等差数列专题复习

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1 等差数列专题复习

【知识梳理】

1.定义：daann1（d为常数）（2n）；

2．等差数列通项公式：

*11(1)()naanddnadnN ， 首项:1a，公差:d，末项:na

推广： dmnaamn)(． 从而mnaadmn；

3．等差中项

（1）如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．即：2baA或baA2

（2）等差中项：数列na是等差数列)2(211-naaannn212nnnaaa

4．等差数列的前n项和公式：1()2nnnaas1(1)2nnnad211()22dnadn2AnBn

（其中A、B是常数） （当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0）

5．等差数列的判定方法

（1）定义法：若daann1或daann1(常数Nn) na是等差数列．

（2）等差中项：数列na是等差数列)2(211-naaannn212nnnaaa．

（3）数列na是等差数列bknan（其中bk,是常数）。

（4）数列na是等差数列2nSAnBn,（其中A、B是常数）。

6．等差数列的证明方法

定义法：若daann1或daann1(常数Nn) na是等差数列．

7.提醒：（1）等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：1a、d、n、na及nS，其中1a、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）通常把题中条件转化成只含1a和d的等式！ 菁优教育一对一辅导

2 8.等差数列的性质：

（1）若公差0d，则为递增等差数列，若公差0d，则为递减等差数列，若公差0d，则为常数列。

（2）当mnpq时,则有qpnmaaaa，特别地，当2mnp时，则有2mnpaaa.

(3) 若{na}是等差数列，则232,,nnnnnSSSSS ，„也成等差数列 （公差为md ）

图示：mmmmmmSSSmmSSmmSmaaaaaaaa323231221321

（4）若等差数列{}na、{}nb的前n和分别为nA、nB，且()nnAfnB，

则2121(21)(21)(21)nnnnnnanaAfnbnbB.

（5）若na、nb为等差数列，则nnab为等差数列

(6)求nS的最值

法一：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数，故n取离二次函数对称轴最近的整数时，nS取最大值（或最小值）。若S p = S q则其对称轴为2pqn

法二：①“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和

即当，，001da 由001nnaa可得nS达到最大值时的n值．

②“首负”的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和。

即 当，，001da 由001nnaa可得nS达到最小值时的n值．

或求na中正负分界项

（7）设数列na是等差数列，奇S是奇数项的和，偶S是偶数项的和，nS是前n项的和，则：

1.当项数为偶数n2时，奇偶SSdn，其中n为总项数的一半，d为公差；

2、在等差数列na中，若共有奇数项12n项，则

121111(1)(21)1nnnnnSnaSSSnaSnSnaSSaSn奇奇偶奇偶奇偶偶

注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：

①基本量法：即运用条件转化为关于1a和()dq的方程；

②巧妙运用等差数列和等比数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量． 菁优教育一对一辅导

3 等差数列练习题

一、选择题

1.已知为等差数列，135246105,99aaaaaa，则20a等于（ ）

A. -1 B. 1 C. 3 D.7

2.设nS是等差数列na的前n项和，已知23a，611a，则7S等于( )

A．13 B．35 C．49 D． 63

3.等差数列{}na的前n项和为nS，且3S =6，1a=4， 则公差d等于

A．1 B 53 C.- 2 D 3

4.已知na为等差数列，且7a－24a＝－1, 3a＝0,则公差d＝

A.－2 B.－12 C.12 D.2

5.若等差数列{}na的前5项和525S，且23a，则7a( )

A.12 B.13 C.14 D.15

6.在等差数列na中， 284aa,则 其前9项的和S9等于 （ ）

A．18 B 27 C 36 D 9

7.已知{}na是等差数列，124aa，7828aa，则该数列前10项和10S等于（ ）

A．64 B．100 C．110 D．120

8.记等差数列{}na的前n项和为nS，若112a，420S，则6S（ ）

A．16 B．24 C．36 D．48

9.等差数列na的前n项和为xS若＝则432,3,1Saa（ ）

A．12 B．10 C．8 D．6

10.设等差数列{}na的前n项和为nS，若39S，636S，则789aaa（ ）

A．63 B．45 C．36 D．27 菁优教育一对一辅导

4 11.已知等差数列}{na中，12497,1,16aaaa则的值是 （ ）

A．15 B．30 C．31 D．64

12．等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（ ）

A.130 B.170 C.210 D.260

二、填空题

13．已知}{na是等差数列，且,13,77,57146541074kaaaaaaaa若 则k= .

14.已知等差数列na的前n项和为nS，若1221S，则25811aaaa ．

15. 设等差数列na的前n项和为nS，若972S,则249aaa=

16.设等差数列na的前n项和为nS，若535aa则95SS

17.等差数列na的前n项和为nS，且53655,SS则4a

18.已知等差数列{}na的公差是正整数，且a4,126473aaa，则前10项的和S10=

19.设{na}与{nb}是两个等差数列，它们的前n项和分别为nS和nT，若3413nnTSnn，那么nnba___________；

20．nS是等差数列}{na的前n项和，542,30naa(n≥5，*nN)，nS =336，则n的值是 .

三、解答题

21.在等差数列na中，40.8a，112.2a，求515280aaa.

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5 22.设等差数列na的前n项和为nS，已知312a，12S>0，13S<0，

①求公差d的取值范围；②1212,,,SSS中哪一个值最大？并说明理由.

23.己知}{na为等差数列，122,3aa，若在每相邻两项之间插入三个数，使它和原数列的数构成一个新的等差数列，求：（1）原数列的第12项是新数列的第几项？

（2）新数列的第29项是原数列的第几项？

24.设等差数列}{na的前ｎ项的和为S n ,且S 4 =－62, S 6 =－75,求：

（1）}{na的通项公式a n 及前ｎ项的和S n ；

（2）|a 1 |+|a 2 |+|a 3 |+„„+|a 14 |.

25.已知等差数列{na}中，0,166473aaaa求{na}前n项和ns.

26．数列na是首项为23，公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负。

（1）求数列公差；（2）求前n项和ns的最大值；（3）当0ns时，求n的最大值。