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数学分析习作课(2)读书报告——张伟

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云南大学数学分析习作课（2）读书报告题目：两类曲线积分性质及曲面积分性质及应用学院：物理科学技术学院专业：数理基础科学专业姓名、学号：张伟 20101050105任课教师：何青海时间：2011年6月30日（星期四）摘要：一． 曲线积分：1．第一类曲线积分的性质与应用； 2．第二类曲线积分的性质与应用； 3．两类曲线积分的对比。

二．曲面积分：1.第一类曲面积分的性质与应用；2.第二类曲面积分的性质与应用；3.两类曲面积分的对比。

关键词：曲线积分，曲面积分，概念，性质，计算，运用。

内容：一．曲线积分：（一）第一类曲线积分：1.第一类曲线积分概念： （1） 模块分解法：设几何形体Ω是一可求长的空间曲线段l ，在这个几何形体Ω上定义了一个函数()M f ，Ω∈M .将此几何形体Ω分为若干可以度量的小块1∆Ω，2∆Ω，…n ∆Ω，把他们的度量大小仍记为()n i i ,,2,1 =∆Ω.并令ma x 1ni d ≤≤={i ∆Ω的直径}，在每一块i ∆Ω中任意取一点i M ，作下列和式（也称为黎曼和数，或积分和数）()∑=∆ΩM ni i i f 1，如果这个和式不论对于Ω怎样划分以及i M 在i ∆Ω上如何选取，只要当0→d 时恒有同一极限I,则称此极限为()M f 在几何形体Ω上的黎曼积分，记为：()ΩM =I ⎰Ωd f ，也就是()()i ni i d f d f ∆ΩM =ΩM ∑⎰=→Ω1lim .这个极限是与Ω的分法及i M 取法无关的.点列描述法：（2） 点列分解法：设L 为xOy 面内的一条有向光滑曲线弧，函数),(y x f 在L 上有界．在Ｌ上任意插入一点列121,,,-n M M M 把Ｌ分成n 个小弧段.设第i 个小弧段的长度为i s ∆.又),(i i ηξ为第i 个小弧段上任意取定的点．作乘积),,2,1(),(n i s f i i i =∆ηξ,并作和∑=∆ni i i i s f 1),(ηξ,如果当各小弧段长度的最大值0→λ时，这和的极限总存在，则称此极限为),(y x f 函数在曲线弧Ｌ上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分，记作⎰Lds y x f ),(,即∑⎰=→∆=ni i i i Ls f ds y x f 1),(lim ),(ηξλ．（3）""δε-说法表达为：如果对任意0>ε及一定数I ，总存在一个数0>δ，对于任意Ω的分法，只要δ<d 时，不管点i M 在i ∆Ω上如何选取，恒有()ε<I -∆ΩM ∑=ni iif 1，则称I 为()M f 在Ω上的黎曼积分，记为：()ΩM =I ⎰Ωd f .这时，我们也称()M f 在Ω上可积.2，第一类曲线积分的性质（公式推导）：（1）若()()k i d s y x f Li ,,2,1, =⎰存在，()k i c i ,,2,1 =为常数，则()⎰∑=Lki ii dsy x f c 1,也存在，且()()∑⎰⎰∑===ki LiiLk i ii ds y x f c ds y x f c 11,,（2）若曲线段L 由曲线1L ，2L ，…，k L 首尾相接而成，且()()⎰=iL k i ds y x f ,,2,1, 都存在，则()⎰Lds y x f ,也存在，且()()∑⎰⎰==ki L Lids y x f ds y x f 1,,(3)若()⎰L ds y x f ,与()⎰Lds y x g ,都存在，且在L 上()()y x g y x f ,,≤，则()()⎰⎰≤LLds y x g ds y x f ,,(4) 若()⎰L ds y x f ,存在，则()⎰L ds y x f ,也存在，且()()ds y x f ds y x f LL ⎰⎰≤,, (5) 若()⎰Lds y x f ,存在，L 的弧长为s ，则存在常数c ，使得()cs ds y x f L=⎰,，其中()()y x f c y x f LL,sup ,inf ≤≤3,第一类曲线积分的计算： （1） 对参数方程：若曲线C （A,B ）：()(),,,βαψϕ≤≤==t t y t x 是光滑的，即()()t t //,ψϕ在[]βα, 连续，且不同时为0，函数()y x f ,在C 连续，则函数()y x f ,在C （A,B ）存在第一类曲线积分，且()()()()[]()()dt t t t t f ds y x f B A C 2/2/,,,ψϕψϕβα+=⎰⎰（2）对坐标方程：曲线C （A,B ）是由方程y=y(x)给出，且()x y /在[]b a ,连续时，上式表示为：()()()[]()dx x y x y x f ds y x f baB AC 2/,1,,+=⎰⎰4,第一类曲线积分的应用：(1) 计算,ds y L⎰其中L 是抛物线2x y =上点)0,0(O 与点()1,1B 之间的一段弧.解：由于L 由方程)10(2≤≤=x x y 给出，因此ds y L⎰=⎰'+1222)(1dx x x=⎰+10241dx x x=10232)41(121⎥⎦⎤⎢⎣⎡+x =)155(121- (2)求 ds y x I C⎰+=22，其中C 是圆周0,22>=+a ax y x解：令dxxax a dx y ds xax x a y x ax y C x ax y C 22/2/222121,22,:,:-=+=--±=--=-=由公式则：ds y x ds y x ds y x I C C C⎰⎰⎰+++=+=21222222()()dx xax a x ax x dx xax a x ax x aa 22222222--++--+=⎰⎰2022222a a a a xa dx a a dx x ax ax a a a==-=-=⎰⎰(3) 计算曲线积分⎰Γ++ds z y x )(222, 其中Γ为螺旋线kt z t a y t a x ===,sin ,cos 上相应于t 从0到π2的一段弧. 