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云 南 大 学 数学分析习作课（3）读书报告

题 目： 柯西收敛原理在数学分析中的应用

学 院： 数学与统计学院

专 业： 数学与应用数学

姓名、学号： 陶朝英 20091910100

任课教师： 黄辉 时 间： 2010-12-20 摘 要 1, 数列，级数，反常积分等的柯西收敛定理。 2，利用相应的定理判断函数或方程是否收敛。 3，利用相应的定理证明函数或方程的收敛性。 4，例题及推广。

关键词：柯西收敛原理 收敛性 一致收敛 绝对收敛 1

正文 一，基本定理 1， 数列nx有极限的充要条件是:对任意给定的0存在正整数N，当m,n>N时 有nmxx

2,设函数f(x),g(x)满足是在[a,b]连续，（a、b）可导，g'(x)≠0(x∈(a,b)) 则至少存在一点,ξ∈(a,b),使f'(ξ)/g'(ξ)=[f(a)-f(b)]/[g(a)-g(b)] 成立。

3，级数的柯西收敛原理：级数nn1a收敛的充要条件是：对任意的0， 存在正整数N，当n>N时，n+1n+pa...a，对一切正整数p成立。

4，收敛的充要条件是：对任意给定的0，存在A>0，当,,,,AAA时，总有,,'()AAfxdx

5，如果，，那么绝对收敛；又如果，而积分发散，那么积分发散。 如果，，那么绝对收敛；如果，，自某一值起就保持定号，那么积分发散。 6,若f(x)在x=a有奇点，收敛的充要条件是：对任意给定的0，存0在，当'0,时，总有

'()aafxdx



。

7，从一致收敛的概念和柯西收敛原理得到一致收敛的柯西充要条件： 函数列nsx在X上一致收敛的充要条件是：对任何给定的0，可得到正整数

N=N(),使n>N时，不等式对任P和X上的任意的x都成立。 2

8，柯西判别法的极限形式 如果 ， 则 （1） 当时，，那么积分绝对收敛； （2）当时，，那么积分发散 9，柯西判别法的否定形式

级数1nna

发散的充分必要条件是：

0k010,0,P,npknNnNa

及某自然数使得

10，柯西阿达马定理 幂级数00nnaxx在0xxR内发散

R是幂级数的收敛半径。 二，典型例题及推广 1， 设2sin1sin2sin...222nnnx，试证nx收敛。 证明 因为：

又：n+pn1110,,N>Np,nn

nxxx只要，即n>故令，则时，对>0,有

所以收敛获证。

12111111...2221111...222111212112npnnnnpnpnnxxn













 3

2， 推广应用，试证limsinnn不存在 证明：根据柯西准则，要证limsinnn不存在，既要证

000,0,,,sinsinNnmNnm使得，



0

0

23N>02,22243,2N+<<2N+,(2N+1)

则且

所以发散。 其他方法说明：1 利用极限定义证明； 2 用反证法证明。

3，铭记特殊级数的敛散性 21111nnnn

发散，收敛

例题级数收敛n0n00,n,nnnnnaaSaS

是前项和，级数试证发散

证明： n1k1nnk110,11,2111,22nnpknpnpnknnknknpnpnpnpnpknnnknSaSSSaSSSSSnpNASaaSS









因为a单调递增，所以又因为S故当充分大时，有从而所以发散。

4，推广到 正项级数 1）如果0na不趋于，当n时，并且相对1n来讲，它是 P阶的无穷小量，那么当p>1时，级数na收敛，当p<=1时，na发散 2）阿贝尔判别法，柯西根式判别法，可惜积分判别法等注意，柯西积分判别法要求数项级数是正项递减级数：若f(x)>0，在[1,+ )上单调递减，则1f()nn与反常积 4

分1()fxdx同时收敛同时发散。 5，利用柯西准则判断一致收敛 例题 0InxfxM设函数序列f在区间上有定义，且满足,



10n00,0,1,2,...ImnnnnnnnfxfxMmbbfx





试证：如果级数收敛，则级数必在区间上一致收敛

322

3

4/34/323

3

23

3

(2)(1)11dx3x-2x-2(2)(1)dx(2)(1)dxxxxxxxxxxx因为时，且绝对收敛,（）（）

则由比较判别法知，绝对收敛。

nk01>>N,()npnknbbPN

证明：因收敛，故>0,N0，当n时，

112121111121111211111111.........()npniikikknnpPnpknknnnpnpnppnpnnpnpnppnpnpkknpknnpkkkknbSbfxSfSSfSSfSffSffSfSffSffSfffffff



记S=，于是<，于是因为110npkkfM





001111...npnpnpnpffffffff 0011...2npnpfffffM



n+p

1k0.3,()IkkknkkbfxMpNbfx



所以

故在上一致收敛 推广应用柯西准则证明不一致收敛 5

6，讨论11...nppndxxaxa的收敛性 解，首先，被积函数关于11niipx是级无穷小 其次（不妨设为ijij时, ）

因为111lim,0(1,2,3,...,)...inipiiippxanxaccInxaxa

故积分1111(1,2,...,)...n

n

iipp

indxppinxaxa

仅当且时收敛。

7，讨论积分203(2)(1)dxxxx的收敛性 解x=0,1,2均为被积函数的奇点， 203(2)(1)dxxxx=1/213/223201/213/223

3(2)(1)dxxxx

（）

（1）对积分1/2203(2)(1)dxxxx 1/32/3220031limlim0(2)(1)(2)(1)xxxxxxxxx

因

则有积分判别法的极限形式，得积分1/2203(2)(1)dxxxx绝对收敛。 （2）对积分121/23(2)(1)dxxxx，3/2213(2)(1)dxxxx，223/2

3(2)(1)dxxxx



322

3(2)(1)dxxxx

，同此证法，都绝对收敛。

4/34/323

3

23

3

11dx3x-2x-2(2)(1)dx(2)(1)xxxxxxx因为时，且绝对收敛,

（）（）

则由比较判别法知，绝对收敛。

总上可知：203(2)(1)dxxxx绝对收敛。

推广常用的一致收敛判别法：柯西判别法，M判别法，阿贝尔判别法， Dirichlet判别法，莱布尼茨判别法等