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高等数学不定积分课后习题详解

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1 第4章 不定积分 内容概要 名称 主要内容

不 定 积 分

不 定 积 分 的 概 念

设()fx， xI，若存在函数()Fx，使得对任意xI均有 ()()Fxfx 或()()dFxfxdx，则称()Fx为()fx的一个原函数。 ()fx的全部原函数称为()fx在区间I上的不定积分，记为

()()fxdxFxC

注：（1）若()fx连续，则必可积；（2）若(),()FxGx均为()fx的原函数，则()()FxGxC。故不定积分的表达式不唯一。

性 质 性质1：()()dfxdxfxdx或()()dfxdxfxdx；

性质2：()()FxdxFxC或()()dFxFxC； 性质3：[()()]()()fxgxdxfxdxgxdx，,为非零常数。 计 算 方 法 第一换元 积分法 （凑微分法）

设()fu的 原函数为()Fu，()ux可导，则有换元公式：

(())()(())()(())fxxdxfxdxFxC 第二类 换元积 分法

设()xt单调、可导且导数不为零，[()]()ftt有原函数()Ft，

则 1()(())()()(())fxdxfttdtFtCFxC 分部积分法 ()()()()()()()()uxvxdxuxdvxuxvxvxdux

有理函数积分 若有理函数为假分式，则先将其变为多项式和真分式的和；对真分式的处理按情况确定。 本章 的地 位与 作用 在下一章定积分中由微积分基本公式可知---求定积分的问题，实质上是求被积函数的原函数问题；后继课程无论是二重积分、三重积分、曲线积分还是曲面积分，最终的解决都归结为对定积分的求解；而求解微分方程更是直接归结为求不定积分。从这种意义上讲，不定积分在整个积分学理论中起到了根基的作用，积分的问题会不会求解及求解的快慢程度，几乎完全取决于对这一章掌握的好坏。这一点随着学习的深入，同学们会慢慢体会到！

课后习题全解

习题4-1 2

1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。

思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！

★(1)2

dx

xx

思路: 被积函数

522

1xxx，由积分表中的公式（2）可解。

解：5322223dxxdxxCxx ★(2)31()xdxx

思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：114111

333222

13()()24dxxxdxxdxxdxxxCx3x

★(3)22xxdx（）

思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：2232122ln23xxxxdxdxxdxxC（）

