1. 若a ∈R ，下列不等式恒成立的是
（ ）
A ．21a a +>
B ．2
1
11
a <+
C ．296a a +>
D ．2
lg(1)lg |2|a a +>
2. 若
0a b
<<且
1
a b +=，则下列四个数中最大的是
（ ） Ａ．
1
2
Ｂ．
22
a b + Ｃ．2ab
Ｄ．a 3.
设
x >0,则
133y x x
=--
的最大值为
（ ）
Ａ．3 Ｂ．
3- Ｃ．3-
Ｄ．－1 4. 设,,
5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是( )
A. 10
B.
C. D.
5. 若x , y 是正数，且141x
y
+=，则xy 有 （ ）
Ａ．最大值16 Ｂ．最小值1
16
Ｃ．最小值16 Ｄ．最大
值
1
16
6. 若a , b , c ∈R ，且ab +bc +ca =1, 则下列不等式成立的是 （ ）
A ．2222a b c ++≥
B ．2
()3a b c ++≥ C ．
111
a b c
++≥．a b c ++≤
7. 若x >0, y >0,且x +y ≤4,则下列不等式中恒成立的是 （ ）
A ．
11
4x y ≤+ B ．11
1x y
+≥ C 2≥ D ．11xy ≥ 8. a ,b 是正数，则2
,
2
a b ab
a b
++三个数的大小顺序是 （ ）
Ａ．2
2
a b ab
a b
+≤
≤
+ 22a b ab
a b
+≤
+
Ｃ．
2
2
ab a b
a b +≤≤
+ Ｄ．
22
ab a b
a b +≤
+ 9. 某产品的产量第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，设这两年平均增长率为x ，则有（ ） Ａ．2
p q
x +=
Ｂ．2
p q
x +<
Ｃ．2
p q
x +≤
Ｄ．2
p q
x +≥
10. 下列函数中，最小值为4的是 （ ） Ａ．4y x x
=+ Ｂ．4
sin sin y x x
=+
(0)x π<< Ｃ．e 4e x x y -=+ Ｄ．3log 4log 3x y x =+
11. 函数y =的最大值为 .
12. 建造一个容积为18m 3, 深为2m 的长方形无盖水池，如果池底和
池壁每m 2 的造价为200元和150元，那么池的最低造价为 元.
13. 若直角三角形斜边长是1，则其内切圆半径的最大值是 .
14. 若x , y 为非零实数，代数式22228()15x y x y
y x y x
+-++的值恒为正，对吗？答 . 15. 已知：2222,(,0)x y a m n b a b +=+=>, 求
mx +ny 的最大值.
16. 已知)R ,10(log )(+∈≠>=x a a x x f a 且．若1x 、+∈R 2x , 试比较
)]()([2121x f x f +与)2
(21x
x f +的大小，并加以证明.
17. 已知正数a , b 满足a +b =1（1）求ab 的取值范围;（2）求1
ab ab
+
的最小值.
18. 设()13221+++⋅+⋅=n n a n .证明不等式 ()2
12)
1(2
+<<+n a n n n 对所有的正整数n 都成立.
§3.4基本不等式
经典例题：
【 解析】 证法一 假设b a )1(-，c b )1(-，a c )1(-同时大于4
1，
∵ 1－a>0，b>0，∴ 2
)1(b a +-≥
2
1
41)1(=>
-b a ，
同理2
12
)1(>+-c b ，2
12
)1(>+-a c .三个不等式相加得2
32
3>，不可能，
∴ (1－a )b ，(1－b)c ，(1－c)a 不可能同时大于4
1.
证法二 假设41)1(>-b a ，41)1(>-c b ，4
1)1(>-a c 同时成立， ∵ 1－a>0，1－b>0，1－c>0，a>0，b>0，c>0，∴
64
1
)1()1()1(>
---a c c b b a ， 即64
1)1()1()1(>---c c b b a a . （*） 又∵ a a )1(-≤412)1(2
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+-a a ， 同理b b )1(-≤41，c c )1(-≤4
1
，
∴c c b b a a )1()1()1(---≤
64
1
与（*）式矛盾， 故a c c b b a )1(,)1(,)1(---不可能同时大于4
1
. 当堂练习：
1.A;
2.B;
3.C;
4.D;
5.C;
6.A;
7.B;
8.C;
9.C; 10.C;11. 12
; 12.
3600 ;
; 14. 对; 15
16. 【 解析】 2121log log )()(x x x f x f a a +=+2
log )2(
),(log 12121x
x x x f x x a a +=+=． ∵ 1x 、+∈R x 2， ∴ 2
2121)2
(
x x x x +≤． 当且仅当1x ＝2x 时，取“＝”号． 当1>a 时，有)2
(log )(log 2
121x x x x a a +≤． ∴ ≤)(log 2
121x x a )2(log 21x x a +≤．)2
(log ]log [log 21
2121x x x x a a a +≤+． 即)2
(
)]()([2
1
2
121x x f x f x f +≤+．
