少时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。下面介绍几种常用的方法，并举例说明。

1．利用行列式定义直接计算

例计算行列式001002001000000nDnn

解Dn中不为零的项用一般形式表示为112211!nnnnnaaaan.

该项列标排列的逆序数t（n－1 n－2„1n）等于(1)(2)2nn，

故(1)(2)2(1)!.nnnDn

2．利用行列式的性质计算

例：一个n阶行列式nijDa的元素满足,,1,2,,,ijjiaaijn则称Dn为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零.

证明：由ijjiaa知iiiiaa，即0,1,2,,iiain

故行列式Dn可表示为1213112232132331230000nnnnnnnaaaaaaDaaaaaa，由行列式的性质AA，1213112232132331230000nnnnnnnaaaaaaDaaaaaa12131122321323312300(1)00nnnnnnnaaaaaaaaaaaa(1)nnD

当n为奇数时，得Dn=－Dn，因而得Dn = 0.

3．化为三角形行列式

若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。

化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。这是计算行列式的基本方法重要方法之一。因为利用行列式的定义容易求得上（下）三角形行列式或对角形行列式的性质将行列式化为三角形行列式计算。

沈阳工业大学备课用纸

第一章 行 列 式

§1二阶与三阶行列式

一、 二元线性方程组与二阶行列式

用消元法解二元一次方程组

.,22221211212111bxaxabxaxa （1）

为消去未知数2x,以第一个方程乘以22a减去第二个方程乘以12a,得

122221121122211ababxaaaa，

类似地可消去1x,得

211112221122211ababxaaaa，

当021122211aaaa时,求得

.aaaaababx,aaaaababx211222112111122211222111222211 （2）

为了便于记忆,引入下面定义.

定义1 由四个数22211211a,a,a,a,排成二行二列 (横排为行,竖排为列) 的数表

22211211aaaa

所确定的表达式 21122211aaaa 称为二阶行列式,记为

2112221122211211aaaaaaaaD .

其中数2,1;2,1jiaij称为行列式(3)的元素,第一个下标i称为行标, 第二个下标j称为列标, 数ija表示是位于行列式的第i,第j列的元素.

计算二阶行列式的对角线法则：

11a至22a的实联线称为主对角线, 12a至21a虚联线称为副对角线

于是二阶行列式的值等于主对角线上两个元素的乘积减去副对角线上二个元素的乘积

例1 计算二阶行列式

194155223＝＝＝D

沈阳工业大学备课用纸

利用行列式的定义, (2)式中的分子也可写成二阶行列式,即

.,221111211112222121212221babaababababbaab

若记

2211112222121122211211a,,babDababDaaaaD,