【与名师对话】2015新课标A版数学文一轮复习课时作业：2-11]

3 即 2x－y＋3＝0，令 y＝0，得 x＝－2， 3 即在 x 轴上的截距为－2. 答案：A 2． 到直线 3x－4y＋1＝0 的距离为 3 且与此直线平行的直线方程 是( ) A．3x－4y＋4＝0 B．3x－4y＋4＝0 或 3x－4y－2＝0 C．3x－4y＋16＝0 D．3x－4y＋16＝0 或 3x－4y－14＝0 解析：设所求直线方程为 3x－4y＋m＝0. 由 |m－1| 5 ＝3，解得 m＝16，或 m＝－14.
2
答案：C 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 11． “直线 ax＋2y＋1＝0 和直线 3x＋(a－1)y＋1＝0 平行”的充 要条件是“a＝________”．
aa－1－2×3＝0， 解析：由 得 a＝－2， a－1×1≠2×1，
∴两直线平行的充要条件是“a＝－2”． 答案：－2 x2 y2 12． (2012· 江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中， 若双曲线m－ 2 m ＋4 ＝1 的离心率为 5，则 m 的值为________．
x2 y2 解析：由椭圆 4 ＋ 3 ＝1 可得点 F(－1,0)，点 O(0,0)，设 P(x，y)， → → x2 1 2 1 2 2 2 －2≤x≤2， 则OP· FP＝x ＋x＋y ＝x ＋x＋31－ 4 ＝4x ＋x＋3＝4(x

→ → ＋2) ＋2，当且仅当 x＝2 时，OP· FP取得最大值 6.
4 A．y＝－3x＋3
4 C．x＝0 或 y＝3x＋3
D．x＝0
解析： 当过点 A(0,3)且斜率不存在的直线与圆的相交弦长为 2 3， 此时，弦所在直线方程为 x＝0； 当弦所在的直线斜率存在时， 设弦所在直线 l 的方程为 y＝kx＋3， 即 kx－y＋3＝0. 因为弦长为 2 3，圆的半径为 2，所以弦心距为 22－ 32＝1， 由点到直线距离公式得 4 解得 k＝－3. 4 综上，所求直线方程为 x＝0 或 y＝－3x＋3. 答案：B y 6．如果实数 x、y 满足(x－2)2＋y2＝3，那么x的最大值( 1 A.2 2 C. 2 3 B. 3 D. 3 ) |k＋3| ＝1， k2＋－12

集合、常用逻辑用语与函数、导数及应用时间：90分钟分值：120分一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．(2013·某某卷)设全集为R，函数f(x)＝1－x2的定义域为M，则∁R M为( ) A．[－1,1] B．(－1,1)C．(－∞，－1]∪[1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：从函数定义域切入，∵1－x2≥0，∴－1≤x≤1，依据补集的运算知所求集合为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，选D.答案：D2．(2013·某某卷)已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件解析：因为A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，若a＝3，则A＝{1,3}，所以A⊆B；若A⊆B，则a＝2或a＝3，所以A⊆BD⇒/a＝3，所以“a＝3”是“A⊆B”的充分而不必要条件．答案：A3．(2013·某某某某诊断)下列说法错误的是( )A．命题“若x2－4x＋3＝0，则x＝3”的逆否命题是“若x≠3，则x2－4x＋3≠0”B．“x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件C．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题D．命题p：“∃x∈R，使得x2＋x＋1<0”，则綈p：“∀x∈R，x2＋x＋1≥0”解析：若p∧q为假命题，则p、q中至少有一个是假命题，故选C.答案：C解析：由定积分的几何意义，结合三个函数的图象，易知a>b>c.答案：B5．若函数f(x)＝ax2＋(a2－1)x－3a为偶函数，其定义域为[4a＋2，a2＋1]，则f(x)的最小值为( )A．3 B．0 C．2 D．－1解析：由f(x)为偶函数知a2－1＝0，即a＝±1，又其定义域需关于原点对称， 即4a ＋2＋a 2＋1＝0必有a ＝－1. 这时f(x)＝－x 2＋3，其最小值为f(－2)＝f(2)＝－1. 故选D . 答案：D6．已知a 是函数f(x)＝2x－log 12x 的零点，若0<x 0<a ，则f(x 0)的值满足( )A ．f(x 0)＝0B ．f(x 0)>0C ．f(x 0)<0D ．f(x 0)的符号不能确定解析：答案：C7．(2014·某某名校名师俱乐部二调)曲线y ＝12x 2＋x 在点(2,4)处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( )A ．1B ．2C .43D .23解析：y′＝x ＋1，所以切线在点(2,4)处的斜率为3，切线方程为y －4＝3(x －2)，令x ＝0，得y ＝－2，令y ＝0，得x ＝23，所以切线与坐标轴围成的三角形的面积为S ＝12×|－2|×23＝23.答案：D8．(2013·某某市统一质检)已知函数f(x)对定义域R 内的任意x 都有f (x )＝f (4－x )，且当x ≠2时其导函数f ′(x )满足xf ′(x )>2f ′(x )，若2<a <4则( )A ．f (2a)<f (3)<f (log 2a ) B ．f (3)<f (log 2a )<f (2a) C ．f (log 2a )<f (3)<f (2a ) D ．