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2008年广州市高二数学竞赛试题及答案

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高二数学竞赛 第1页 （共6页） 2008年广州市高二数学竞赛试卷 题 号 一 二 三 合 计 （11） （12） （13） （14） （15）

得 分

评卷员

考生注意：⒈用钢笔、签字笔或圆珠笔作答； ⒉不准使用计算器； ⒊考试用时120分钟，全卷满分150分． 一、选择题：本大题共4小题，每小题6分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将正确选项前的字母代号填在该小题后的括号内．

1．若集合aaa2,有4个子集，则实数a的取值范围是（ ） A． 2,0 B．aaa,0R C．aaa,2R D．0aa且aa,2R

2. 已知函数.01,2,10,12xxxxfx 则)]5.0([ff等于( ) A．5.0 B．1 C．5.0 D．1 3．在空间直角坐标系xyzO中，点DCBA、、、的坐标分别为A001，，、B020，，、

C042，，、221，，D，则三棱锥BCDA的体积是（ ）

A．2 B．3 C．6 D．10 4. 已知直线012yx与圆5122byaxba,(R)有交点, 则 12222baba的最小值是 ( ) A．51 B．54 C．59 D．514 二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分．把答案填在题中横线上． 5. △ABC的三个内角CBA、、所对的边分别为cba、、, 若6024Aba，，, 则Ccos . 学校

姓名

考号 高二数学竞赛 第2页 （共6页）

21yxO

6．已知直角梯形ABCD的顶点坐标分别为3,1,1,3,0,2,1,DCBaA， 则实数a的值是 . 7. 在数列}{na中，1a＝2，naann(11N)*，设nS为数列}{na的前n项和，则

3029282SSS的值为 .

8．已知CBA、、三点在同一条直线l上，O为直线l外一点，若OCrOBqOAp0， rqp,,R，则rqp .

9．一个非负整数的有序数对(,)mn，如果在做mn的加法时不用进位，则称(,)mn为“奥运数对”，

mn称为“奥运数对”(,)mn的和，则和为2008的“奥运数对”的个数有___________个.

10.如图1所示, 函数xfy的图象是圆心在点0,1,半径为1的两段 圆弧, 则不等式xxfxf2的解集是 .

三、解答题：本大题共5小题，共90分．要求写出解答过程． 图1 11．（本小题满分15分） 已知函数()sincosfxaxbx(,abR，0)的部分图象如图2所示． (1) 求,,ab的值；

（2）若关于x的方程23()()0fxfxm在2(,)33x内有解,求实数m的取值范围．

图2 x23

7

6

y

O1 高二数学竞赛 第3页 （共6页）

DB1

C1

A1

F

E

CBA

12．（本小题满分15分） 如图3所示, 在三棱柱ABCCBA111中, 1AA底面ABC，,BCAC

21CCBCAC.

（1）若点FED、、分别为棱CABCCC、、111的中点，求证：EF平面BDA1； (2) 请根据下列要求设计切割和拼接方法:要求用平行于三棱柱ABCCBA111的某一条侧棱的平面去截此三棱柱,切开后的两个几何体再拼接成一个长方体. 简单地写出一种切割和拼接方法，

并写出拼接后的长方体的表面积（不必计算过程）.

图3 高二数学竞赛 第4页 （共6页）

13．（本小题满分20分） 已知点11(,)Axy，22(,)Bxy是椭圆L：221189xy上不同的两点，线段AB的中点为(2,1)M. （1）求直线AB的方程； （2）若线段AB的垂直平分线与椭圆L交于点C、D，试问四点A、B、C、D是否在同一个圆 上，若是，求出该圆的方程；若不是，请说明理由. 高二数学竞赛 第5页 （共6页） 14．（本小题满分20分） 已知在数列}{na中，11a，dqaann1212(dR,qR 且q0,nN*). （1）若数列}{12na是等比数列，求q与d满足的条件； （2）当0d，2q时，一个质点在平面直角坐标系内运动，从坐标原点出发，第1次向右运动，第2次向上运动，第3次向左运动，第4次向下运动，以后依次按向右、向上、向左、向下的方向交替地运动，设第n次运动的位移是na，第n次运动后，质点到达点(,)nnnPxy,求数列nxn4的前n项和nS.

