数学必修二讲义

人教版必修二圆与方程专题讲义一、标准方程 x a 2 2y b 2r 21.求标准方程的方法一一关键是求出圆心 a, b 和半径r2 D 2 E 2 4F 0常可用来求有关参数的范围条件 方程形式圆心在原点 2x 2 y2r r 0过原点 x 2 a y2b2a b a 2 b 2圆心在x 轴上 x 2a2y2r r圆心在y 轴上 2x y b 22r r圆心在x 轴上且过原点 x 2a2y2a a圆心在y 轴上且过原占2x y 2bb 2b 0与x 轴相切 x J2a y2 b b 2 b0 与y 轴相切 x 2ay 2b a 2a与两坐标轴都相切x 2ay b 2a 2<lb 0位置 的 圆的 标准方 程 设法（ 〔无 需记， 关 键能 理解）、 •般方程2 2x y Dx Ey F1. Ax 2By 2Cxy Dx Ey F 0表示圆方程，则 2.特殊三、点与圆的位置关系1.判断方法：点到圆心的距离d与半径r的大小关系d r 点在圆内；d r 点在圆上；d r 点在圆外2.涉及最值：(1) 圆外一点B，圆上一动点P，讨论|PB|的最值(2) 圆内一点A，圆上一动点P，讨论PA的最值思考：过此A点作最短的弦？(此弦垂直AC)3.以A(x i, yj, B(X2, y2)两点为直径的圆方程为四、直线与圆的位置关系1.判断方法(d为圆心到直线的距离)(1) 相离没有公共点0 d r(2) 相切只有一个公共点0 d r(3) 相交有两个公共点0 d r2.直线与圆相切(1)知识要点①基本图形Bi )点在圆外 2如定点P X o , y o ，圆:y b r 2，[ x oay o b 2 r 2]② 主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等 第一步：设切线I 方程y y 0 k x x 0第二步：通过dr k ，从而得到切线方程特别注意：以上解题步骤仅对k 存在有效，当k 不存在时，应补上一一千万不要漏了 如：过点P 1,1作圆x 2 y 2 4x 6y 12 0的切线，求切线方程. 答案：3x 4y 10和x 1ii ）点在圆上若点XD , y 0在圆x a? y b 2 r 2上，则切线方程为 注：碰到一般方程则可先将一般方程标准化，③ 求切线长：利用基本图形，|AP 2|CP ；求切点坐标：利用两个关系列出两个方程3. 直线与圆相交（1） 求弦长及弦长的应用问题： 垂径定理及勾股定理（2） 判断直线与圆相交的一种特殊方法（一种巧合） ：直线过定点，而定点恰好在圆内. （3） 关于点的个数问题例：若圆x 3 2 y 5 2 r 2上有且仅有两个点到直线4x 3y 2 0的距离为1,则半径r 的 取值范围是 . 答案：4,6问题：直线I 与圆C 相切意味圆心 C 到直线I 的距离恰好等于半径r (2) 常见题型一一求过定点的切线方程 ①切线条数点在圆外一一两条；点在圆上一一一条；点在圆内一一无②求切线方程的方法及注意点.然后运用上述结果r 2AP 』CP |2 r 2AC r k AC k AP14.直线与圆相离：会对直线与圆相离作出判断（特别是涉及一些参数时）五、对称问题1.若圆x2y2m21 x 2my m 0，关于直线x y 1 0，则实数m的值为____________________ .答案：3 （注意：m 1时，D2 E2 4F 0，故舍去）变式：已知点A是圆C: x2 y2 ax 4y 5 0上任意一点，A点关于直线x 2y 1 0的对称点在圆C上，则实数a ________________________ .2.圆x 1 2y 321关于直线x y 0对称的曲线方程是_____________________________ .变式：已知圆C1: x 4 y 2 1与圆C2: x 2 y 4 1关于直线I对称，则直线I 的方程为.3.圆x 3 2y 1 21关于点2,3对称的曲线方程是 ____________________________ .4.已知直线I : y x b与圆C : x2 y2 1,问：是否存在实数b使自A 3,3发出的光线被直线I反射后与圆C相切于点B 24—?若存在，求出b的值；若不存在，试说明理由.25’ 25六、最值问题方法主要有：（1）数形结合；（2）代换例：已知实数x，y满足方程x2 y2 4x 1 0 ,求：（1）—匚的最大值和最小值；——看作斜率x 5（2）y x的最小值；——截距（线性规划）（3）x2 y2的最大值和最小值. ------ 两点间的距离的平方七、圆与圆的位置关系1.判断方法：几何法（d为圆心距）（1） d ri $ 外离（2） d r i D外切（3）»r2 d r1r2相交（4） d r1r2内切（5） d * $ 内含2.两圆公共弦所在直线方程圆C1: x2y2D1x E1 y F10，圆C2: x2 y2 D2x E2y F20，则D1 D2 x E1 E2 y F1 F2 0为两相交圆公共弦方程.注：若G与C2相切，则表示其中一条公切线方程；若G与C2相离，则表示连心线的中垂线方程.3.圆系问题（1）过两圆C1: x2 y2 D1X E』F1 0和C2: x2 y2 D?x E?y F? 0交点的圆系方程为x2y2D1x E1y F1X y2D2x E2y F20 （1）注：1）上述圆系不包括C2 ；2）当1时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）（2）过直线Ax By C 0与圆x2 y2 Dx Ey F 0交点的圆系方程为 2 2x y Dx Ey F Ax By C 0（3）有关圆系的简单应用（4）两圆公切线的条数问题①相内切时，有一条公切线；②相外切时，有三条公切线；③相交时，有两条公切线；④相离时，有四条公切线八、轨迹方程（1）定义法（圆的定义）（2）直接法：通过已知条件直接得出某种等量关系，利用这种等量关系，建立起动点坐标的关系式——轨迹方程•2,0作圆的割线，求割线被圆截得的弦的中点的轨迹方程（3）相关点法（平移转换法）:一点随另一点的变动而变分析: OP AP2OA动点主动点特点为：主动点一定在某一已知的方程所表示的（固定）轨迹上运动例：如图，已知定点 A 2,0，点Q是圆x2 y2当Q点在圆上移动时，求动点M的轨迹方程.分析：角平分线定理和定比分点公式AQ 于M，例：过圆x2 y2 1外一点A。