f (log 2a )<f (2a)<f (3)解析：由f (x )＝f (4－x )知函数f (x )关于x ＝2对称，x ≠2时，有(x －2)f ′(x )>0，∴x >2时f ′(x )>0，x <2时，f ′(x )<0，f (x )在(－∞，2)上单调减，在(2，＋∞)上单调增，2<a <4时4<2a <16，k log 2a <2，∴log 2a <2<2a ，知f (log 2a )<f (3)<f (2a)，选C.答案：C9．(2013·某某市质检)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪e x＋a e x ，(a ∈R ，e 是自然对数的底数)，在区间[0,1]上单调递增，则a 的取值X 围是( )A ．[0,1]B ．[－1,0]C ．[－1,1]D ．(－∞，－e 2)∪[e 2，＋∞) 解析：当a ＝1时，f (x )＝e x＋1exf ′(x )＝e x－1e x ＝e x－1ex 在[0,1]上f ′(x )≥0，所以f (x )在区间[0,1]上单调递增．a ＝－1时f (x )＝e x －1ex 很显然在区间[0,1]上单调递增，故选C.答案：C10．(2014·某某名校名师俱乐部二调)下图中，有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x＋1(a ∈R ，a ≠0)的导函数f ′(x )的图象，则f (－1)等于( )A.13 B ．－13 C.73 D ．－13或53 解析：∵f ′(x )＝x 2＋2ax ＋(a 2－1)， ∴导函数f ′(x )的图象开口向上． 又∵a ≠0，∴其图象必为第(3)个图．由图象特征知f ′(0)＝0，且－a >0，∴a ＝－1， ∴f (x )＝13x 3－x 2＋1，故f (－1)＝－13－1＋1＝－13.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．(2013·某某市九校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >02x，x ≤0，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝________.解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝－2，f (－2)＝14， ∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝f (－2)＝14.答案：1412．f (x )＝xn 2－3n (n ∈Z )是偶函数，且y ＝f (x )在(0，＋∞)上是减函数，则n ＝________.解析：因为f (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以n 2－3n <0，即0<n <3，又因为f (x )是偶函数，所以n 2－3n 是偶数，只有n ＝1或2满足条件．答案：1或213．(2013·某某某某模拟)设函数f (x )＝x m＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则⎠⎛12f(－x)d x 的值等于________．解析：由于f(x)＝x m＋ax 的导函数f′(x)＝2x ＋1，所以f(x)＝x 2＋x ，于是⎠⎛12f(－x)d x＝⎠⎛12(x 2－x)d x ＝(13x 3－12x 2)⎪⎪⎪21＝56. 答案：5614．(2014·某某池州一中高三月考)设二次函数g(x)的图象在点(m ，g(m))处的切线方程为y ＝h(x)，若f(x)＝g(x)－h(x)，则下面说法正确的有________(填出所有正确结论的序号)．①存在相异的实数x 1，x 2，使f(x 1)＝f(x 2)成立； ②f(x)在x ＝m 处取得极小值； ③f(x)在x ＝m 处取得极大值； ④不等式|f(x)|<12 013的解集非空；⑤直线x ＝m 一定为函数f(x)图象的对称轴． 解析：特例法：不妨设g(x)＝x 2，m ＝1.∴g(x)在点(1,1)处的切线方程为h(x)＝2x －1，∴f(x)＝x 2－2x ＋1，可以看出①②④⑤都成立．对比②③⑤再举例g(x)＝－x 2，在点(1，－1)处的切线方程为h(x)＝－2x ＋1.f(x)＝－x 2＋2x －1＝－(x －1)2＋1，故②不对．∴①④⑤正确． 答案：①④⑤三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 15．(满分12分)已知命题p ：方程2x 2＋ax －a 2＝0在[－1,1]上有解；命题q ：只有一个实数x 0满足不等式x 20＋2ax 0＋2a≤0，若命题“p∨q”是假命题，求a 的取值X 围．解：由2x 2＋ax －a 2＝0，得(2x －a)(x ＋a)＝0，∴x＝a 2或x ＝－a ，∴当命题p 为真命题时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2≤1或|－a|≤1，∴|a|≤2. 又“只有一个实数x 0满足不等式x 20＋2ax 0＋2a≤0”， 即抛物线y ＝x 2＋2ax ＋2a 与x 轴只有一个交点， ∴Δ＝4a 2－8a ＝0，∴a＝0或a ＝2. ∴当命题q 为真命题时，a ＝0或a ＝2. ∴命题“p∨q”为真命题时，|a|≤2. ∵命题“p∨q”为假命题，∴a>2或a<－2. 即a 的取值X 围为{a|a>2，或a<－2}．16．(满分12分)2013年8月31日第十二届全运会在某某某某开幕，历时13天．某小商品公司以此为契机，开发了一种纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a 件，通过改进工艺，产品的成本不变，质量得到提高，市场分析的结果表明：如果产品的销售价提高的百分率为x(0<x<1)，那么月平均销售量减少的百分率为x 2，记改进工艺后，该公司销售纪念品的月平均利润是y 元．