★(4)(3)xxdx 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：315322222

(3)325xdxxdxxdxxxCx

★★(5)4223311xxdxx



思路:观察到

422

22

3311311xxxxx

后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积

分。 3

解：42232233113arctan11xxdxxdxdxxxCxx ★★(6)221xdxx

思路:注意到

22

2221111111xxxxx



，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

解：2221arctan.11x

dxdxdxxxCxx



注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分

解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)xdxxxx34134（-+-）

2

思路:分项积分。

解：3411342xdxxdxdxxdxxdxxxxx34134（-+-）

2

223134ln||.423xxxxC

★(8)22

32()11dxxx



思路:分项积分。

解：22223211()323arctan2arcsin.1111dxdxdxxxCxxxx

★★(9)xxxdx 思路:xxx？看到

11172488xxxxx，直接积分。

解：715888.15xxxdxxdxxC

★★(10)22

1

(1)dxxx

思路:裂项分项积分。 4

解：222222111111()arctan.(1)11dxdxdxdxxCxxxxxxx ★(11)211xxedxe



解：21(1)(1)(1).11xxxxxxxeeedxdxedxexCee ★★(12)3xxedx

思路:初中数学中有同底数幂的乘法： 指数不变，底数相乘。显然

33xxxee（）

。

解：333.ln(3)xxxxeedxedxCe（）（）

★★(13)2cotxdx

思路:应用三角恒等式“22

cotcsc1xx

”。

解：22cot(csc1)cotxdxxdxxxC

★★(14)23523xxxdx

思路:被积函数

235222533xxxx（），积分没困难。

解：2()2352232525.33ln2ln3xxxxxdxdxxC（（））

★★(15)2cos2xdx

思路:若被积函数为弦函数的偶次方时，一般地先降幂，再积分。

解：21cos11cossin.2222xxddxxxC

★★(16)11cos2dxx

思路:应用弦函数的升降幂公式，先升幂再积分。

解：221111sectan.1cos2222cosdxdxxdxxCxx 5

★(17)cos2cossinxdx

xx

思路:不难，关键知道“22

cos2cossin(cossin)(cossin)xxxxxxx

”。

解：cos2(cossin)sincos.cossinxdxxxdxxxCxx

★(18)22

cos2cossinxdx

xx

思路:同上题方法，应用“22

cos2cossinxxx

”，分项积分。

解：22222222cos2cossin11cossincossinsincosxxxdxdxdxxxxxxxx





22cscseccottan.xdxxdxxxC

★★(19)11()11xxdxxx



思路:注意到被积函数

222

1111211111xxxxxxxxx



，应用公式(5)即可。

解：2111()22arcsin.111xxdxdxxCxxx

★★(20)21cos1cos2xdxx



思路:注意到被积函数

222

2

1cos1cos11sec1cos2222cosxxxxx

，则积分易得。

解：221cos11tansec.1cos2222xxxdxxdxdxCx ★2、设()arccosxfxdxxC，求()fx。

知识点：考查不定积分（原函数）与被积函数的关系。 思路分析：直接利用不定积分的性质1：[()]()dfxdxfxdx即可。

解：等式两边对x求导数得：

2211(),()11xfxfxxxx



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不定积分习题及答案

不定积分习题及答案

不定积分习题及答案第四章 不定积分(A 层次)1．⎰x x dxcos sin ； 2．⎰--dx xx 2112； 3．()()⎰-+21x x dx ； 4．⎰xdx x 7sin 5sin ； 5．()⎰+dx x x x arctg 1； 6．⎰-+21xx dx ；7．⎰arctgxdx x 2； 8．()⎰dx x ln cos ； 9．⎰--+dx xx x x 3458； 10．()⎰+dx x x 2831； 11．⎰xdx x 2cos ； 12．⎰dx e x 3；13．⎰x x x dx ln ln ln ； 14．()⎰+21xe dx； 15．()⎰+dx exe xx21；16．dx x ⎰3sin ； 17．⎰-dx xx1arcsin ； 18．()⎰+dx x x 321ln ； 19．⎰+-dx x x xx sin 2cos 5sin 3cos 7； 20．()⎰++dx x x x 21ln ； 21．⎰xdx x 35cos sin ； 22．⎰dx x x tgx sin cos ln ； 23．dx x x⎰-2arccos 2110； 24．⎰arctgxdx x 2；25．⎰-+dx x xx 1122； 26．dx x a x ⎰+222； 27．()dx tgx e x221⎰+； 28．()()()⎰+++321x x x xdx ； 29．()⎰+x x dx sin cos 2； 30．dx xx x x e x ⎰-23sin cos sin cos 。

(B 层次)1．设()x f 的一个原函数为xxsin ，求()⎰'dx x f x 2。

2．()⎰++dx xe x x x 11； 3．()⎰++dx x x x2ln ln 1； 4．()⎰-dx x x 1ln ； 5．⎰dx x x 32ln ； 6．⎰dx x x 2sin sin ln ； 7．⎰-dx e xe x x2；8．()⎰+dx x x2321ln ； 9．⎰-xdx x arcsin 12； 10．⎰-dx xx x 231arccos ；11．⎰+-323x x dx ； 12．⎰+-+dx x xarctg x 11112； 13．⎰dx x xtg x 32cos ； 14．⎰+dx x x 1ln ； 15．⎰+dx x x 1arcsin； 16．()⎰+dx x x arctgx 221； 17．()⎰--dx x x 2111；18．⎰+2xb x a dx 222sin cos ；19．⎰xdx xtgx 4sec ； 20．⎰++dx xx xcos sin 1sin ；(C 层次)1．设()x F 为()x f 的一个原函数，()10=F ，()0>x F ，且当0≥x 时，有()()()212x xe x F x f x +=，求()x f 。

（整理）4不定积分习题与答案.