新高考数学必修二知识点总结归纳为了帮助大家更好地理解和掌握新高考数学必修二的知识点，我将对该教材中的各个章节进行总结和归纳。

以下是对每个章节的重要概念、公式和解题方法的精要概述。

希望这篇文章可以对大家的学习有所帮助。

第一章一次函数与二次函数在这一章中，我们学习了一次函数与二次函数的基本概念和性质。

一次函数表达式为y=ax+b，其中a和b分别表示斜率和截距。

二次函数表达式为y=ax²+bx+c，其中a、b和c分别表示二次项系数、一次项系数和常数项。

我们学习了如何通过函数的图像来确定其性质，并且学会了用函数图像求解实际问题。

第二章三角函数这一章介绍了三角函数的定义、性质和常见公式。

我们学习了正弦函数、余弦函数和正切函数的基本特点，并且掌握了它们的图像、定义域和值域。

此外，我们还学习了三角函数的图像变换和简单的恒等变换。

第三章指数与对数函数指数与对数函数是数学中重要的概念，也是解决复杂问题的利器。

我们学习了指数函数的定义和性质，并学会了求解指数方程和不等式。

对数函数则是指数函数的逆运算，我们学习了对数函数的定义、性质和常见公式，以及如何通过对数函数求解实际问题。

第四章平面向量在这一章中，我们学习了平面向量的基本概念和运算法则。

平面向量可以用有向线段表示，我们学会了如何求解向量的模、方向角以及直角坐标。

此外，我们还学习了向量的线性运算和数量积的性质，以及如何应用向量解决几何问题。

第五章线性规划线性规划是求解最优解的一种方法，其基本思想是构建目标函数和约束条件，通过图像或运算求解最优解。

我们学习了线性规划的基本概念和常见模型，并且学会了用图像法和单纯形法求解线性规划问题。

第六章概率与统计概率与统计是数学中与现实生活相结合的一个重要分支。

我们学习了概率的基本概念和常用计算方法，包括事件的概率、条件概率和独立性等。

统计则是通过收集数据、分析数据来得出结论的一种方法，我们学习了如何进行数据的整理、总结和分析，以及如何利用统计结果进行推断和决策。

1．经过两条直线2x －3y ＋10＝0和3x ＋4y －2＝0的交点，且垂直于直线3x －2y ＋4＝0的直线方程为______________．解法一：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋10＝0，3x ＋4y －2＝0， 求出交点坐标(－2，2)，设所求直线的斜率为k ，则k ·32＝－1，解得k ＝－23.∴所求直线的方程为y －2＝－23(x ＋2)，即2x ＋3y －2＝0.解法二：设所求直线l 的方程为2x －3y ＋10＋λ(3x ＋4y －2)＝0，即(2＋3λ)x ＋(4λ－3)y＋(10－2λ)＝0，其中斜率为k ＝2＋3λ3－4λ，∵直线l 与3x －2y ＋4＝0垂直，∴2＋3λ3－4λ·32＝－1，解得λ＝－12.故所求直线方程为 [2＋3×(－12)]x ＋[4×(－12)－3]y ＋[10－2×(－12)]＝0. 即2x ＋3y －2＝0.故填2x ＋3y －2＝0. 2.已知一个圆同时满足下列条件：①与x 轴相切；②圆心在直线3x －y ＝0上；③被直线l ：x －y ＝0截得的弦长为27. 则此圆的方程为____________________．解：由①可设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝b 2，由②知b ＝3a ，而圆心(a ，b )到直线l 的距离为d ＝|a －b |2，又由③知b 2－d 2＝7，联立⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3a ，d ＝||a －b 2，b 2－d 2＝7，解得a ＝1，b ＝3或a ＝－1，b ＝－3.故填(x －1)2＋(y －3)2＝9或(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝9.3．已知函数f (x )＝x 2－4x ＋3，集合M ＝{(x ，y )|f (x )＋f (y )≤0}，集合N ＝{(x ，y )|f (x )－f (y )≥0}，则集合M ∩N 的面积是( )A ．π4B ．π2C ．πD ．