(1)写出y 与x 的函数关系式；(2)改进工艺后，试确定该纪念品的销售价，使该公司销售该纪念品的月平均利润最大． 解：(1)改进工艺后，每件产品的销售价为20(1＋x)元，月平均销售量为a(1－x 2)件， 则月平均利润为y ＝a(1－x 2)·[20(1＋x)－15]元，所以y 与x 的函数关系式为y ＝5a(1＋4x －x 2－4x 3)(0<x<1)． (2)由y′＝5a(4－2x －12x 2)＝0，得x 1＝12，x 2＝－23(舍去)，所以当0<x<12时，y′>0；当12<x<1时，y′<0.所以函数y ＝5a(1＋4x －x 2－4x 3)(0<x<1)在x ＝12处取得最大值．故改进工艺后，纪念品的销售价为20×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＝30元时，该公司销售该纪念品的月平均利润最大．17．(满分12分)(2013·某某省六校联盟第一次联考)已知函数f(x)＝a ＋b ln xx ＋1在点(1，f(1))处的切线方程为x ＋y ＝2.(1)求a ，b 的值；(2)对函数f(x)定义域内的任一个实数x ，f(x)<mx 恒成立，某某数m 的取值X 围．解：(1)由f(x)＝a ＋b ln xx ＋1⇒f′(x)＝b x x ＋1－a ＋b ln xx ＋12而点(1，f(1))在直线x ＋y ＝2上⇒f(1)＝1，又直线x ＋y ＝2的斜率为－1⇒f′(1)＝－1故有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝12b －a4＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－1(2)由(1)得f(x)＝2－ln xx ＋1(x>0)由xf(x)<m ⇒2x －x ln xx ＋1<m令g(x)＝2x －x ln xx ＋1⇒g′(x)＝1－ln xx ＋1－2x －x ln x x ＋12＝1－x －ln xx ＋12令h(x)＝1－x －ln x ⇒h′(x)＝－1－1x <0(x>0)，故h(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，故当0<x<1时，h(x)>h(1)＝0，当x>1时，h(x)<h(1)＝0 从而当0<x<1时，g′(x)>0，当x>1时，g′(x)<0⇒g(x)在(0,1)是增函数，在(1，＋∞)是减函数，故g(x)max ＝g(1)＝1 要使2x －x ln x x ＋1<m 成立，只需m>1故m 的取值X 围是(1，＋∞)．18．(满分14分)(2014·某某某某二中月考)已知函数f(x)＝ax 2－(a ＋2)x ＋ln x. (1)当a ＝1时，求曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)当a>0时，若f(x)在区间[1，e ]上的最小值为－2，求a 的取值X 围；(3)若对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，x 1<x 2，且f(x 1)＋2x 1<f(x 2)＋2x 2恒成立，求a 的取值X 围．解：(1)当a ＝1时，f(x)＝x 2－3x ＋ln x ，f(x)＝2x －3＋1x .因为f′(1)＝0，f(1)＝－2. 所以切线方程是y ＝－2.(2)函数f(x)＝2ax 2－(a ＋2)x ＋ln x 的定义域是(0，＋∞)． 当a>0时，f′(x)＝2ax －(a ＋2)＋1x＝2ax 2－a ＋2x －1x(x>0)令f′(x)＝0，即f′(x)＝2ax 2－a ＋2x ＋1x＝2x －1ax －1x ＝0，所以x ＝12或x ＝1a.当0<1a ≤1，即a≥1时，f(x)在[1，e ]上单调递增，所以f(x)在[1，e ]上的最小值是f(1)＝－2；当1<1a <e 时，f(x)在[1，e ]上的最小值是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a <f(1)＝－2，不合题意； 当1a≥e 时，f(x)在(1，e )上单调递减， 所以f(x)在[1，e ]上的最小值是f(e )<f(1)＝－2，不合题意． ∴综上a≥1.(3)设g(x)＝f(x)＋2x ，则g(x)＝ax 2－ax ＋ln x ， 只要g(x)在(0，＋∞)上单调递增即可． 而g′(x)＝2ax －a ＋1x ＝2ax 2－ax ＋1x当a ＝0时，g′(x)＝1x>0，此时g(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a≠0时，只需g′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，因为x∈(0，＋∞)，只要2ax 2－ax ＋1≥0，则需要a>0，对于函数y ＝2ax 2－ax ＋1，过定点(0,1)，对称轴x ＝14>0，只需Δ＝a 2－8a≤0，即0<a≤8.综上0≤a≤8.。

课时作业(十六)一、选择题1．(2013·吉林长春第一次调研)设a ＝⎠⎛01x－13d x ，b ＝1－⎠⎛01x12d x ，c ＝⎠⎛01x 3d x ，则a 、b 、c 的大小关系为( )A ．a>b>cB ．b>a>cC ．a>c>bD ．b>c>a解析：答案：A2．(2013·江西重点中学盟校第一次联考)曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 和直线x ＝0，x ＝π2所围成的平面区域的面积为()解析：答案：D3．(2013·河北保定高三调研)已知函数f(x)＝⎩⎨⎧x ＋1，－1≤x ≤0cos x ，0<x ≤π2，则f(x)d x ＝( )A .12B ．1C ．2D .32 解析：答案：D4．(2013·荆门市高三元月调考)由直线x ＝12，x ＝2，y ＝0，及曲线y ＝1x 所围图形的面积为( )A .154B .174C .12ln 2 D ．