数学建模训练题
1、个人住房贷款，根据中国人民银行颁布的《个人住房贷款管理办法》的规定，个人住房贷款的最长期限为30年，5年（含5年）的年利率为5.31%（折合月利率为4.425‰），5年以上年利率为5.58%（折合月利率为4.65‰）。同时还规定了个人住房贷款的两种按月还本付息的办法。第一种是等额本息还款法，即在贷款期间借款人以月均还款额偿还银行贷款本金和利息；第二种是等额本金还款法（又叫等本不等息还款法），即在贷款期间除了要还清当月贷款的利息外，还要以相等的额度偿还贷款的本金。
（1）试给出两种还款法的每月还款额、还款总额和利息负担总和的计算公式。
（2）若一借款人从银行得到贷款40万元，计划20年还清。试以此为例说明借款人选择何种还款法更为合算？
2、某居民区有一供居民用水的圆柱形水塔，一般可以通过测量其水位来估计水的流量。面临的困难是，当水塔水位下降到设定的最底水位时，水泵自动启动向水塔供水，到设定的最高水位的时候停止供水，这段时间无法测量水塔的水位和水泵的供水量。通常水泵每天供水一两次，每次约3h.
水塔是一个高为12.2m，直径为17.4m的正圆柱。按照设计。水塔水位降至约8.2m时，水泵自动启动，水位升至约10.8m时水泵停止工作。
下表是某一天的水位测量记录（符号“//”表示水泵启动），试估计任何时刻（包括水泵正供水时）从水塔流出的水流量，及一天的总用水量。
表1 水位测量记录
（符号//表示水泵启动）
3、某探险队驾驶一越吉普车穿行2000km的大沙漠。除起点能得到足够的汽油供应外，行车途中的燃料供应必须在沿途设立若干的储油点，依靠自己运输汽油来解决。该车在沙漠中行车平均每公里耗油0.25L，车载油箱及油桶总共只能装载250L汽油。请设计一个最优的行车方案，使行车耗油最少而通过沙漠。试根据实际情况进行推广和评价。
4、由于军事上的需要，需将甲地n名战斗人员（不包括驾驶员）紧急调往乙地，但是由于运输车辆不足，m辆车无法保证每个战斗人员都能同时乘车，显然，部分战斗人员乘车，部分战斗人员急行军是可行的方案。设每辆车载人数目相同，只有一条道路，但足以允许车辆，人员同时进行，请制定一个调运方案，能最快地实现兵力调运，并证明方案的最优性。
5、为向灾区空投一批救灾物资，共2000kg，需选购一些降落伞，已知空投高度为500m，要求降落伞落地时的速度不能超过20米每秒，降落伞的伞面为半径为r的半球面，用每根长
L 共16根绳索连接的重m 位于球心正下方球面处，如下图：
每个降落伞的价格由三部分组成。伞面费用
1
C 由伞的半径r 决定，见下表；绳索费用
2
C 由绳索总长度及单价4元/米决定，固定费用3
C 为200元。
r 2 2.5 3 3.5 4 C1
65
170
350
660
1000
降落伞在降落过程中除受到重力外，受到空气的阻力，可以认为与降落的速度和伞的面积的乘积成正比。为了确定阻力系数，用的半径3r m =，载重300m kg =的降落伞从500m 高度作降落试验，测得各个时刻的高度x ，见下表。
t(s)
0 3
6 9 12 15 18 21 24 2
7 30 x(m) 500
470
425
372
317
264
215
160
108
55
1
试确定降落伞的选购方案，即共需多少个伞，每个伞的半径多大(在给定的半径的伞中选)，在满足空投要求的条件下，使费用最低。
6、在家里,每天做饭后总会有一大堆油腻腻的盘子需要清洗,为清洗这些盘子,你准备了一大盆热的肥皂水,热水的温度足够洗掉盘子上的油腻而不烫手,随着洗涤过程的继续,盆中的水会漫漫地冷下来,一直到无法在清洗这些盘子,假设每个盘子重0.5KG,盆内水重15千克,盆内最初温度是60度最终无法清洗盘子的温度是40度,盆内水的表面积是0.1平方米,空气温度是20度,试建立模型分析使用这盆热水可以洗多少个盘子,已知盘子的热容量是600焦耳/千克,水的热容量是4200焦耳/千克,水到空气的热传导系数是100焦耳/米*秒
7、空气通过盛有CO 2吸收剂的圆柱形器皿，已知它吸收CO 2的量与CO 2的百分浓度及吸收层厚度成正比。今有CO 2含量为8％的空气，通过厚度为10cm 的吸收层后，其CO 2含量为2％。问：
（1）若通过的吸收层厚度为30cm ，出口处空气中CO 2的含量是多少？ （2）若要使出口处空气中CO 2的含量为1％，其吸收层厚度应为多少？ 8、已知生产x 对汽车挡泥板的成本是2110)(x x C ++=（美元），每对的售价为5美元。
（1）出售x ＋1对比出售x 对所产生的利润增长额为
[][])()()1()1()(x C x R x C x R x I --+-+=
当生产稳定、产量很大时，这个增长额为)(lim x I x +∞
→，试求这个极限值；
（2）生产了x 对汽车挡泥板时，每对的平均成本为x
x C )
(，同样当产品产量很大时，每对的成本大致是x
x C x )
(lim
+∞→，试求这个极限值。
9、有n 个电动势为E 的电池，每个的内阻为r ，将它们以下述方式与已知的外电阻R 连接：分成s 个并联分支，m 是每个分支中串联的数目（如下图）。问m 、s 的个数分别为多少时才能使R 中的有效电功率最大？
m 个
电池
s 组
10、在研究飞机的自动着陆系统时，技术人员需要分析飞机的降落曲线。根据经
验，一架水平飞行的飞机，其降落曲线是一条三次抛物线。如下图所示，已知飞机的飞行高度为h ，飞机的着陆点为原点O ，且在整个降落过程中，飞机的水平速度始终保持为常数u 。出于安全考虑，飞机垂直加速度的最大绝对值不得超过g ／10，此处g 是重力加速度。
（1）若飞机从0x x =处开始下降，试确定出飞机的降落曲线； （2）求开始下降点0x 所能允许的最小值。
11、一飞机在离地面2km 的高度，以每小时200km 的速度飞临某目标之上空，以便进行航空摄影。试求飞机飞至该目标上方时摄像机转动的速度。
12、肺内压力的增加可以引起咳嗽，而肺内压力的增加伴随着气管半径的缩小。