（整理）4不定积分习题与答案.

（整理）4不定积分习题与答案.学习资料收集于网络，仅供参考1 1)1、求下列不定积分 1) dx 3) (x _2)2dx 5) 7)第四章不定积分xx23-52 ,dx3x (2ex 3)dx x2、求下列不定积分（第一换元法） 1)(3 _2x)3dx 3 5 7)xcos(x 2)dx9)sin x cos xdx11)2x2-113) sin 2xcos3xdx15)—X102arccosx17)—x3、求下列不定积分（第二换元法）dx(A)2)4)6)8)dx2「 X2dx1 xcos2xJ 2 i2dx cos xsin x2)dx32 -3x4)dxx In xln(In x)6)8)dx x . x e e10) . ------------ 2dx 丁9 —4x 2 12) cos 3 xdx14) tan 3 xsecxdx16)x 4sin218)册喻'dx *x(1+x)■2) sin - xdx-dx x学习资料收集于网络，仅供参考2x4)------------- dx, (a 0)、a - x4、求下列不定积分(分部积分法) 1) xSnxdx 2) arcs in xdx 3)x 2 In xdx 4)_2x .x , e sin dx25) x 2 arcta nxdx 6) x 2cosxdx7)In 2xdx8)2 2xx cos dx25、求下列不定积分(有理函数积分),dx3)x(x 2 1)(B)1、一曲线通过点(e 2,3),且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数,线的方程。