2ln 2解析：答案：D5．(2013·黄冈模拟考试)由直线y ＝2与函数y ＝2cos 2x2(0≤x ≤2π)的图象围成的封闭图形的面积为( )A ．4πB ．2πC ．πD .π2解析：函数f(x)＝2cos 2x2＝cos x ＋1，故所围成封闭图形的面积为2⎠⎛0π(cos x ＋1)d x ＝2(sin x ＋x)⎪⎪⎪π0＝2π，故选B .答案：B6．(2013·江西南昌调研)由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( )A .103B ．4C .163 D ．6 解析：由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形如图． 由定积分几何意义得S 阴＝⎠⎛04(x －x ＋2)dx故选C .答案：C7．(2013·西安长安第一次质检)在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“⊕”：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a<b 时，a ⊕b ＝b 2，函数f(x)＝(1⊕x)·x(其中“·”仍为通常的乘法)，则函数f(x)的图象与x 轴及直线x ＝2围成的面积为( )A .154B ．4C .174 D ．8 解析：f(x)＝(1⊕x)·x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≥1x ，x<1图象如图所示S ＝S △OAC ＋S 曲边梯形ACDB ＝12×1×1＋⎠⎛12x 3d x ＝12＋14x 4⎪⎪⎪21＝12＋164－14＝174，故选C .答案：C8．(2013·长沙市模拟)如图，设D 是图中边长分别为1和2的矩形区域，E 是D 内位于函数y ＝1x (x>0)图象下方的区域(阴影部分)，从D 内随机取一个点M ，则点M 取自E 内的概率为()A .ln 22 B .1－ln 22 C .1＋ln 22 D .2－ln 22解析：答案：C 二、填空题9．(2013·石家庄质检(二))⎠⎛02(x 3＋1)d x 的值为________．解析：⎠⎛02(x 3＋1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 4＋x ⎪⎪⎪20＝6.答案：610．(2013·青岛统一质检)若⎠⎛1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2(a>1)，则a 的值是________．解析：⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝(x 2＋ln x)⎪⎪⎪a 1＝(a 2＋ln a)－(1＋0)＝a 2－1＋ln a ＝3＋ln 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝3ln a ＝ln 2∴a ＝2.答案：211．(2013·重庆九校联考)二次函数f(x)＝－x 2＋1的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为________．解析：二次函数f(x)＝－x 2＋1与x 轴的交点坐标为(－1,0)，(1,0)所以它与x 轴围成的封闭图形的面积S ＝⎠⎛-11 (1－x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋x ⎪⎪⎪1－1＝43.答案：4312．(2013·江西质量监测)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －x 2，0≤x ≤1－x 2，－1≤x ≤0，则函数f(x)图象与直线y ＝x 围成的封闭图形的面积是________．解析：由已知当0≤x ≤1时，y ＝2x －x 2表示的为圆的14减去一个等腰直角三角形的面积，S 1＝π4－12；当－1≤x<0时，S 2＝⎠⎛-10(－x－x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x 2－13x 3⎪⎪⎪－1＝16，所以此封闭图形的面积为S 1＋S 2＝π4－13.答案：π4－13 三、解答题13．已知f(x)为二次函数，且f(－1)＝2，f ′(0)＝0， f(x)d x ＝－2. (1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在[－1,1]上的最大值与最小值． 解：(1)设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)， 则f ′(x)＝2ax ＋b. 由f(－1)＝2，f ′(0)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＋c ＝2b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2－a b ＝0. ∴f(x)＝ax 2＋(2－a)．又f(x)d x ＝∫10[ax 2＋(2－a)]d x＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤13ax 3＋(2－a )x ⎪⎪⎪1＝2－23a ＝－2. ∴a ＝6，∴c ＝－4.从而f(x)＝6x 2－4. (2)∵f(x)＝6x 2－4，x ∈[－1,1]，所以当x ＝0时，f(x)min ＝－4；当x ＝±1时，f(x)max ＝2. 14．一质点在直线上从时刻t ＝0(s )开始以速度v ＝t 2－4t ＋3(m /s )运动．求：(1)在t ＝4 s 的位置；(2)在t ＝4 s 内运动的路程． 解：(1)在时刻t ＝4时该点的位置为[热点预测]15．