2π解：由已知可得M ＝{(x ，y )|f (x )＋f (y )≤0}＝{(x ，y )|(x －2)2＋(y －2)2≤2}，N ＝{(x ，y )|f (x )－f (y )≥0}＝{(x ，y )|(x －y )(x ＋y －4)≥0}，则M ∩N ＝{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧（x －2）2＋（y －2）2≤2，（x －y ）（x ＋y －4）≥0}，作出其交集部分如图所示(阴影部分)，其面积为圆面积的一半，即S ＝12π(2)2＝π.故选C.4.设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是( )A ．[1－3，1＋3]B ．(－∞，1－3]∪[1＋3，＋∞)C ．[2－22，2＋22]D ．(－∞，2－22]∪[2＋22，＋∞)解：圆心(1，1)到直线的距离 d ＝||（m ＋1）＋（n ＋1）－2（m ＋1）2＋（n ＋1）2＝1，有mn ＝m ＋n ＋1≤⎝⎛⎭⎫m ＋n 22，设t ＝m ＋n ，则t 24≥t ＋1， 解得t ∈(－∞，2－22]∪[2＋22，＋∞)． 故选D.5.已知圆O ：x 2＋y 2＝5，直线l ：x cos θ＋y sin θ＝1⎝⎛⎭⎫0<θ<π2.设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k ＝____________．解：∵圆心O (0，0)到直线l 的距离d ＝||0·cos θ＋0·sin θ－1cos 2θ＋sin 2θ＝1，∴过圆心O 作直线l 1∥l 交圆于两点，则它们到直线l 的距离为1.又∵圆O 的半径r ＝5>2，∴l 1关于直线l 对称的直线l 2也与圆O 有两个交点，且它们到直线l 的距离为1.综上知，k ＝4.故填4.6.如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，M 为棱BB 1的中点，则下列结论中错误．．的是( )A ．D 1O ∥平面A 1BC 1B ．D 1O ⊥平面MACC ．异面直线BC 1与AC 所成的角等于60°D ．二面角M -AC -B 等于90°解：取A 1C 1中点O 1，连接BO 1，易知D 1O ∥BO 1，故D 1O ∥平面A 1BC 1，A 正确．取AB 中点E ，连接OE ，A 1E ，易知A 1E ⊥AM ，A 1D 1∥OE ，而A 1D 1⊥AM ，故AM ⊥平面A 1D 1OE ，AM ⊥D 1O ，同理CM ⊥D 1O ，AM ∩MC ＝M ，所以D 1O ⊥平面MAC ，B 正确．易知△A 1BC 1为等边三角形，故C 正确．连MO ，BO ，由AC ⊥平面BDD 1B 1知∠MOB 为二面角M -AC -B 的平面角，显然不等于90°，故D 错误．故选D.7.棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点P ，Q ，R 分别是面A 1B 1C 1D 1，BCC 1B 1，ABB 1A 1的中心，给出下列结论：①PR 与BQ 是异面直线； ②RQ ⊥平面BCC 1B 1； ③平面PQR ∥平面D 1AC ；④过P ，Q ，R 的平面截该正方体所得截面是边长为2的等边三角形． 以上结论正确的是______．(写出所有正确结论的序号)解：由于PR 是△A 1BC 1的中位线，所以PR ∥BQ ，故①不正确；由于RQ ∥A 1C 1，而A 1C 1不垂直于面BCC 1B 1，所以②不正确；由于PR ∥BC 1∥D 1A ，PQ ∥A 1B ∥D 1C ，所以③正确；由于△A 1BC 1是边长为2的正三角形，所以④正确．故填③④.8.（选做）如图，二面角α-l -β的大小是60°，线段AB ⊂α，B ∈l ，AB 与l 所成的角为30°.则AB 与平面β所成的角的正弦值是________．解：过点A 作平面β的垂线，垂足为C ，连接BC ，在β内作CD ⊥l ，交l 于点D ，连接AD .∵l ⊥CD ，l ⊥AC ，AC ∩CD ＝C ，∴l ⊥面ACD .∴l ⊥AD .故∠ADC 为二面角α-l -β的平面角，即∠ADC ＝60°，易知∠ABC 为直线AB 与平面β所成的角．设CD ＝a ，则AD ＝2a ，AC ＝3a . 