2016年浙江省浙大附中高考数学全真模拟试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．请将你认为正确的选项答在指定的位置上）1．设，B={x｜x＞a｝，若A⊆B，则实数a的取值范围是（）A．B．C．a≤1 D．a＜12．已知a，b∈R，下列四个条件中，使a＞b成立的必要而不充分的条件是（）A．a＞b﹣1 B．a＞b+1 C．｜a｜＞｜b| D．2a＞2b3．已知sinα+cosα=，α∈（0,π），则sin(α+）的值为（）A．B．C．D．4．已知数列{a n｝中满足a1=15，=2，则的最小值为（）A．10 B．2﹣1 C．9 D．5．若实数a,b，c满足log a2＜log b2＜log c2，则下列关系中不可能成立的是（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．a＜c＜b6．已知矩形ABCD,AB=1，BC=．将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中(）A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”,“AD与BC"均不垂直7．如图，F1，F2分别是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，经过右焦点F2的直线与双曲线C的右支交于P,Q两点，且｜PF2|=2|F2Q｜，PQ⊥F1Q,则双曲线C的离心率是（）A．B．C．D．8．已知从点P出发的三条射线PA，PB，PC两两成60°角，且分别与球O相切于A，B，C 三点．若球O的体积为36π，则O，P两点间的距离为（）A．3B．3C．3 D．6二、填空题（本题共7道小题，共36分；将答案直接答在答题卷上指定的位置）9．已知首项为1，公差不为0的等差数列{a n｝的第2，4，9项成等比数列，则这个等比数列的公比q=;等差数列{a n｝的通项公式a n=;设数列{a n}的前n项和为S n，则S n=．10．若实数x，y满足，则x，y所表示的区域的面积为,若x,y同时满足（t+1）x+（t+2）y+t=0，则实数t的取值范围为．11．已知某几何体的三视图如图所示（长度单位为：cm),则该几何体的体积为cm3，表面积为cm2．12．已知直线l的方程是x+y﹣6=0，A，B是直线l上的两点，且△OAB是正三角形（O为坐标原点），则△OAB外接圆的方程是．13．在平行四边形ABCD中，∠BAD=60°，AB=1，AD=，P为平行四边形内一点，且AP=，若（λ，μ∈R)，则λ+μ的最大值为．14．设a，b为正实数，则的最小值为．15．设函数f（x）=x2（0≤x≤1），记H（a，b）为函数f(x）图象上点到直线y=ax+b距离的最大值，则H（a，b）的最小值是．三、解答题:（本大题共74分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．16．在△ABC中，角A，B,C的对边分别为a，b，c,且．(1）求角A的值；（2）若∠B=，BC边上中线AM=，求△ABC的面积．17．如图，在底面为平行四边形的四棱锥P﹣ABCD中,AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA=AB，点E是PD的中点．(1)求证：PB∥平面AEC；（2）求二面角E﹣AC﹣B的大小．18．已知函数f（x）=+kx+b，其中k，b为实数且k≠0．（I）当k＞0时，根据定义证明f（x）在（﹣∞,﹣2）单调递增；（Ⅱ）求集合M k={b｜函数f（x)有三个不同的零点｝．19．已知A，B是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左,右顶点,B（2，0），过椭圆C的右焦点F的直线交于其于点M，N，交直线x=4于点P，且直线PA，PF，PB的斜率成等差数列．（Ⅰ）求椭圆C的方程;（Ⅱ)若记△AMB，△ANB的面积分别为S1，S2求的取值范围．20．已知数列{a n｝的前n项和S n满足S n=1﹣a n（n∈N*)．（Ⅰ）试求数列｛a n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=，求证：数列{c n}的前n项和P n＞2n﹣．2016年浙江省浙大附中高考数学全真模拟试卷（理科)参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．请将你认为正确的选项答在指定的位置上)1．设，B=｛x|x＞a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是(）A．B．C．a≤1 D．a＜1【考点】集合关系中的参数取值问题；集合的包含关系判断及应用．