学校 姓名 考号 高二数学竞赛 第6页 （共6页） 15．（本小题满分20分） 已知函数babxaxxxf,(ln2R，且)0a.

（1）当2b时，若函数xf存在单调递减区间，求a的取值范围； （2）当0a且12ba时，讨论函数xf的零点个数. 高二数学竞赛 第7页 （共6页） 2008年广州市高二数学竞赛参考答案 一、选择题：本大题共4小题，每小题6分，共24分． 1．D 2．C 3．A 4．B

二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分． 5．8133 6．1 7．3 8．0 9．27 10．2,581,0 三、解答题：本大题共5小题，共90分．要求写出解答过程． 11．（本小题满分15分）

解：(1) 由图象可知函数()fx的周期为4T(6723)=2，

∴2212T． 函数()fx的图象过点1,67,0,32， ∴2()03f且7()16f.

∴310,22131.22abab



解得：13,22ab.

∴,1 13,22ab. （2）由（1）得13()sincos22fxxxsin()3x. 当32,3x时，,03x，得13sin0x. 令3sinxxft，则10t. 故关于x的方程23()()0fxfxm在2(,)33x内有解等价于关于t的方程 032mtt在1,0t上有解.

由032mtt，得121613322tttm. 1,0t，

∴121,2m. 高二数学竞赛 第8页 （共6页） AB

C

EFA1

C1

B1

D

xzyABCE

FA1

C1

B1

D

∴实数m的取值范围是121,2. 12．（本小题满分15分） （1）证法一：以点C为原点，分别以1CCCACB、、所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角

坐标系xyzC，依题意得2201000,0,21，，、，，、ADB、 010201，，、，，FE.

∴EF 211，，，BD 102，，，DA1 120，，. ，0120121BDEF

，01221011DAEF

∴DAEFBDEF1，. ∴DAEFBDEF1，. BD平面BDA1，DA1平面BDA1，DDABD

1

.

∴EF平面BDA1. 证法二：连结FC1， 

1AA

底面ABC，AC平面ABC，

∴ACAA1. 2

1CCAC，FD、分别为棱CACC、1的中点，

∴2,11111CCCADCCF. 90111DCACFC，

∴Rt△CFC1 Rt△DCA11. ∴111CDAFCC. 901111DCACDA,

∴90111DCAFDC. ∴FCDA11. 高二数学竞赛 第9页 （共6页）

NM

GB1

C1

A1

E

CBA

E '

G

EC1

A1

,BCAC

∴,1111CBCA 1111111,ACAAAAACB，

∴11CB平面11CCAA. ∴DACB111. 1111CFCCB，

∴DA1平面FEC1. EF平面FEC1，

∴DAEF1. 同理可证BDEF. DBDDA1，

∴EF平面BDA1.

（2）切割拼接方法一：如图甲所示，分别以CBABBABC、、、1111的中点NMGE、、、所确定的平面为截面，把三棱柱ABCCBA111切开后的两个几何体再拼接成一个长方体（该长方体的一个底面为长方形1'1AEEC如图①所示，），此时所拼接成的长方体的表面积为16.

图甲 图① 切割拼接方法二：如图乙所示，设ABBA、11的中点分别为NM、，以四点CNMC、、、1所确定的平面为截面，把三棱柱ABCCBA111切开后的两个几何体再拼接成一个长方体（该长方体的一个底面为正方形'11MMAC），此时所拼接成的长方体的表面积为284.