解：⎰Γ++ds z y x)(222[])43(323)()c o s ()s i n ()()s i n ()c o s (222222032222202222222220222k a k a t k t a k a dtk a t k a dtk t a t a kt t a t a πππππ++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=++=++-⋅++=⎰⎰(4) 物理计算：计算半径为R , 中心角为α2的圆弧L 关于它的对称轴的转动惯量I (设线密度1=ρ).解：取以x 轴为对称轴，则I =⎰Lds y 2利用L 的参数方程)(sin ,cos αθαθθ≤≤-==R y R x于是)cos sin (22sin 2sin )cos ()sin (sin 332322222αααθθθθθθθθαααααα-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==+-==---⎰⎰⎰R R d R d R R R ds y I L（一） 第二类曲线积分：1.第二类曲线积分的概念：设L 为一条有向光滑或逐段光滑曲线，其方向由A 到B ，且设F （x,y,z ）是定义在L 上的向量函数，表示式为()()()()k z y x R j z y x Q i z y x P z y x F ,,,,,,,,++=，又设P,Q,R 都是有界函数.将L自A 到B 分为n 个有向小弧段()n i s i ,,2,1 =∆→，每个小弧段i s ∆ 的起点为i A ，终点为1+i A ，有向弧段→∆i s 的大小为i s ∆，方向与→+1i i A A 的方向一致，→∆i s 的表示式为k z j y i x s i i i i ∆+∆+∆=∆→，在每一段内任取一点()i i i ζηξ,,，作和式（即黎曼和）()()()()∑∑=→=∆+∆+∆=∆∙ni i i i i i i i i iiiiini iiiz R y Q xP s F 11),,,,,,(,,ζηξζηξζηξζηξ，当{}i ni s d ∆=≤≤m ax 1，令0→d ，如果极限()→=→∆∙=I ∑i ni i i i d s F 1,,lim ζηξ存在，并且I与L 的划分以及与()i i i ζηξ,,的选取无关，则称此极限为F （x,y,z ）在L 上的第二类曲线积分，记为()()()()dz z y x R dy z y x Q dx z y x P ds z y x F LL,,,,,,,,++=∙=I ⎰⎰.其中L 的方向是从A 到B ，dzk dyj dxi ds ++=,dx,dy,dz 理解为ds 在x 轴，y 轴，z 轴上的投影，是带有符号的.2.第二类曲线积分的性质（积分与方向有关）：（1）j y x Q i y x P y x A),(),(),(+= ⎰⎰+=⋅LLds Q P ds t A )cos cos (βα（2）⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(⎰⎰+=LLdy y x Q dx y x P ),(),(（3）⎰⎰-+-=+LLQdy Pdx Qdy Pdx ，其中-L 表示有向弧段L 的反方向弧段（4）⎰⎰+=+LLQdy Pdx k Qdy kPdx ，k 为任意常数（5） 若()k i dy Q dx P L i i ,,2,1, =+⎰存在，则⎰∑∑⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛==Li i k i k i i i dy Q c dx P c 11存在，且：()∑⎰⎰∑∑===+=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛ki Liii L i i k i k i i i dy Q dx P c dy Q c dx P c 111，其中()k i c i,,2,1 =为常数（6） 若有向曲线L 是有向曲线k L L L ,,,21 首尾相接而成，则()k i Qdy Pdx iL ,,2,1 =+⎰存在，且：⎰⎰∑+=+=LL ki iQdy Pdx Qdy Pdx 13.第二类曲线积分的计算：（1） 对参数方程： 设光滑曲线L:x=x(t),y=y(t),z=(t) 且t 从α到β变化时L从点A到点B变化，设向量函数()()()()k z y x R j z y x Q i z y x P z y x F ,,,,,,,,++=，则()()()()⎰⎰++=ABABdz z y x R dy z y x Q dx z y x P ds z y x F ,,,,,,,,=()()()[]()()()()[]()()()()[](){}dt t z t z t y t x R t y t z t y t x Q t x t z t y t x P ⎰++βα///,,,,,, （2） 对坐标方程：设光滑曲线L:y=y(x),z=z(x) 且x 从a 到b 变化时L 从点A 到点B 变化，则:()()()⎰++ABdz z y x R dy z y x Q dx z y x P ,,,,,,=()()()()()()()()()()(){}dx x z x z x y x R x y x z x y x Q x z x y x P b a⎰++//,,,,,, 4.第二类曲线积分的应用：（1）若对任意的x ，y 有yPx Q ∂∂≡∂∂，设C 是有向闭曲线，则⎰+C y Q x P d d = ．解：由格林公式将y x yPx Q y y x Q x y x P DCd d )(d ),(d ),(∂∂-∂∂=+⎰⎰⎰其中D 为C l 围成的平面区域，及条件yPx Q ∂∂≡∂∂知，应该填写：0 （2）_______d d =+-⎰y x x y l，其中l 是延圆周1)1()1(22=-+-y x 正向一周．解：因为圆周1)1()1(22=-+-y x 所围圆面积D 为：π⋅21，由格林公式得：⎰⎰⎰+=+-Dly x y x x y d d )11(d d =π2，应该填写：π2（3）（物理中的计算）弹性力的方向向着坐标原点，力的大小与质点距坐标原点的距离成比例，设此点反时针方向描绘出椭圆12222=+by a x 的正四分之一，球弹性力所做的功。

