ArcGIS教程：半变异函数与协方差函数

（在搜寻邻域内为常数， 不同邻域可以有差别）
可得到关系式:
n
i 1
i 1
Z*(x0)
（2）估计方差最小
2 k
EZ*x0Zx0EZ*x0Zx02
EZ*x0Zx02
min
应用拉格朗日乘数法求条件极值
j E Z * x 0 Z x 0 2 2 i n 1j 0 , j 1 , ,n
2.
分析图层及属性设置
参 数 设 置
插值 方式
3.参数设置
误差 统计
图例调整
输入级 别间距
选择分 级数目
选择手工 输入方式
最后点 OK
空间数据的插值分析-以克里
金插值法为例
2014级硕士胡碧峰
空间插值
空间插值常用于将离散点的测量数据转换为连续 的数据曲面，它包括内插和外推两种算法。前者是 通过已知点的数据计算同一区域内其他未知点的数 据，后者则是通过已知区域的数据，求未知区域的 数据。
主要的内插方法有：
反距离加权（Inverse Distance Weighted） 全局多项式（Global Polynomial Interpolation） 全局多项式（Local Polynomial Interpolation） 径向基函数（Radial Basis Funtions） 克里格内插（ Kriging ）
4、半变异函数/协方差函数。 该图可以反应数据的空间相关
程度，只有数据空间相关，才有必要进行空间插值法。图表的横 坐标表示任两点的空间距离，纵标表示该两点的半变异函数值。 根据距离越近越相似的原理，因而x值越小，y值应该越小。
在ArcGIS中进行常规克里格插值 的基本操作流程
调入“地统计分析“工具

半方差函数半方差函数（semivariance function）是地理空间统计学中常用的一种工具，用于描述空间数据的离散程度。

它可以帮助我们分析和理解空间数据的变异性。

1. 什么是半方差函数半方差函数是一种衡量空间数据变异性的函数。

它是指在一定距离内的所有样本点之间的差异的平均值。

具体地说，对于给定的距离 h，半方差函数计算所有样本点对之间的差异的平均值，并除以2。

这就是为什么它被称为“半方差”函数的原因。

半方差函数可以用公式表示如下：$$ \\gamma(h) = \\frac{1}{2n(h)} \\sum_{i=1}^{n(h)} (z(x_i) - z(x_i + h))^2 $$其中，$\\gamma(h)$ 表示半方差函数，n(n)表示距离为h 的样本点对的个数，n(n n)表示在位置n n处的样本值，n(n n+n)表示在位置n n处距离为 h 的样本值。

半方差函数的值越大，表示样本点之间的差异越大，即空间数据的变异性越强。

2. 半方差函数的应用半方差函数在地理空间统计学中有广泛的应用。

它可以帮助我们分析和理解空间数据的变异性，从而更好地进行地理空间分析和模型建立。

2.1 描述空间数据的变异性半方差函数可以帮助我们描述空间数据的变异性。

通过计算不同距离上的半方差值，我们可以了解不同距离上的样本点之间的差异大小。

这有助于我们理解空间数据的空间分布特征，并可以为后续的空间插值和预测提供基础。

2.2 空间插值和预测半方差函数在空间插值和预测中起着重要的作用。

通过分析半方差函数的形状和变化趋势，我们可以选择合适的空间插值方法和模型，以获得更准确的预测结果。

比如，当半方差函数在一定距离范围内保持稳定时，可以采用普通克里金插值方法；当半方差函数在一定距离范围内呈现出可区分的趋势时，可以采用泛克里金插值方法。

2.3 空间优化和数据采样半方差函数还可以用于空间优化和数据采样。

通过分析半方差函数，我们可以选择合适的数据采样密度，以获得更好的空间数据表示。

为相应的观测值。区域化变量在 x0 处的值 z* x0
可采用一个线性组合来估计：
n
z*x0 i zxi i 1
无偏性和估计方差最小被作为 选取的标准 i
无偏 E Zx0 Z * x0 0 最优 Var Zx0 Z * x0 min
2、直方图：直方图显示数据的概率分布特征以及概括 性的统计指标。从图中可观察分析数据是否为正态分布。克
里格方法对正态数据的预测精度最高，而且有些空间分析方法特 别要求数据为正态分布。
3、正态QQ Plot图： 检查数据的正态分布情况。作图原理是用分位图
思想。直线表示正态分布，从图中可以看出数据很接 近正态分布
j
E
Z *x0 Zx0 2
2
n

j


0,
i1
j 1, , n
Z*(x0)
1、数据检查，即空间数据探索分析。此功能主要通过 Explore Data菜单中实现。扩展模块提供了多种分析工具， 这些工具主要是通过生成各种视图，进行交互性分析。 如直方图、QQ plot图、半变异函数/协方差图等。
（3）趋势分析图。 蓝线表示南北方向，呈近似水平，可见南北方向无
趋势。绿线表示东西方向，呈倒"U"形，可用二阶曲线 拟合，在后面进行表面预测时将会去除。
4、半变异函数/协方差函数。 该图可以反应数据的空间相关
程度，只有数据空间相关，才有必要进行空间插值法。图表的横 坐标表示任两点的空间距离，纵标表示该两点的半变异函数值。 根据距离越近越相似的原理，因而x值越小，y值应该越小。
克里金插值
克里金方法（Kriging）, 是以南非矿 业工程师D.G.Krige (克里格)名字命名的一 项实用空间估计技术，是地质统计学 的重 要组成部分，也是地质统计学的核心。

ArcGIS地统计分析模块提供三个功能模块，探索性数据分析、地统计分析向导、以及生成数据子集。

利用这些基本功能模块，可以方便的完成多种地统计分析，创建完善的专题地图，其中探索性数据分析模块能帮助我们确定统计数据属性，探测数据分布、全局和局部异常值(过大值或过小值)、寻求全局的变化趋势。

1、首先了解一下直方图，直方图指对采样数据按一定的分级方案(等间隔分级、标准差分，等等)进行分级，统计采样点落入各个级别中的个数或占总采样数的百分比，并通过条带图或柱状图表现出来。

直方图可以直观的反映采样数据分布特征、总体规律，可以用来检验数据分布和寻找数据离群值。

该地区GDP数据分布具有明显的对数分布，符合正态分布的特征。

但在最右侧有一个明显的值段内没有数据。

2、普通QQPlot(General QQPlot)分布图用来评估两个数据集的分布的相似性。

普通QQPlot图揭示了两个物体(变量)之间的相关关系，如果在QQPlot图中曲线呈直线，说明两物体呈一种线性关系，可以用一个一元一次方程式来拟合。

如果QQPlot图中曲线呈抛物线，说明两物体的关系可以用一个二元多项式来拟合。

3、半变异函数云表示的是数据集中所有样点对的理论半变异值和协方差，并把它们用两点间距离的函数来表示，用此函数作图来表示。

半变异函数是事物空间相关系数的表现，当两事物彼此距离较小时，它们是相似的，半变异值较小;反之，半变异值较大。

图中横坐标为样点对之间的距离，纵坐标表示半变异的函数值，图中所示的曲线为理想状态下半变异函数曲线图，而往往数据的函数图不能呈现如此状态，通过图中异常样对点，我们可以对数据的异常点进行判断在地统计分析中，生成数据曲面的插值方法是建立在平稳假设的基础上，这种假设在一定程度上要求所有数据值具有相同的变异性。

另外，一些插值法(比如说：克里格插值)都假设数据服从正态分布。

如果数据不服从正态分布，需要进行一定的数据变换，从而使其服从正态分布。