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2008年普通高等学校招生全国统一考试数学(广东卷·理科)试卷与答案

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2008年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）(理科)全解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知02a <<，复数z 的实部为a ，虚部为1，则z 的取值范围是（ ）A ．(15)，B ．(13)，C．(1D．(12．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若112a =，420S =，则6S =（ ） A ．16B ．24C ．36D ．48【解析】20624=+=d S ，3=∴d ，故481536=+=d S 3．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表1．已知在全校 学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（ ）A ．24B ．18C ．16D ．12表14．若变量x y ，满足24025000x y x y x y ⎧+⎪+⎪⎨⎪⎪⎩，，，，≤≤≥≥则32z x y =+的最大值是（ ）A ．90B ．80C ．70D ．405．将正三棱柱截去三个角（如图1所示A B C ，，分别是GHI △三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）6．已知命题:p 所有有理数都是实数，命题:q 正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．()p q ⌝∨B ．p q ∧C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()()p q ⌝∨⌝7．设a ∈R ，若函数3ax y e x =+，x ∈R 有大于零的极值点，则（ ）A ．3a >-B ．3a <-C ．13a >-D ．13a <-8．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC =a ，BD =b ，则AF =（ ）A ．1142+a bB ．2133+a bC ．1124+a bD ．1233+a b二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9~12题）9．阅读图3的程序框图，若输入4m =，6n =，则输出a = ，i =（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“:=”） 10．已知26(1)kx +（k 是正整数）的展开式中，8x 的系数小于120， 则k = ．11．经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线EF D IA HGBCEF D ABC 侧视 图1图2BEA ．BEB ．BEC ． BED ．方程是 ．12．已知函数()(sin cos )sin f x x x x =-，x ∈R ，则()f x 的最小正周期是 ． 。

2008年普通高等学校招生全国统一考试数学(广东卷·文科)(附答案,完全word版)

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2008年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）(文科)全解析广东佛山南海区南海中学 钱耀周一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。

1.第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行，若集合A ={参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B ={参加北京奥运会比赛的男运动员}。

集合C ={参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是A.A ⊆BB.B ⊆CC.A ∩B =CD.B ∪C =A 【解析】送分题呀!答案为D.2.已知0＜a ＜2，复数z a i =+(i 是虚数单位)，则|z |的取值范围是B. (1,C.(1,3)D.(1,5) 【解析】12+=a z ，而20<<a ，即5112<+<a ，51<<∴z ,选B.3.已知平面向量(1,2)a =，(2,)b m =-，且a //b ，则23a b +＝（ ） A 、(5,10)-- B 、(4,8)-- C 、(3,6)-- D 、(2,4)-- 【解析】排除法:横坐标为2(6)4+-=-,选B.4.记等差数列的前n 项和为n S ，若244,20S S ==，则该数列的公差d =（ ）A 、2B 、3C 、6D 、7 【解析】4224123S S S d d --==⇒=,选B.5.已知函数2()(1cos2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是（ ）A 、最小正周期为π的奇函数B 、最小正周期为2π的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2π的偶函数【解析】222211cos 4()(1cos 2)sin 2cos sin sin 224x f x x x x x x -=+===,选D.6.经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线方程是（ ）A 、10x y ++=B 、10x y +-=C 、10x y -+=D 、10x y --=【解析】易知点C 为(1,0)-，而直线与0x y +=垂直，我们设待求的直线的方程为y x b =+，将点C 的坐标代入马上就能求出参数b 的值为1b =，故待求的直线的方程为10x y -+=,选C.(或由图形快速排除得正确答案.)7.将正三棱柱截去三个角（如图1所示A 、B 、C 分 别是GHI ∆三边的中点）得到的几何体如图2，则 该几何体按图2所示方向的侧视图(或称左视图)为【解析】解题时在图2的右边放扇墙(心中有墙),可得答案A.8. 命题“若函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内是减函数，则log 20a <”的逆否命题是（ ）A 、若log 20a ≥，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内不是减函数B 、若log 20a <，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内不是减函数C 、若log 20a ≥，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内是减函数D 、若log 20a <，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内是减函数 【解析】考查逆否命题,易得答案A.9、设a R ∈，若函数xy e ax =+，x R ∈，有大于零的极值点，则（ ） A 、1a <- B 、1a >- C 、1a e <- D 、1a e>-【解析】题意即0xe a +=有大于0的实根,数形结合令12,x y e y a ==-,则两曲线交点在第一象限,结合图像易得11a a ->⇒<-,选A.10、设,a b R ∈，若||0a b ->，则下列不等式中正确的是（ ） A 、0b a -> B 、330a b +< C 、220a b -< D 、0b a +>【解析】利用赋值法:令1,0a b ==排除A,B,C,选D. 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.（一）必做题（11-13题）11.为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查 了20位工人某天生产该产品的数量.产品数量的分组区间为[)45,55，[)[)[)55,65,65,75,75,85，[)85,95由此得到频率分布直方图如图3，则这20名工人中一天生产该产品数量在[)55,75的人数是 .【解析】20(0.06510)13⨯⨯=,故答案为13.12.若变量x ，y 满足240,250,0,0,x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩则z =3x +2y 的最大 值是________。