又∵∠ABD ＝30°，∴AB ＝4a .∴sin ∠ABC ＝AC AB ＝3a 4a ＝34.故填34.9．把等腰直角△ABC 沿斜边上的高AD 折成直二面角B -AD -C ，则BD 与平面ABC 所成角的正切值为( )A ． 2B ．22C ．1D ．33解：在面ADC 中，过D 作DE ⊥AC ，交AC 于点E .连接BE ，二面角B -AD -C 为直二面角，∴BD ⊥平面ADC ，BD ⊥AC .又∵DE ∩BD ＝D ，∴AC ⊥平面BDE .∴平面BDE ⊥平面ABC ，故∠DBE 是BD 与平面ABC 所成角，由翻折不变性可知DE ＝12AB ＝22BD ，在Rt △BDE 中，tan ∠DBE ＝DE BD ＝22(亦可由射影法cos ∠BED ＝S 射S 原＝S △ADC S △ABC ＝DE BE ＝33或坐标法求得)．故选B.10．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝______时，CF⊥平面B1DF.解：B1D⊥平面ACC1A1，所以B1D⊥CF.要CF⊥平面B1DF，只要CF⊥DF即可．令CF⊥DF，∠A1FD＝∠ACF，∠AFC＝∠A1DF，设AF＝x，则A1F＝3a－x.由Rt△CAF∽Rt△F A1D，得ACA1F＝AFA1D，即2a3a－x＝xa，解得x＝a或x＝2a.(亦可由勾股定理求得)．故填a或2a.11.在正方体ABCD-A′B′C′D′中，过对角线BD′的一个平面交AA′于E，交CC′于F，则①四边形BFD′E一定是平行四边形；②四边形BFD′E有可能是正方形；③四边形BFD′E在底面ABCD内的投影一定是正方形；④平面BFD′E有可能垂直于平面BB′D.以上结论正确的为____________．(写出所有正确结论的编号)解：根据两平面平行的性质定理可得BFD′E为平行四边形，①正确；若四边形BFD′E是正方形，则BE⊥ED′，又A′D′⊥EB，A′D′∩ED′＝D′，∴BE⊥面ADD′A′，与已知矛盾，②错；易知四边形BFD′E在底面ABCD内的投影是正方形ABCD，③正确；当E，F分别为棱AA′，CC′的中点时，EF∥AC，又AC⊥平面BB′D，∴EF⊥面BB′D，④正确．故填①③④.12如图，在四棱锥P-ABCD中，P A⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD.(1)证明：BD⊥PC；(2)若AD＝4，BC＝2，直线PD与平面P AC所成的角为30°，求四棱锥P-ABCD的体积．解：(1)证明：因为P A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥BD .又AC ⊥BD ，P A ，AC 是平面P AC 内的两条相交直线，所以BD ⊥平面P AC .而PC ⊂平面P AC ，所以BD ⊥PC .(或由三垂线定理直接得出)(2)如图，设AC 和BD 相交于点O ，连接PO ，由(1)知，BD ⊥平面P AC ，所以∠DPO 是直线PD 和平面P AC 所成的角．从而∠DPO ＝30°.由BD ⊥平面P AC ，PO ⊂平面P AC 知，BD ⊥PO ，在Rt △POD 中，由∠DPO ＝30°，得PD ＝2OD .因为四边形ABCD 为等腰梯形，AC ⊥BD ，所以△AOD ，△BOC 均为等腰直角三角形，从而梯形ABCD 的高为12AD ＋12BC ＝3，于是梯形ABCD 的面积S ＝12×(4＋2)×3＝9.在等腰直角三角形AOD 中，OD ＝22AD ＝22，所以PD ＝2OD ＝42，P A ＝PD 2－AD 2＝4. 故四棱锥P -ABCD 的体积为V ＝13×S ×P A ＝13×9×4＝12.13.如图，在四棱台ABCD -A 1B 1C 1D 1中，D 1D ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，AB＝2AD ，AD ＝A 1B 1，∠BAD ＝60°.(1)证明：AA 1⊥BD ；(2)证明：CC 1∥平面A 1BD .证明：(1)∵D 1D ⊥面ABCD ，且BD ⊂面ABCD ，∴D 1D ⊥BD .又∵AB ＝2AD ，∠BAD ＝60°，在△ABD 中，由余弦定理得BD 2＝AD 2＋AB 2－2AD ·AB cos60°＝3AD 2， ∴AD 2＋BD 2＝AB 2. ∴AD ⊥BD .