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2019年数学分析报告总结.doc

2019年数学分析报告总结.doc

总结报告数统学院2011212193 张艳这是数学分析的最后一学期，我们学习了十六章到十九章的内容，十六章讲的是多元函数的极限与连续，在这章学习中 1.明确认识多元函数与一元函数的相同和不同之处，进而掌握多元函数研究问题的手法与特点；2.明确研究多元函数的目的及多元函数的用途。

本章的重点是平面点集的有关概念与二元函数的连续性；难点是二元函数极限的讨论。

首先我们要知道其中含有的一些基本知识第一节须了解平面点集,领域,点集E的内点,外点,边界点,聚点,开集,闭集,连通集,区域,闭区域,有界集,无界集等概念，多元函数的概念，二元函数的定义、记法、图象，点列的极限的定义。

十六章第一节主要内容需熟悉中的四个完备性定理：Cauchy收敛准则，闭集套定理，聚点原理，有限复盖定理，二元函数的定义域和求值；第二节必须了解累次极限和重极限，并且知道二者的关系，掌握重极限的常用性质（局部保号性，局部有界性，四则运算性，夹逼性）。

第三节是体会二元函数连续的含义，了解二元初等函数的含义以及二元初等函数的连续性；熟练掌握连续函数的局部性质（局部保号性，局部有界性，四则运算性，复合函数的连续性），有界闭集上连续函数的整体性质（有界性和最值性，一致连续性），连通集上连续函数的介值性。

十七章讲的是多元函数微分学，在这章学习中 1.理解多元函数微分学的概念，特别应掌握偏导数、全微分、连续及偏导存在、偏导连续等之间的关系；2.掌握多元函数特别是二元函数可微性及其应用。