【分析】根据题意A集合中的元素是在区间（，5）内的整数,再利用A⊆B,求出a符合的条件即可．【解答】解：∵A=｛x｜＜x＜5，x∈Z｝，∴A={1，2，3，4｝∵A⊆B，∴a＜1故选D2．已知a，b∈R，下列四个条件中,使a＞b成立的必要而不充分的条件是(）A．a＞b﹣1 B．a＞b+1 C．|a｜＞｜b｜D．2a＞2b【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】欲求a＞b成立的必要而不充分的条件，即选择一个“a＞b”能推出的条件，但反之不能推出的条件，对选项逐一分析即可．【解答】解：“a＞b”能推出“a＞b﹣1”,故选项A是“a＞b"的必要条件,但“a＞b﹣1"不能推出“a ＞b”,不是充分条件，满足题意；“a＞b”不能推出“a＞b+1"，故选项B不是“a＞b”的必要条件，不满足题意；“a＞b”不能推出“｜a|＞｜b|"，故选项C不是“a＞b”的必要条件，不满足题意;“a＞b”能推出“2a＞2b”，且“2a＞2b"能推出“a＞b”，故是充要条件，不满足题意；故选A．3．已知sinα+cosα=，α∈(0，π），则sin（α+）的值为（）A．B．C．D．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】解法一：根据sinα+cosα=，求得sin(α+）=，可得cos（α+）=﹣．再根据sin（α+)=sin［（α+)﹣]，利用两角差的正弦公式计算求得结果．解法二：由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinα和cosα的值，再利用两角和差的三角公式求得cos、sin的值，从而求得sin（α+)的值．【解答】解：解法一：∵sinα+cosα=sin（α+）=，∴sin(α+）=,∵α∈（0,π），∴α+∈（，)，∴α+∈(，π）,∴cos（α+）=﹣=﹣．sin（α+)=sin［(α+）﹣］=sin（α+)cos﹣cos（α+）sin=+=，故选：A．解法二：∵sinα+cosα=，α∈（0，π）,∴1+2sinαcosα=，2sinαcosα=﹣，∴sinα＞0,cosα＜0，由（sinα﹣cosα）2=1﹣2sinαcosα=,可得sinα﹣cosα=．解得sinα=,cosα=．∵cos=cos（﹣)=cos cos+sin sin=，sin=sin（﹣）=sin cos﹣cos sin=,则sin（α+)=sinαcos+cosαsin=•+•=，故选：A．4．已知数列｛a n}中满足a1=15，=2，则的最小值为（）A．10 B．2﹣1 C．9 D．【考点】数列递推式．)=n2﹣n+15，【分析】由已知得a n+1﹣a n=2n，从而a n=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+(a n﹣a n﹣1进而=n+﹣1,由此能求出当且仅当n=，即n=4时，取最小值4+=．【解答】解：∵数列｛a n}中满足a1=15，=2，∴a n+1﹣a n=2n，∴a n=a1+（a2﹣a1)+（a3﹣a2）+…+（a n﹣a n）﹣1=15+2+4+6+8+…+2（n﹣1）=15+=n2﹣n+15，∴=n+﹣1≥2﹣1,∴当且仅当n=，即n=4时，取最小值4+=．故选：D．5．若实数a，b，c满足log a2＜log b2＜log c2，则下列关系中不可能成立的是()A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．a＜c＜b【考点】对数函数的单调性与特殊点．【分析】依题意，对a，b，c的大小关系分类讨论即可得到答案．【解答】解：∵a，b,c满足log a2＜log b2＜log c2，∴①若a，b，c均大于1，由log a2＜log b2＜log c2,知必有a＞b＞c＞1，故C有可能成立；②若a,b，c均大于0小于1，依题意，必有0＜c＜b＜a＜1，故C有可能成立;③若log c2＞0，而log a2＜log b2＜0,则必有0＜b＜a＜1＜c,故B有可能成立；④0＜log b2＜log c2，而log a2＜0，必有b＞c＞1＞a＞0，故D由可能成立；综上所述，A：a＜b＜c不可能成立．故选A．6．已知矩形ABCD,AB=1，BC=．将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中（）A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C．存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直D．