132、已知一个函数F (x)的导函数为 ----------- ，且当X = 1时函数值为，试求此函数。

U1—X 223、证明：若f (x)dx 二 F (x) ? c ，贝U1f (ax b)dx F (ax b) c,(a = 0)。

asin x4、设f (x)的一个原函数为，求xf (x)dx 。

不定积分典型例题讲解课件PPT

不定积分典型例题讲解课件PPT


dx
( n 为自然数)
n (x a)n1(x b)n1
解: I 令 则( xttn a)xx(xxxdxbabab, )nnt xxbad t (a( xannbt)dbtb)tdtdtx1 ((xxaabdb))(xxdxb) n (说(通注(通注说计 一一一一计一通二特使(一注注使注注二说 二通二一(使说一通一使计 一(说注一注(一注特使一(((通通注一二通(说计一P通 注使(通二计一计使二计二(注PP二通代代代代代代代代代代22112222)))))明过意过意明算、、般般算般过、别用、意意用意意、明般过、、用明般过般用算、明意般意、意别用、过过意般过明算般过意用、过、算、般算用、算、意、过000换换换换换换换换换换初初一一初555:简 常 简 常 :格经 经 格 经 简 几 :各 常 常 各 常 常 几 :几 经 简 几 各 :经 简 经 各 格:常 经 常 常 :各 简 简 常 经 几 简 :格 经 简常 各 简 几 格 经 格 各 几 格 几 常 几 简～ ～ ～求求求求求求求求求::::::::::等等般般等此此当此 此此当此单见单见式 验验式验单种种见见种见见种种验单种种验单验种式 见验见见种单单见验种单式验单 见种单种式验式种种式种见单PPP不不不不不不不不不函函方方函法技法技 技法法222uu变的变的:::::变特基的的基的的特特:变特基:变:基:的:的的基变变的:特变::变 的基变特:::基特特的特变000定定定定定定定定定数数法法数特巧为特巧 巧特为特666列 按按列按按按按列 按按列按列按列列形换形换形殊本换换本换换殊殊形殊本形本换换换本形形换殊形形 换本形殊本殊殊换殊形积积积积积积积积积公公公的的不不的别适别适 适别别表 ““表“n“““表 “n“表“表“表表元元类积元元积元元类类类积积元元元积元类元积类积类类元类,,,,,,,,,,,))))))))))分分分分分分分分分式式式原原一一原利利利利利利利利利 利利适用适用 用适适次次计 反反计反反反反计 反反计反计反计计积积型分积积分积积型型型分分积积积分积型积分型分型型积型的的的的的的的的的(((函函定定函用用用用用用用用用 用用用于用于 于用用多多111,,,,,,,,,,算 算算 算算算算分分的法分分法分分的的的法法分分分法分的分法的法的的分的666基基基基基基基基基对对对对对对对对对对数数是是数基基基基基基基基基 基基于形于形 形于于项项)))类类积类类类类积积积类类类类积类积积积类积,,,,,,,本本本本本本本本本~~~,,,,,,,,,,不 不 最 最 不简简简简简简简本本本本本本本本本本本为为 为式式幂幂幂幂幂幂幂幂幂幂(((型型分型型型型分分分型型型型分型分分分型分222方方方方方方方方方一一简简一便便便便便便便积积积积积积积积积 积积时时444,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,)))法法法法法法法法法指指指指指指指指指指定定便便定的的的如如计如如计如如计计如如如计如如计计如分分分分分分分分分 分分,, 是是的的是推推推掌掌算掌掌算掌掌算算掌掌掌算掌掌算算掌公公公公公公公公公 公公,,,,,,,,,, 三三三三三三三三三三初初方方初导导导握握握握握握握握握握握握式式式式式式式式式 式式.......””””””””””等等法法等方方方和和和和和和和和和 和和的的的的的的的的的的函函函,,法法法运运运运运运运运运 运运顺顺顺顺顺顺顺顺顺顺数数数算算算算算算算算算 算算序序序序序序序序序序法法法法法法法法法 法法,,, ,,,,,,,,,,则则则则则则则则则 则则
不定积分习题 (2)

不定积分习题 (2)

不定积分习题在微积分中，不定积分是求解函数的原函数的方法之一。

在这里，我们将通过一些习题来熟悉不定积分的求解过程。

1. 基础习题习题1求解以下不定积分：$$ \\int (2x^3 - 5x^2 + 3x - 7) dx $$解答：我们可以逐项积分，即对每一项按照幂函数积分的方法进行计算：$$ \\int (2x^3 - 5x^2 + 3x - 7) dx = \\frac{2}{4}x^4 -\\frac{5}{3}x^3 + \\frac{3}{2}x^2 - 7x + C $$其中，C是积分常数。

习题2求解以下不定积分：$$ \\int (3\\sin(x) + \\cos(x)) dx $$解答：由于 $\\sin(x)$ 的导函数是 $\\cos(x)$，$\\cos(x)$ 的导函数是 $-\\sin(x)$，我们可以利用这个性质求解该不定积分：$$ \\int (3\\sin(x) + \\cos(x)) dx = -3\\cos(x) + \\sin(x) + C $$其中，C是积分常数。

2. 进阶习题习题3求解以下不定积分：$$ \\int \\frac{1}{x\\ln(x)} dx $$解答：我们可以使用变量代换的方法来求解这个习题。

令 $u =\\ln(x)$，则 $du = \\frac{1}{x} dx$。

将C替换回原式中，得到：$$ \\int \\frac{1}{x\\ln(x)} dx = \\int \\frac{1}{u} du =\\ln|u| + C = \\ln|\\ln(x)| + C $$其中，C是积分常数。

习题4求解以下不定积分：$$ \\int e^x \\sin(x) dx $$解答：这是一个使用分部积分法的典型例子。

设C(C)=C C，$g'(x) = \\sin(x)$，则C′(C)=C C，$g(x) = -\\cos(x)$。