本章的重点是全微分的概念、偏导数的计算以及应用；难点是复合函数偏导数的计算及二元函数的泰勒公式。

第一节中了解可微性与全微分，偏导数，知道可微的条件；连续、偏导数存在及可微之间的关系；掌握多元函数微分中值公式; 可微性的几何意义与应用。

第二节复合函数微分法，要学会求复合函数的偏导数或导数，运用链式发则。

第三节方向导数和梯度，知道其的定义，主要是学会方向导数和梯度。

第四节Taylor公式和极值问题，了解高级偏导数的定义并且要学会求，中值定理和泰勒公式的灵活运用，最后就是极值问题，掌握求函数最值的方法。

数学分析读书心得

数学分析读书心得

数学分析读书心得王俊艳 2011212106摘要：通过这几个月对数学分析这门课程的学习，对这门课程有一定认识的同时，在学习的过程中遇到了各式各样的难题与困惑，因此，特对在学习中的遇到困难与将来如何更好的努力，不断提高学习这门课的能力进行了总结，希望在以后的时间里可以有所进步。

关键词：数学分析读书心得极限总结进步尚在高中时，就不断听到有人告诉我说：好好学习吧，等到上大学时就轻松了。

然而悲剧的是，当我们进入大学时，才发现在大学里我们仍需要好好学习，甚至说即使在课堂上好好听了，有时也不一定听得懂。

就拿数学分析来说，不同于高中的思维方式，它着重培养我们的逻辑思维能力，不单单是机械的使用公式，而是让我们理解并掌握这些公式成立的原因。

这对于刚开始接触这门新课程的我们来讲，很难，对我来说，那些公式的证明是难上加难。

说起来，接触数分已经好几个月了，回过头来看，刚开始，第一章中上下确界很难懂，不过，当这一章实数集与函数学完后，觉得也不是那么难了。

那么，就现在来说，我人仍然觉得很难的是极限，尤其是关于极限的证明。

极限涉及两个章节，数列极限和函数极限，暂且不说在这两个章节中定义与性质非常多，难以记忆，即便勉强记忆，又很难熟练掌握，题的形式变化多样，不易观察出使用哪种方法来得出结果，再加上自从进入大学后，资料相对较少，没有高中的练习习题多，因此做题相对较少，没有从做题中总结出解这类题的一般规律，光学不练等于没学。

普通的计算还好，一旦遇上证明题，思路很狭窄，不能很灵活的运用自己所学的知识点，思考过程比较混乱，还有就是在课堂上没有听懂的地方，在课下没有主动地去解决，在证明的过程中每一步骤为什么要这样写没有弄得的很明白。

总之，我认为极限很难。

但是，作为一个数应并且师范专业的学生，学好自己主专业是最基本的要求，更何况，四年过后，我就会站上讲台，担负起培养下一代的重任，因此在这四年期间，培养成为老师的素养固然重要，同时，优异的学习成绩也必不可少，因此，及时再难学，我认为我们也不应该放弃，我们应该慢慢的解决每一个困惑，逐渐的进步。

数学分析习作课心得体会

数学分析习作课心得体会

“数学分析习作课”心得２０１５１９１０１５８统计学翟云“数学分析习作课”这门课使我们能够更好的学习《数学分析》。

《数学分析》课程量比较大，学习时间比较紧迫，平时的课堂学习不能将知识点详细的讲解给我们，如果详细讲解的话便会花费太多时间，所以在数学分析习作课上我们就能通过老师以及助教的讲解充分的理解知识点，并在课堂上的习题讲解中得到运用。

首先得到的知识讲解是在“极限与连续”这一章节中，变量与函数在初高中我们就已经大量的学习并基本掌握了，而“极限与连续”这两个知识点高中只是略微提及，而未曾深入讲解，在学习“极限与连续”的这一章节时，个人对于极限的定义难以理解，书上的定义描述根本无法理解：设为一无穷实数数列的集合。

如果存在实数a，对于任意正数（不论它多么小），总存在正整数N，使得当n>N时，均有不等式成立，那么就称常数a是数列的极限，或称数列收敛于a。

记作或。

但是上了数学分析习作课后，对于极限有了充分的认识，并且终于理解了“ε”这个符号所代表的意义，原先一直片面的认为是一个固定值，通过数学分析习作课现在能够比较熟练的解决极限定义问题了。

其次，《数学分析》这门课程中的柯西中值定理：设函数满足⑴在闭区间上连续；⑵在开区间内可导；⑶对任意，，那么在内至少有一点，使得。

是一个重点并经常使用的定理，在运算方面我们容易忽略它的应用，通过习作课上的讲解与例题的实际运用，我们能够解决很多看似很难的题目。

柯西中值定理之后的泰勒公式、拉格朗日余项和佩亚诺余项：其中，表示的n阶导数，多项式称为函数在a处的泰勒展开式，剩余的是泰勒公式的余项，是的高阶无穷小。

泰勒公式的余项可以写成：拉格朗日（Lagrange）余项：R n(x)=f n+1(ξ)n+1!x n+1，（其中ξ在0和x之间）佩亚诺(Peano）余项：。

都是《数学分析》的难点，在对公式进行泰勒展开时容易弄错，尤其当具体表示出拉格朗日余项和佩亚诺余项时，最容易弄错，通过数学分析习作课的老师的讲解和对多到题的实际解决，是我们大体上能够熟练掌握和运用泰勒公式。