(1)(2013·江西红色六校高三第二次联考)设函数f(x)＝(x ＋a)n ，其中n ＝6cos x d x ，f ′(0)f (0)＝－3，则f(x)的展开式中x 4的系数为( )A ．－360B ．360C ．－60D ．60 (2)(2013·河南开封高三第一次模拟)由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝1与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形如图中阴影部分所示，随机向图形内掷一豆子，则落入阴影内的概率是( )A ．1－2π33B .2π33C .332πD ．1－332π解析：(1)由n ＝6cos x d x 得n ＝6，f ′(x)＝6(x ＋a)5，∴f ′(0)＝6·a 5，f(0)＝a 6，6·a 5a 6＝6a ＝－3，∴a ＝－2，f(x)＝(x －2)6，x 4的系数为C 26(－2)2＝60，故选D .答案：(1)D(2)D。

课时作业(十九)一、选择题1．(2013·安徽亳州高三摸底联考)函数y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点向左平移π6个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数为( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，x ∈RB ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，x ∈R C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6，x ∈R D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6，x ∈R 解析：函数y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点向左平移π6个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，x ∈R 的图象，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫12x ＋π6，x ∈R 的图象，故选C.答案：C2．(2013·东北三校第一次联考)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为( )A ．y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋2 C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3＋2 D ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2 解析：函数的最大值为4，最小值为0，∴A ＝2，k ＝2，由最小正周期为π2得ω＝4，又因x ＝π3是其一条对称轴，∴43π＋φ＝π2＋kπ，φ＝kπ－56π，k∈Z，所以选D.答案：D3．(2013·汕头市质量测评)把函数y＝cos 2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是()解析：把函数y＝cos 2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到函数y＝cos x＋1，然后向左平移1个单位得到y＝cos(x ＋1)＋1再向下平移1个单位得到函数y＝cos(x＋1)其对应的图象为A.答案：A4．(2013·江西南昌高三第一次模拟)已知函数f(x)＝A cos(ωx＋θ)的图象如图所示f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－23，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝( ) A ．－23 B ．－12 C.23 D.12解析：由图象知T ＝23π，ω＝3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋θ＝A sin θ＝23.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝－A sin θ＝－23，选A. 答案：A5．(2014·河北沧州高三质量监测)已知函数f (x )＝A sin ωx (A >0，ω>0)的最小正周期为2，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝1，则函数y ＝f (x )的图象向左平移13个单位所得图象的函数解析式为( )A ．y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx －π3 B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π3 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋13 D ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx －13 解析：函数f (x )周期T ＝2πω＝2，得ω＝π，又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝A sin π6＝1，∴A ＝2.∴f (x )＝2sin πx ，将f (x )图象向左平移13个单位所得图象解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π3. 答案：B6．