又∵AD ∩D 1D ＝D ，∴BD ⊥面ADD 1A 1. 又AA 1⊂面ADD 1A 1, ∴AA 1⊥BD .(2)连接AC ，A 1C 1，设AC ∩BD ＝E ，连接A 1E .∵四边形ABCD 为平行四边形，∴EC ＝12AC .由棱台定义及AB ＝2AD ＝2A 1B 1知A 1C 1∥EC 且 A 1C 1＝EC ，∴四边形A 1ECC 1为平行四边形． ∴CC 1∥A 1E .又∵A 1E ⊂面A 1BD ，CC 1⊄面A 1BD ， ∴CC 1∥面A 1BD . 14.如图，四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，A 1O ⊥平面ABCD ，AB ＝AA 1＝ 2.证明：A 1C ⊥平面BB 1D 1D .证明：∵A 1O ⊥平面ABCD ，∴A 1O ⊥BD . 又∵底面ABCD 为正方形，∴BD ⊥AC . ∴BD ⊥平面A 1OC .∴BD ⊥A 1C .又∵OA 1是AC 的中垂线，∴A 1A ＝A 1C ＝2，且AC ＝2，∴AC 2＝AA 21＋A 1C 2，∴△AA 1C 是直角三角形，∴AA 1⊥A 1C .又BB 1∥AA 1，∴A 1C ⊥BB 1.∵BD ∩BB 1＝B ， ∴A 1C ⊥平面BB 1D 1D .15.如图，在圆锥PO 中，已知PO ＝2，⊙O 的直径AB ＝2，C 是AB ︵的中点，D 为AC 的中点．(1)证明：平面POD ⊥平面P AC ； (2)（选做）求二面角B -P A -C 的余弦值．解：(1)证明：∵OA ＝OC ，D 为AC 中点， ∴AC ⊥OD .又∵PO ⊥底面⊙O ，AC ⊂底面⊙O ，∴AC ⊥PO .∵OD ∩PO ＝O ，∴AC ⊥平面POD .而AC ⊂平面P AC ，∴平面POD ⊥平面P AC .(2)在平面POD 中，过O 作OH ⊥PD 于H ，由(1)知，平面POD ⊥平面PAC ，∴OH ⊥平面PAC .又PA ⊂平面PAC ，∴PA ⊥OH .在平面P AO 中，过O 作OG ⊥PA 于G ，连接HG ，则有 P A ⊥平面OGH ，从而P A ⊥HG ，∴∠OGH 是二面角B -PA -C 的平面角． 在Rt △ODA 中，OD ＝OA ·sin45°＝22.在Rt △POD 中，OH ＝PO ·OD PO 2＋OD2＝2×222＋12＝105， 在Rt △POA 中，OG ＝PO ·OA PO 2＋OA 2＝2×12＋1＝63，在Rt △OHG 中，sin ∠OGH ＝OH OG ＝10563＝155，所以cos ∠OGH ＝105.故二面角B -P A -C 的余弦值为105.16．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b (x ∈R)与两坐标轴有三个交点．记过三个交点的圆为圆C .(1)求实数b 的取值范围； (2)求圆C 的方程；(3)圆C 是否经过定点(与b 的取值无关)？证明你的结论． 解：(1)令x ＝0，得抛物线与y 轴的交点是(0，b )．令f (x )＝0，得x 2＋2x ＋b ＝0，由题知b ≠0，且Δ>0，解得b <1且b ≠0. (2)设所求圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0，这与x 2＋2x ＋b ＝0是同一个方程，故D ＝2，F ＝b . 令x ＝0，得y 2＋Ey ＋b ＝0，此方程有一个根为b ，代入得E ＝－b －1. 所以圆C 的轨迹方程是x 2＋y 2＋2x －(b ＋1)y ＋b ＝0. (3)圆C 过定点，证明如下：假设圆C 过定点(x 0，y 0)(x 0，y 0不依赖于b )，将该点的坐标代入圆C 的方程，并变形为x 20＋y 20＋2x 0－y 0＋b (1－y 0)＝0.(*)为使(*)式对所有满足b <1(b ≠0)的b 都成立，必须有1－y 0＝0，结合(*)式得x 20＋2x 0＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－2，y 0＝1.经检验知，点(0，1)，(－2，1)均在圆C 上．因此，圆C 过定点．。