数学分析习作读书报告格式(1)

数学分析习作读书报告格式(1)

云南大学数学分析习作课（3）读书报告题目：傅里叶变换的应用学院：数学与统计学院专业：信息与计算科学姓名、学号：朱凌霄 20141150059 任课教师：黄辉时间： 2015年12月 8日摘要数学与应用数学（Mathematics and Applied Mathematics）是一个学科专业，该专业培养掌握数学科学的基本理论与基本方法，具备运用数学知识、使用计算机解决实际问题的能力，受到科学研究的初步训练，能在科技、教育和经济部门从事研究、教学工作或在生产经营及管理部门从事实际应用、开发研究和管理工作的高级专门人才。

数学是一门和实际生产生活结合很密切的学科，正是人类生产力的不断发展促使了数学的发展。

利用傅里叶级数以及傅里叶变换在日常生活工作领域中启到了重要的作用，如在物理学，信号处理，声学，光学，海洋学等领域应用广泛。

因此，掌握傅里叶变换及其应用尤为重要。

因此研究傅里叶变换及其应用更具有现实意义。

此论文主要内容就是用傅里叶变换以及应用进行归纳。

关键词：傅里叶级数傅里叶变换正文部分一、傅里叶变换的定义)(x f 在（-∞，+∞）内绝对可积，则称⎰+∞∞--dx e x f iwx )(是)(x f 的傅里叶变换，记作)(f F 或)(w f ∧.即dx x f f f F exi ωω-+∞∞-∧⎰==)()()(二、傅里叶变换的性质)1(），（是∞+∞∈∧-)(ωωf 内的连续函数；)2(()0lim =∧∞→ωωf 三、傅里叶变换的物理意义对于任何的周期函数()x f ，作周期为T 的函数()x f T：当2Tx <时，()()x f x f T=，然后把它延拓为整个实轴上周期为T 的函数，延拓后的函数记作()x f T，则有()()x f x f TT =+∞→lim将其展开为复数形式的傅里叶级数()e c f ix x n n n T ω∑+∞-∞==21其中()dxi x T e f c xT n nω⎰-=222ππ即 ()()e ef f xi n xi TT n n dx x T x ωω∑⎰+∞-∞=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=22-1ππ则上式中令T ∞→，所得的就是()x f 的展开式，即()x f =()e e f xi n x i T T nndx x T ωω∑⎰+∞-∞=-∞→⎥⎦⎤⎢⎣⎡22-1limππ记Tn n πωωω21=-=∆-，则ωπ∆=2T ，∞→T 即0→∆ω，则上式可以变换为()()ωωωω∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∑⎰+∞-∞=-→∆e e f xi n x i T nndx x Tx f 22-021limππ现在，从上式的形式来考察,在ω∆∞→的条件下，将积分的是上极限和下极限变成∞+∞-和，()()x f x f T 变成，同时，离散的分布{}n ω也就密布在整个ω上，变成连续的分布}{ω，因此上述积分在∞→T 时成为()ωf ∧()dxx f e x⎰+∞∞--=ω另一方面，展开式中和式内的每一项都趋于零，而和式又是无限累加，因此可以把这一和式看成积分，即可以得到 ()()ωπωωω∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∑⎰+∞-∞=--→∆x i n T T x i T n n e dx e x f x f 22021lim=()ωωπωd e f x i ⎰∞+∞-∧21，其中()()dx e x f f x i ⎰+∞∞-∧=ωω即是f 的傅里叶变换，并称 ()()ωωπωd e f x f x i ⎰+∞∞-∧=21是()ω∧f 的傅里叶逆变换，又称()()ωπωωd e dx e x f x f x i x i ⎰⎰+∞∞--+∞∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=21 是傅里叶积分公式，把它和傅里叶级数作比较，就会看出，一个非周期函数可以分解为许多简单谐波xi eω的叠加积分，而傅里叶变换()()dx e x f f x i ωω-+∞∞-∧⎰=表示在()x f 中频率为x i e ωω的谐波所占有的成分。