小学奥数数论专题知识总结精编版

……………………………………………………………最新资料推荐………………………………………………… 1 数论基础知识

小学数论问题，起因于除法算式：被除数÷除数＝商……余数 1. 能整除：整除，因数与倍数，奇数与偶数，质数与合数，公因数与公倍数，分解质因数等； 2. 不能整除：余数，余数的性质与计算（余数），同余问题（除数），物不知数问题（被除数）。

一、因数与倍数 1、因数与倍数 （1） 定义： 定义1：若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的因数。 定义2：如果非零自然数a、b、c之间存在a×b＝c，或者c÷a＝b，那么称a、b是c的因数，c是a、b的倍数。 注意：倍数与因数是相互依存关系，缺一不可。（a、b是因数，c是倍数） 一个数的因数个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。 一个数的倍数个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 （2） 一个数的因数的特点： ① 最小的因数是1，第二小的因数一定是质数； ② 最大的因数是它本身，第二大的因数是：原数÷第二小的因数 （3） 完全平方数的因数特征： ① 完全平方数的因数个数是奇数个，有奇数个因数的数是完全平方数。 ② 完全平方数的质因数出现次数都是偶数次； ③ 1000以内的完全平方数的个数是31个，2000以内的完全平方数的个数是44个，3000以内的完全平方数的个数是54个。（312=961，442=1936，542=2916） 2、数的整除（数的倍数） （1） 定义： 定义1：一般地，三个整数a、b、c，且b≠0，如有a÷b＝c，则我们就说，a能被b整除，或b能整除a，或a能整除以b。 定义2：如果一个整数a，除以一个整数b（b≠0），得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。（a≥b） （2）整除的性质： 如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。 如果a能被b整除，c是整数，那么a×c也能被b整除。 如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。 如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。 （3）一些常见数的整除特征（倍数特征）： ①末位判别法 2、5的倍数特征：末位上的数字是2、5的倍数。 4、25的倍数特征：末两位上的数字是4、25的倍数。 8、125的倍数特征：末三位上的数字是8、125的倍数。 ②截断求和法（从右开始截） 9（及其因数3）的倍数特征：一位截断求和 99（及其因数3、9、11、33）的倍数特征：两位截断求和 999（及其因数3、9、27、37、111、333）的倍数特征：三位截断求和 ③截断求差法（从右开始截） 11的倍数特征：一位截断求差 101的倍数特征：两位截断求差 ……………………………………………………………最新资料推荐………………………………………………… 2 1001（及其因数7、11、13、77、91、143）的倍数特征：三位截断求差

④公倍数法 6的倍数特征：2和3的公倍数。先判断是否2的倍数，再判断是否3的倍数。 12的倍数特征：4和3的公倍数。先判断是否4的倍数，再判断是否3的倍数。 3、奇数与偶数（自然数按是否能被2整除分类） （1） 定义： 奇数：不是2的倍数的数。在自然数中，最小的奇数是1。 偶数：是2的倍数的数。在自然数中，最小的偶数是0。 （2）数的奇偶性质： ① 奇偶相连，奇偶相间，偶数个连续自然数中，奇偶各半。 ② 奇数个奇数的和是奇数；偶数个奇数的和是偶数；任意多个偶数的和是偶数； ③ 两个奇（偶）数的差是偶数；一个偶数与一个奇数的差是奇数； ④ 若 a、b 为整数，则 a+b 与 a-b 有相同的奇偶性； ⑤ n 个奇数的乘积是奇数，n 个偶数的乘积是 2n 的倍数；算式中有一个是偶数，则乘积必是偶数。 ⑥ 连续的奇数或偶数差为2。如，与奇数m相邻的两个奇数分别是(m-2)和(m+2)。 ⑦ 奇偶分析：奇＋奇＝偶 奇－奇＝偶 奇×奇＝奇 奇＋偶＝奇 偶－偶＝偶 奇×偶＝偶 偶＋偶＝偶 奇－偶＝奇 偶×偶＝偶 4、质数与合数（非0自然数按因数个数分类） （1） 定义： 质数：只有1和它本身两个因数的数。（因数个数：2个） 合数：除了1和它本身还有其它因数的数。（因数个数：3个或3个以上） （2） 常见质数特征： 1既不是质数，也不是合数（1只有1个因数）； 2是最小的质数；4是最小的合数； 2是质数中唯一的偶数，也是偶数中唯一的质数（除2外，其它质数都是奇数）。 （3）100以内质数表（25个）：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、 53、59、61、67、71、73、79、83、89、97 （4） 分解质因数 ① 唯一分解定理：任何一个大于1的自然数 N,如果N不是质数，那么N可以唯一分解成有限个质数的乘积。 ② 质因数：如果某个质数是某个数的因数，那么这个质数叫做这个数的质因数。 ③ 分解质因数：把一个合数写成它的几个质因数相乘的形式。如：28＝2×2×7＝2²×7 ④ 通常用短除法分解质因数。任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。 ⑤ 要求出乘积中末尾0的个数，只需要知道这些乘数分解质因数后2和5的个数，不用考虑其它质因数。 （5） 互质数：公因数只有1的两个数为互质数。 常见的互质数： ① 相邻自然数：8和9 ② 相邻奇数：21和23 ③ 2与任意奇数：2和15 ④ 不同的两个质数：11和 17 ⑤ 1与任意非零自然数：1和4 ⑥ 当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质:3和14 ⑦ 公因数只有1的两个合数：6和25 ⑧ 如果几个数中任意两个都互质，就说这几个数两两互质：3、5、7 5、最大公因数与最小公倍数 ……………………………………………………………最新资料推荐………………………………………………… 3 （1） 定义：