对任意位置，三对直线“AC与BD"，“AB与CD”，“AD与BC"均不垂直【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】先根据翻折前后的变量和不变量，计算几何体中的相关边长，再分别筛选四个选项，若A成立,则需BD⊥EC，这与已知矛盾；若C成立，则A在底面BCD上的射影应位于线段BC上，可证明位于BC中点位置，故B成立;若C成立，则A在底面BCD上的射影应位于线段CD上，这是不可能的；D显然错误【解答】解:如图，AE⊥BD，CF⊥BD,依题意，AB=1，BC=，AE=CF=,BE=EF=FD=，A，若存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直，则∵BD⊥AE,∴BD⊥平面AEC，从而BD⊥EC,这与已知矛盾,排除A;B,若存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直，则CD⊥平面ABC，平面ABC⊥平面BCD取BC中点M，连接ME，则ME⊥BD，∴∠AEM就是二面角A﹣BD﹣C的平面角,此角显然存在,即当A在底面上的射影位于BC的中点时，直线AB与直线CD垂直，故B正确；C，若存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直，则BC⊥平面ACD，从而平面ACD⊥平面BCD,即A在底面BCD上的射影应位于线段CD上,这是不可能的，排除CD,由上所述，可排除D故选B7．如图，F1,F2分别是双曲线C:﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，经过右焦点F2的直线与双曲线C的右支交于P，Q两点，且|PF2｜=2｜F2Q｜，PQ⊥F1Q，则双曲线C的离心率是（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设|F2Q｜=m,根据双曲线的定义分别求出｜PF1｜=2m+2a，|QF1|=m+2a,根据直角三角形的性质建立方程关系求出m=a,然后再次利用直角三角形的关系建立a，c的方程关系进行求解即可．【解答】解：∵经过右焦点F2的直线与双曲线C的右支交于P,Q两点，且|PF2｜=2|F2Q｜，∴设｜F2Q|=m，则|PF2｜=2|F2Q｜=2m，｜PF1｜=｜PF2｜+2a=2m+2a，｜QF1|=｜QF2｜+2a=m+2a，∵PQ⊥F1Q，∴|PF1｜2=|PQ｜2+｜QF1｜2，即(2m+2a）2=（3m)2+(m+2a）2，整理得4m2+8ma+4a2=9m2+m2+8ma+4a2，即4am=6m2，则m=a，则|QF1|=a+2a=，|F2Q|=a,由｜F1F2|2=｜F1Q|2+|QF2|2，即4c2=（)2+（a）2=，即=，则e===，故选：D．8．已知从点P出发的三条射线PA，PB,PC两两成60°角，且分别与球O相切于A,B，C三点．若球O的体积为36π,则O，P两点间的距离为（）A．3B．3C．3 D．6【考点】球内接多面体．【分析】连接OP交平面ABC于O′，由题意可得:O′A==．由AO′⊥PO,OA⊥PA 可得，根据球的体积可得半径OA=3，进而求出答案．【解答】解:连接OP交平面ABC于O′，由题意可得：△ABC和△PAB为正三角形,∴O′A==．∵AO′⊥PO，OA⊥PA，∴,∴OP=OA•=OA ．又∵球的体积为36π，∴半径OA=3，则OP=．故选：B．二、填空题（本题共7道小题,共36分；将答案直接答在答题卷上指定的位置）9．已知首项为1，公差不为0的等差数列{a n｝的第2，4，9项成等比数列,则这个等比数列的公比q=；等差数列{a n}的通项公式a n=3n﹣2；设数列{a n}的前n项和为S n，则S n=．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】由等比数列和等差数列的性质得（1+3d）2=（1+d）（1+8d），从而求出d=3，由此能求出这个等比数列的公比q，等差数列{a n}的通项公式a n和数列{a n}的前n项和S n．【解答】解：∵首项为1，公差不为0的等差数列{a n}的第2，4,9项成等比数列，∴（1+3d）2=(1+d）（1+8d),解得d=0（舍）或d=3，∴这个等比数列的公比q===．等差数列｛a n｝的通项公式a n=1+(n﹣1）×3=3n﹣2．数列{a n}的前n项和S n=n×1+=．故答案为：，3n﹣2，．10．若实数x，y满足，则x，y所表示的区域的面积为，若x，y同时满足（t+1)x+(t+2）y+t=0,则实数t的取值范围为［﹣2,﹣]．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，求出三角形的交点坐标进行求解，求出（t+1）x+（t+2）y+t=0过定点,结合图象建立条件关系即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由，解得，即C（1，4），由，解得,即A（﹣2,3），由，解得,即B（0，2），令x=0．