(2014·河北唐山一中第二次月考)要得到函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的图象，只需将函数y ＝sin 2x 的图象( )A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π6个单位 D ．向右平移π6个单位解析：因为要得到函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x 的图象向左平移π12个单位得到 y ＝sin 2x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ，故选A. 答案：A7．(2013·海宁市高三测试)已知函数f (x )＝sin(x －π)，g (x )＝cos(x ＋π)，则下列结论中正确的是( )A ．函数y ＝f (x )·g (x )的最小正周期为2πB ．函数y ＝f (x )·g (x )的最大值为1C ．将函数y ＝f (x )的图象向右平移π2个单位后得g (x )的图象 D ．将函数y ＝f (x )的图象向左平移π2个单位后得g (x )的图象 解析：f (x )＝sin(x －π)＝－sin x ，g (x )＝cos(x ＋π)＝－cos x ，f (x )·g (x )＝12sin 2x ，T ＝π最大值为12，A 、B 均不正确．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝cos x ≠g (x )，故C 错．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－cos x ，故D 正确，选D.答案：D8．(2013·安徽省江南十校高三模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0) 的部分图象如图所示，下列结论：①最小正周期为π；②将f (x )的图象向左平移π6个单位，所得到的函数是偶函数；③f (0)＝1；④f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12π11<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14π13；⑤f (x )＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3－x .其中正确的是( )A ．①②③B ．②③④C ．①④⑤D ．②③⑤ 解析：由图可知：A ＝2，T 4＝712π－π3＝π4⇒T ＝π， ∴ω＝2,2×712π＋φ＝2kπ＋3π2，φ＝2kπ＋π3，k ∈Z . f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3⇒f (0)＝3， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π3＝2cos π3＝1，对称轴为直线x ＝kπ2＋π12，k ∈Z ，一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，0，所以②、③不正确；因为f (x )的图象关于直线x ＝13π12对称，且f (x )的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13π12，12π11－13π12＝π11×12>13π12－14π13＝π13×12，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12π11<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14π13，即④正确；设[x ，f (x )]为函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象上任意一点，其关于对称中心⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，0的对称点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3－x ，－f (x )还在函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象上，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3－x ＝－f (x )⇒f (x )＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3－x ，故⑤正确，综上所述，①④⑤正确，选C.解法二：判断出①正确，②不正确之后，选C. 答案：C二、填空题 9.已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2，y ＝f (x )的部分图象如右图，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24＝________.解析：从图可看出周期T ＝π2，∴πω＝π2，ω＝2又f (x )＝A tan(2x ＋φ) x ＝38π时，A tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫34π＋φ＝0tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫34π＋φ＝0，|φ|<π2，∴φ＝π4. ∴f (x )＝A tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.取x ＝0，A tan π4＝1，∴A ＝1，∴f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋π4＝tan π3＝ 3. 答案： 310．