2008年浙江省高中数学竞赛试卷(含答案及解析)

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2008年浙江省高中数学竞赛试卷(2008年4月13日（星期日）上午9：00---11：00)一、 选择题 （本大题满分36分，每小题6分）1．已知集合{}{}221,,20R A y y x x B x x x =+=+-∈=>，则下列正确的是（ ）A ．{}1,AB y y => B.{}2A B y y =>C.{}21A B y y ⋃=-<<D. {}21A B y y y ⋃=<>-或2．当01x <<时，()lg xf x x=，则下列大小关系正确的是（ ） A ．22()()()f x f x f x <<B. 22()()()f x f x f x <<C. 22()()()f x f x f x <<D. 22()()()f x f x f x <<3．设()f x 在[0,1]上有定义，要使函数()()f x a f x a -++有定义，则a 的取值范围为（ ）A ．1(,)2-∞-； B. 11[,]22-； C. 1(,)2+∞； D. 11(,][,)22-∞-⋃+∞ 4．已知P 为三角形ABC 内部任一点（不包括边界），且满足()(2)0PB PA PB PA PC -+-=，则△ABC 一定为( )A ．直角三角形； B. 等边三角形；C. 等腰直角三角形；D. 等腰三角形5．已知()()2222212f x x a b x a ab b =++-++-是偶函数，则函数图象与y 轴交点的纵坐标的最大值是（ ）A B. 2C.D. 46．圆锥的轴截面SAB 是边长为2的等边三角形，O 为底面中心，M 为SO 的中点，动点P 在圆锥底面内（包括圆周）。

若AM ⊥MP ，则P 点形成的轨迹的长度为（ ）A. B.C . 3 D.32二、填空题 （本题满分54分，每小题9分）7．＝ 。

2008年普通高等学校招生全国统一考试广东数学理科试卷含答案

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2008年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷） 数学(理科)广东佛山南海区南海中学 钱耀周 提供――――感谢钱老师！ 王新敞一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知，复数的实部为，虚部为1，则的取值范围是（ C ）A ．B ．C ．D ．【解析】，而，即， 2．记等差数列的前项和为，若，，则（ D ）A ．16B ．24C ．36D ．48【解析】，，故3．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表1．已知在全校 学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（ C ）A ．24B ．18C ．16D ．12 表1【解析】依题意我们知道二年级的女生有380人，那么三年级的学生的人数应该是，即总体中各个年级的人数比例为，故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为4．若变量满足则的最大值是（ C ）A ．90B ．80C ．70D ．40 【解析】画出可行域,利用角点法易得答案C. 5．将正三棱柱截去三个角（如图1所示分别是三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ A ）一年级 二年级 三年级 女生 373 男生 377 370开始n 整除a ?是输入输出否【解析】解题时在图2的右边放扇墙(心中有墙),可得答案A. 6．已知命题所有有理数都是实数，命题正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（ D ）A ．B ．C ．D ．【解析】不难判断命题为真命题，命题为假命题，从而上述叙述中只有为真命题7．设，若函数，有大于零的极值点，则（ B ） A ．B ．C ．D ．【解析】，若函数在上有大于零的极值点，即有正根。

当有成立时,显然有,此时，由我们马上就能得到参数的范围为. 8．在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点．若，，则（ B ）A ．B ．C ．D ．【解析】此题属于中档题.解题关键是利用平面几何知识得出,然后利用向量的加减法则易得答案B.二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9~12题）9．阅读图3的程序框图，若输入，，则输出 ，（注：框图中的赋值符号“”也可以写成“”或“”） 【解析】要结束程序的运算，就必须通过整除的条件运算， 而同时也整除，那么的最小值应为和的最小公倍 数12，即此时有。