得y=，即D(0,），即AD=﹣2=则区域面积S=×2+×1=．由（t+1）x+（t+2)y+t=0得t（x+y+1)+x+2y=0，由，解得，即（t+1）x+（t+2）y+t=0过定点M（﹣2，1），则由图象知A，B两点在直线两侧和在直线上即可,即［2(t+2）+t］[﹣2（t+1）+3（t+2）+t]≤0，即（3t+4）（2t+4）≤0，解得﹣2≤t≤﹣，即实数t的取值范围为是[﹣2，﹣］,故答案为：；[﹣2,﹣]．11．已知某几何体的三视图如图所示（长度单位为:cm ）,则该几何体的体积为 16 cm 3,表面积为 34+6 cm 2．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是一侧面垂直于底面的四棱锥,结合图中数据求出它的体积与表面积．【解答】解：根据几何体的三视图,得；该几何体是如图所示的四棱锥P ﹣ABCD ，且侧面PCD ⊥底面ABCD;∴该四棱锥的体积为V 四棱锥=×6×2×4=16， 侧面积为S 侧面积=S △PAB +2S △PBC +S △PCD =•6+2••2+•6•4=6+22，S 底面积=6×2=12，∴S 表面积=S 侧面积+S 底面积=6+22+12=34+6．故答案为：16，34+6．12．已知直线l的方程是x+y﹣6=0，A，B是直线l上的两点，且△OAB是正三角形（O为坐标原点），则△OAB外接圆的方程是(x﹣2)2+（y﹣2)2=8．【考点】圆的标准方程．【分析】取AB中点D，连结OD，由已知得圆心在OD上，且半径为=2，由此能求出圆的方程．【解答】解：取AB中点D，连结OD，则D点坐标为（3，3），则OD=3，由已知得圆心在OD上，且半径为=2，∴圆心为(2,2)，∴圆的方程为（x﹣2)2+（y﹣2）2=8．故答案：(x﹣2)2+(y﹣2）2=8．13．在平行四边形ABCD中，∠BAD=60°,AB=1,AD=,P为平行四边形内一点，且AP=,若（λ，μ∈R),则λ+μ的最大值为1．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用数量积定义及其运算性质、不等式的性质即可得出．【解答】解：∵,∴，即，又AB=1，,∠BAD=60°,∴，∴=λ2+3μ2+，∴=≤,∴≤1，∴的最大值为1，当且仅当，取等号．故答案为：1．14．设a,b为正实数，则的最小值为2﹣2．【考点】基本不等式．【分析】把所给的式子直接通分相加，把分子整理出含有分母的形式，做到分子常数化，分子和分母同除以分母，把原式的分母变化成具有基本不等式的形式，求出最小值【解答】解：==1﹣=1﹣,∵a，b为正实数,∴≥2=2，当且仅当a=b时取等号，∴≥1﹣=1﹣（3﹣2）=2﹣2，故的最小值为：，故答案为：2﹣215．设函数f(x）=x2（0≤x≤1），记H(a，b)为函数f（x）图象上点到直线y=ax+b距离的最大值，则H（a，b)的最小值是．【考点】点到直线的距离公式．【分析】如图所示，我们研究平行直线系与函数f（x）=x2（0≤x≤1）图象的关系，其中函数图象完全在某相邻的两条平行直线l1与l2之间，图象上的个别点在直线上．设两条平行直线l1与l2之间的距离为d．我们发现只有l1经过点O（0,0），A(1，1），l2与图象相切于点P时，H（a，b)的最小值=d．求出即可得出．【解答】解：如图所示，我们研究平行直线系与函数f（x）=x2（0≤x≤1）图象的关系，其中函数图象完全在某相邻的两条平行直线l1与l2之间，图象上的个别点在直线上．设两条平行直线l1与l2之间的距离为d．我们发现只有l1经过点O（0，0)，A（1，1)，l2与图象相切于点P时，H(a,b）的最小值=d．设P，f′(x）=2x．∵k OA=1，∴2x0=1,解得x0=．∴P，直线OA的方程为：y=x．∴d==．∴H（a，b）的最小值=d=．故答案为：．三、解答题:(本大题共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)．16．在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b，c，且．（1）求角A的值;（2）若∠B=，BC边上中线AM=，求△ABC的面积．【考点】正弦定理．【分析】（1）利用正弦定理化边为角可求得cosA=,从而可得A；（2）易求角C，可知△ABC为等腰三角形，在△AMC中利用余弦定理可求b，再由三角形面积公式可求结果；【解答】解：（1）∵．∴由正弦定理，得,化简得cosA=，∴A=；（2)∵∠B=，∴C=π﹣A﹣B=，可知△ABC为等腰三角形，在△AMC中，由余弦定理，得AM2=AC2+MC2﹣2AC•MCcos120°,即7=,解得b=2，∴△ABC的面积S=b2sinC==．17．