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π3(x >0)的图象与x 轴的交点从左到右依次为(x 1,0)，(x 2,0)，(x 3,0)，…，则数列{x n }的前4项和为________．解析：令f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π3＝0，则π3x ＋π3＝k π， ∴x ＝3k －1(k ∈N *)，∴x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝3(1＋2＋3＋4)－4＝26. 答案：2611．(2013·乌鲁木齐第一次诊断)点A (x ，y )在单位圆上从A 0⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32出发，沿逆时针方向做匀速圆周运动，每12秒运动一周，则经过时间t 后，y 关于t 的函数解析式为________．解析：由题意知∠xOA 0＝π3，点A 每秒旋转2π12＝π6，所以t 秒旋转π6t ，∠A 0OA ＝π6t ，∠xOA ＝π6t ＋π3，则y ＝sin ∠xOA ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t ＋π3. 答案：y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6t ＋π3三、解答题 12.设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2<φ<0的最小正周期为π.且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝32.(1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象； (3)若f (x )>22，求x 的取值范围． 解：(1)周期T ＝2πω，∴ω＝2，∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4＋φ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝－sin φ＝32， ∵－π2<φ<0，∴φ＝－π3.(2)∵f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，列表如下：(3)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3>22，∴2kπ－π4<2x －π3<2kπ＋π42kπ＋π12<2x <2kπ＋712π， kπ＋π24<x <kπ＋724π，k ∈Z ，∴x 的取值范围是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫kπ＋π24<x <kπ＋724π，k ∈Z .13．(2013·上海卷)已知函数f (x )＝2sin(ωx )，其中常数ω>0；(1)若y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，2π3上单调递增，求ω的取值范围；(2)令ω＝2，将函数y ＝f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，区间[a ，b ](a ，b ∈R 且a <b )满足：y ＝g (x )在[a ，b ]上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[a ，b ]中，求b －a 的最小值．解：(1)因为ω>0，根据题意有 ⎩⎪⎨⎪⎧－π4ω≥－π22π3ω≤π2⇒0<ω≤34.(2)f (x )＝2sin(2x )，g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1g (x )＝0⇒sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝－12⇒x ＝kπ－π3或x ＝kπ－712π，k ∈Z ，即g (x )的零点相离间隔依次为π3和2π3，故若y ＝g (x )在[a ，b ]上至少含有30个零点，则b －a 的最小值为14×2π3＋15×π3＝43π3.[热点预测]14．(1)(2013·泉州市质检)定义区间[a ，b ]的长度为b －a .若⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)的一个长度最大的单调递减区间，则( )A ．ω＝8，φ＝π2 B ．ω＝8，φ＝－π2 C ．ω＝4，φ＝π2D ．ω＝4，φ＝－π2(2)(2013·山东泰安第二次模拟)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG 是边长为2的等边三角形，则f (1)的值为( )A ．－32B ．－62 C. 3D ．－ 3解析：(1)若⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的一个长度最大的单调减区间，则函数f (x )的周期为2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π4＝π2，∴ω＝4，且函数f (x )在x＝π4时取得最大值．所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin ()π＋φ＝1，∴φ＝－π2，故选D. (2)f (x )＝A cos(ωx ＋φ)为奇函数得φ＝π2，△EFG 为边长为2的等边三角形，所以T ＝4，∴ω＝π2，A ＝3，∴f (x )＝－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ， ∴f (1)＝－ 3.答案：(1)D (2)D。