第6讲平面向量等和线定理求系数和问题【考点分析】考点一：平面向量等和线问题①平面向量共线定理则,,A B C 三点共线，O 为直线外一点，则OA OB OC λμ=+ 且1λμ+=⇔,,A B C 三点共线。

②平面向量等和线问题如图：B A ,两点共线，若O 为直线AB 外一点，MN 为与AB平行的直线，若k =，点P 为MN 上一点，若OB OA OP μλ+=，则k =+μλ。

证明如下：因为MN 与AB平行，所以k ==，所以ON kOB OM k OA 1,1==，所以ON k OM k OB OA OP μλμλ+=+=，因为P N M ,,三点共线，所以1=+kk μλ，所以k =+μλ③利用等和线解题的步骤第一步：确定系数和为1的直线；第二步：平移该直线，结合题目给出动点范围，分析在何处取得最值；第三步：从长度比，点的位置的角度计算最值。

【典型例题】题型一：平面向量等和线求系数和问题【例1】如图，在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上，若满足AP mAB nAD =+ ，则n m +的最大值为（）A ．3B ．22C ．5D ．2【答案】A【解析】法一：如图：以A 为原点，以AB ，AD 所在的直线为x ，y 轴建立如图所示的坐标系，则(0,0)A ，(1,0)B ，(0,2)D ，(1,2)C ， 动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上，设圆的半径为r ，2BC = ，1CD =，22215BD ∴+=∴1122BC CD BD r = ，5r ∴=∴圆的方程为224(1)(2)5x y -+-=，设点P 的坐标为25(15θ+252)5θ+， AP AB AD λμ=+ ，25(15θ∴+，25sin 2)(15θλ+=，0)(0μ+，2)(λ=，2)μ，∴2515θλ+=，5225θμ+=，2552sin()255λμθθθϕ∴+=++=++，其中tan 2ϕ=，∵1)sin(1≤+≤-ϕθ，∴31≤+≤μλ，故λμ+的最大值为3，故选A ．法二：由等和线性质知：APAP AD AN n m 1==+，所以当1P 在如图所示位置时，n m +取得最大值，33==+rr n m 【例2】如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O ，P 为圆O 上任一点，若AP xAB yAC =+ ，则22x y+的最大值为（）A ．83B ．2C ．43D ．1【答案】A【详解】作BC 的平行线与圆相交于点P ，与直线AB 相交于点E ，与直线AC 相交于点F ，设AP AE AF λμ=+ ，则1λμ+=，∵BC//EF ，∴设AE AF k AB AC ==，则4[0,]3k ∈∴,AE k AB AF k AC == ，AP AE AF k AB k AC λμλμ=+=+ ∴,x k y kλμ==∴22x y=+8223k k λμ+=≤（）故选：A.【例3】在ABC 中，M 为BC 边上任意一点，N 为线段AM 上任意一点，若AN AB AC λμ=+ （λ，μ∈R ），则λμ+的取值范围是（）A ．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[0,1]D ．[1,2]【答案】C【解析】【分析】设AN t AM = ，()01t ≤≤，当0=t 时，可得0λμ==，从而有0λμ+=；当01t <≤时，有B A A M AC t tλμ=+ ，根据M 、B 、C 三点共线，可得1t tl m +=，进而可得(]0,1t λμ+=∈，从而即可求解.