如图,在底面为平行四边形的四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA=AB，点E是PD的中点．（1）求证：PB∥平面AEC；(2）求二面角E﹣AC﹣B的大小．【考点】三垂线定理；直线与平面平行的判定．【分析】（1）欲证PB∥平面AEC,根据直线与平面平行的判定定理可知只需证PB与平面AEC内一直线平行即可,连BD交AC于点O，连EO,则EO是△PDB的中位线则EO∥PB,满足条件;(2）取AD的中点F，连EF,FO，根据定义可知∠EOF是二面角E﹣AC﹣D的平面角，在△EOF 中求出此角,而二面角E﹣AC﹣B与二面角E﹣AC﹣D互补．【解答】解:（1)由PA⊥平面ABCD可得PA⊥AC又AB⊥AC,所以AC⊥平面PAB，所以AC⊥PB连BD交AC于点O，连EO,则EO是△PDB的中位线，∴EO∥PB∴PB∥平面AEC（2)取AD的中点F，连EF，FO，则EF是△PAD的中位线，∴EF∥PA又PA⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD同理FO是△ADC的中位线，∴FO∥AB，FO⊥AC由三垂线定理可知∠EOF是二面角E﹣AC﹣D的平面角．又FO=AB=PA=EF∴∠EOF=45°而二面角E﹣AC﹣B与二面角E﹣AC﹣D互补，故所求二面角E﹣AC﹣B的大小为135°．18．已知函数f（x）=+kx+b，其中k，b为实数且k≠0．（I）当k＞0时,根据定义证明f（x)在（﹣∞，﹣2）单调递增；(Ⅱ）求集合M k={b|函数f（x)有三个不同的零点}．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】（I）化简当x∈（﹣∞，﹣2）时,，按定义法五步骤证明即可；(II)函数f（x)有三个不同零点可化为方程有三个不同的实根，从而化简可得方程与;再记u（x）=kx2+（b+2k）x+(2b+1），v（x）=kx2+（b+2k）x+（2b﹣1），从而转化为二次函数的零点的问题．【解答】解：（I）证明：当x∈（﹣∞，﹣2）时，．任取x1，x2∈（﹣∞,﹣2），设x2＞x1．=．由所设得x1﹣x2＜0，，又k＞0，∴f（x1）﹣f（x2)＜0，即f（x1）＜f（x2）．∴f（x）在（﹣∞，﹣2）单调递增．(II）函数f(x）有三个不同零点，即方程有三个不同的实根．方程化为：与．记u（x)=kx2+(b+2k）x+（2b+1），v（x）=kx2+（b+2k）x+（2b﹣1）．(1)当k＞0时,u（x），v（x）开口均向上．由v（﹣2）=﹣1＜0知v(x）在（﹣∞，﹣2)有唯一零点．为满足f（x）有三个零点，u（x)在（﹣2,+∞）应有两个不同零点．∴，∴b ＜2k﹣2．(2）当k＜0时，u（x），v（x）开口均向下．由u(﹣2)=1＞0知u（x)在(﹣2，+∞)有唯一零点．为满足f（x)有三个零点,v（x)在（﹣∞，﹣2）应有两个不同零点．∴∴b＜2k﹣2．综合（1）(2）可得M k=｛b|b＜2k﹣2}．19．已知A，B是椭圆C:+=1(a＞b＞0)的左，右顶点，B（2,0），过椭圆C的右焦点F的直线交于其于点M,N，交直线x=4于点P，且直线PA，PF，PB的斜率成等差数列．（Ⅰ）求椭圆C的方程；(Ⅱ）若记△AMB，△ANB的面积分别为S1，S2求的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）令P（4，y0），F（c,0），a=2，A（﹣2，0），B（2，0)．由2k PF=k PA+k PB，知，由此能得到椭圆C的方程．(Ⅱ）令M（x1,y1），N(x2，y2）,得（3m2+4）y2=6my﹣9=0y2+6my﹣9=0,再由韦达定理和三角形的面积公式进行求解．【解答】解：（Ⅰ）令P(4，y0），F（c,0），a=2，A（﹣2，0），B（2，0）．∵2k PF=k PA+k PB，∴，∴c=1,b2=3，∴,（Ⅱ）令M(x1，y1），N（x2，y2)，得（3m2+4)y2=6my﹣9=0y2+6my﹣9=0,，①，②①2/②得，令t=，则|t｜+|｜=|t+|=,∴，即．∵,∴．20．已知数列｛a n}的前n项和S n满足S n=1﹣a n（n∈N*）．（Ⅰ）试求数列｛a n}的通项公式;（Ⅱ）设c n=，求证：数列｛c n}的前n项和P n＞2n﹣．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】(I）利用递推关系、等比数列的通项公式即可得出；(II）由已知得：当n=1时,，结论成立,当n≥2时,,化简利用“放缩法”即可证明．【解答】（Ⅰ)解：∵S n=1﹣a n（n∈N＊），∴S n+1=1﹣a n+1，作差得:, 又当n=1时,，故．（Ⅱ）证明：由已知得：当n=1时，，结论成立，当n≥2时，==,结论也成立，综上知，对∀n∈N＊，都成立．2016年7月7日。