最大公因数：几个数公有的因数叫这几个数的公因数，其中最大的一个叫做最大公因数，用(a，b)表示。 最小公倍数：几个数公有的倍数叫这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做最小公倍数，用[a，b]表示。 （2） 最大公因数的性质： ① 几个数都除以它们的最大公因数，所得的几个商是互质数。 ② 几个数的最大公因数都是这几个数的因数。 ③ 几个数的公因数，都是这几个数的最大公因数的因数。 ④ 几个数都乘一个自然数m，所得的积的最大公因数等于这几个数的最大公因数乘m。 （3） 最小公倍数的性质： ① 两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。 ② 两个数最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。即(a，b)×[a，b]＝a×b （4）求最大公因数的方法： ① 列举法 ② 短除法 ③ 分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。 ④ 辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公因数。 （5）求最小公倍数基本方法： ① 列举法 ② 短除法 ③ 分解质因数法 （6）分类求最大公因数和最小公倍数： ① 倍数关系：a是b的倍数，(a，b)＝b，[a，b]＝a ② 互质关系：a与b互质，(a，b)＝1，[a，b]＝a×b ③ 一般关系：a与b不互质也不倍数，用短除法。(a，b)＝左侧除数连乘积，[a，b]＝除数和商连乘积

6、分解质因数的运用： （1）求一个数因数的个数 ① 列举法：2个一组列举 ② 分解质因数法：①分解质因数②所有不同质数出现次数+1连乘积（指数加1再相乘） 如：360＝2³×3²×5，360的因数个数：(3+1)×(2+1)×(1+1)＝4×3×2＝24（个） （2）求一个数的所有因数的和 步骤：①分解质因数②所有不同质因数的各种取法之和的连乘积。 如：180＝2²×3²×5，180的所有因数之和：(20＋21＋22)×(30＋31＋32)(50＋51)＝7×13×6＝546

二、余数性质与同余问题 1、余数的性质 (1) 余数小于除数。 (2) 若a、b除以c的余数相同，则(a-b)或(b-a)可以被c整除。 (3) a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加b除以c的余数的和除以c的余数。 （和的余数＝余数的和） (4) a与b的差除以c的余数等于a除以c的余数减b除以c的余数的差除以c的余数。 （差的余数＝余数的差） (5) a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的积除以c的余数。 （积的余数＝余数的积） 2、余数的计算（求余数） (1) 末位判断法：2，5，4，25，8，125 ……………………………………………………………最新资料推荐………………………………………………… 4 (2) 数字求和法：3，9

各个数位上数字之和除以3或9的余数＝某数除以3或9的余数。 如：234569。2+3+4+5+6+9＝29，因为29÷9＝3…2，所以234569÷9＝？…2，即234569≡29(mod 9) (3) 截断求和法：99，999及其因数 99（3、9、11、33）：两位截断求和，得到的和除以99余数，即原数除以99的余数。 999（3、9、27、37、111、333）：三位截断求和，得到的和除以999余数，即原数除以999的余数。 如：12345。345+12=357,357＜999，所以12345÷999余357。 (4) 截断求差法：从右开始截断，奇段和－偶段和。11，101，1001及其因数7、11、13、77、91、143。 ①11：一位截断作差。从右开始，1位截断，(奇数位数字之和)-(偶数位数字之和)÷11的余数,即为原数÷11的余数；如不够减，求出的负数+11。 如：234569。奇数位数字之和3+5+9＝17，偶数位数字之和2+4+6＝12，17-12＝5，所以234569÷11余5，即234569≡5(mod 11) 如：98，（奇数位8＜偶数位9）8-9＝-1，-1+11=10，则98÷11＝8……10，即98≡10(mod 11) ②101：两位截断作差。从右开始，2位截断，(奇位和)-(偶位和)÷101的余数,即为原数÷101的余数；如不够减，求出的负数+101。 ③1001（7、11、13、77、91、143）：三位截断作差。从右开始，3位截断，(奇位和)-(偶位和)÷1001的余数,即为原数÷1001的余数；如不够减，求出的负数+1001。

3、费马小定理 如果p是质数，a是自然数，且a不能被p整除，则ap-1≡1(mod p)。 即：假如a是自然数，p是质数，且a,p互质，那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。 如：a是自然数2，p是质数5，2和5互质，2（5-1）÷5余1。 a是自然数10，p是质数3，10和3互质，10（3-1）÷3余1。 4、同余问题（求除数） 同余的定义： (1) 若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。 (2) 已知三个整数a、b、m，如果m能被(a-b)整除，就称a、b对于模m同余，记作a≡b(mod m)，读作a同余于b模m。 5、中国剩余定理（物不知数问题：求被除数） 在一千多年前的《孙子算经》中有著名算题： 今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？ 物不知数问题，又叫孙子问题、韩信点兵问题。 方法： ① 最小公倍数法：和同加和，余同加余，差同减差（缺同减缺）。 ② 列举法（逐步满足条件法） ③ 口诀法(仅适应于3、5、7)：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝；七子团圆正半月，除百零五便得知。 口诀法解释(只看数字即可)：将除以3的余数乘70，将除以5的余数乘21，将除以7的余数乘15，全部加起来后除以105，得到的余数就是答案。 步骤：2×70+3×21+2×15=140+63+30=233，233÷105=2……23