【详解】解：由题意，设AN t AM = ，()01t ≤≤，当0=t 时，0AN = ，所以0AB AC λμ+= ，所以0λμ==，从而有0λμ+=；当01t <≤时，因为AN AB AC λμ=+ （λ，μ∈R ），所以B t A A A M C λμ=+ ，即B A A M AC t tλμ=+ ，因为M 、B 、C 三点共线，所以1t t l m +=，即(]0,1t λμ+=∈.综上，λμ+的取值范围是[0,1].故选：C.【例4】如图，已知点P 在由射线OD 、线段OA ，线段BA 的延长线所围成的平面区域内（包括边界），且OD与BA 平行，若OP xOB yOA =+ ，当12x =-时，y 的取值范围是（）A ．[]0,1B ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．13,22⎡⎤-⎢⎣⎦D ．13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】【分析】根据向量加法的平行四边形法则，OP 为平行四边形的对角线，该四边形应是以OA 与OB 的反向延长线为两邻边，当12x =-时，要使P 点落在指定区域内，即P 点应落在EF 上，得到y 的取值范围.【详解】∵//OD AB ，OP xOA yOB =+uuu r uur uuu r ，由向量加法的平行四边形法则，OP 为平行四边形的对角线，该四边形应是以OA 与OB 的反向延长线为两邻边，∴当12x =-时，要使P 点落在指定区域内，即P 点应落在EF 上，13,22CE OA CF OA ==，∴y 的取值范围为1322⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.故选：D.【例5】在扇形OAB 中，60AOB ∠=，C 为弧AB 上的一动点，若OC xOA yOB =+ ，则3x y +的取值范围是_________．【答案】[]1,3【解析】【分析】以O 为原点，,OA OB 分别为x ，y 轴正方向建立平面直角坐标系.向量坐标化进行坐标运算，利用三角函数求出3x y +的取值范围.【详解】以O 为原点，,OA OB 分别为x ，y 轴正方向建立平面直角坐标系.则()11,0,22OA OB ⎛== ⎝⎭.不妨设()cos ,sin ,03OC πθθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭ .因为OC xOA yOB =+，所以1cos 2sin 2x y y θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得：cos sin 33x y θθθ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以s 3co 3in x y θθ-+=.因为cos y θ=在0,3πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，sin y θ=-在0,3πθ⎡⎤∈⎢⎣⎦上单调递减，所以s 3co 3in 3x y θθ-+=在0,3πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减.所以当0θ=时33x y +=最大；当3πθ=时cos sin 1333332x y ππ===+最小.所以3x y +的取值范围是[]1,3.故答案为：[]1,3.【题型专练】1.在直角ABC 中，AB AC ⊥，2AB AC ==，以BC 为直径的半圆上有一点M （包括端点），若AM AB AC λμ=+ ，则λμ+的最大值为（）A ．4BC ．2D【答案】C【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标表示M ，结合三角函数最值的求法，求得λμ+的最大值.【详解】依题意在直角ABC 中，AB AC ⊥，2AB AC ==，以A 为原点建立如图所示平面直角坐标系，()()0,2,2,0C B ，设D 是BC 的中点，则()1,1D .。