北京化工大学第二学期研究生课程：固体物理 (2)
样 题
一、简答题
1. 请导出一维双原子链的色散关系，并讨论在长波极限时光学波和声学波原子的振动特点。
运动方程： md 2x 2n+1/dt 2=k s (x 2n+2-2x 2n+1+x 2n )
Md 2x 2n+2/dt 2=k s (x 2n+3+x 2n+1-2x 2n+2) 方程的解是以角频率为ω的简谐振动： x 2n+1=Ae i{ωt-q(2n+1)a} x 2n =Be i{ωt-q2na} x 2n+2=Be i{ωt-q(2n+2)a} x 2n+3=Ae i{ωt-q(2n+3)a} 由牛顿方程与简谐振动方程得：
-m ω2A=k s (e iqa +e -iqa )B-2k s A -M ω2B=k s (e iqa +e -iqa )A-2k s A 上式可改写为：(2k s -m ω2)A-(2k s cosqa)B=0
-(2k s cosqa)A+(2k s -M ω2)B=0
a
2a
°
°
°
•
• •
m M
双原子（ M >m ）一维晶格
若A、B有异于零的解，则其行列式必须等于零，
即有解条件2k s-mω2-2k s cosqa
-2k s cosqa 2k s-Mω2
行列式为0
得：ω2={(m+M)±[m2+M2+2mMcos(2qa)]1/2}k s/mM
说明：频率与波矢之间存在着两种不同的色散关系，即对一维复式格子，可以存在两种独立的格波（对于一维简单晶格，只能存在一种格波）。两种不同的格波各有自己的色散关系：
ω12={(m+M)-[m2+M2+2mMcos(2qa)]1/2}k s/mM
ω22={(m+M)+[m2+M2+2mMcos(2qa)]1/2}k s/mM
声学波与光学波的比较
相邻原子的振动方向振动的
频率
长波极限
振动
质点
振动质点
的质量
同号
双原
子
异号
双原
子
声学波相同慢原胞重连续介
质的弹
性波
光学波相反快异号
原子
相对
振动
轻
产生
电偶
极矩，
发射
电磁
波
2. 长光学支格波与长声学支格波本质上有何差别? 另外，你认为简单晶格存在强烈的红外吸收吗？
《1》长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子作相对振动，振动频率较高，它包含了晶格振动频率较高的振动模式。
长声学支格波的特征是原胞内的不同原子没有相对位移，原胞作整体运动，振动频率较低，它包含了晶格振动频率较低的振动模式，波速是一常数。
任何晶体都存在声学支格波，但简单晶格(非复式格子)晶体不存在光学支格波。 《2》实验已经证实，离子晶体能强烈吸收远红外光波，这种现象产生的根源是离子晶体中个
长光学横波能与远红外电磁波发生强烈耦合，简单晶格中不存在光学波，所以简单晶格不会吸收远红外光波。
3. 设电子在一维周期势场V （x ）中运动，其中V （x ）=V(x+a)，按微扰论求出k=a /π±处的能隙。
4.爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源是什么? 为什么说在甚低温下, 德拜
模型与实验相符？并对比分析爱因斯坦模型和德拜模型在解释晶格热容中的各自优点和不足之处。
1）按照爱因斯坦温度的定义，爱因斯坦模型的格波的频率大约为1013HZ ，属于光学支频率。
单光学格波在低温时对热容的贡献非常小，低温下对热容的贡献大的主要是长声学格波。也就是说爱因斯坦没有考虑声学波对热容的贡献是爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源。
2）在甚低温下，不仅光学波得不到激发，而且声子能量较大的短声学格波也未被激发，得到激发的只是声子能量较小的长声学格波。长声学格波即弹性波。德拜模型只考虑弹性波对热容的贡献。因此，在甚低温下，德拜模型与事实相符，自然与实验相符。
3）Einstein 模型：
把晶体中的原子看作是一些具有相同圆频率
并能在空间做自由振动的独立谐振子，根据Plank 理论，他假定每个谐振子的能量是量子化的。
这个模型抓住了本质现象，但过于简化，只是定性地说明了热容温度关系，定量上不够精确。
Debye 模型：
把晶体中原子间相互关联的运动看作是在一个连续的、各向同性介质中的波，并用一个最高频率 为上限的弹性波频谱来表述。
由于德拜理论所引入的频率分布具有晶体实际频率分布的某些特征，因此除去最精密的测量外，这个模型与简单晶体的热容测量结果是吻合的，特别是低温部分。
5. 布洛赫定理指出，一个在周期场中运动的电子，其波函数一定是布洛赫函数。周期性边界条件的引入，说明了电子的状态是分立的。为了解释固体中电子的能量特点，通常采用克朗尼格-朋奈（Kroning-Penney ）模型，这里请简述该模型的主要思想。
克朗尼格- 朋奈模型实际就是将上图的周期场简化为下图 所示的周期性方势阱后求薛定谔方程的过程
E ωD ω
6.固体中存在几种抗磁性？铁磁和反铁磁是怎样形成的？铁磁和反铁磁在低温和高温
下的磁化有什么特点？
7.简述固体光吸收过程的本征吸收、激子吸收及自由载流子吸收的特点，用光吸收的
实验如何确定半导体的带隙宽度？
1）本征吸收：电子由价带到导带的跃迁相关的光吸收，吸收系数很高常伴随可以迁移的电子和空穴，产生光电导。
2）激子吸收：电子由价带向稍低于导带底处的能级的跃迁，这种能级上的电子，不同于被激发到导带上的电子，不显示光导电现象，它们和价带中的空穴偶合成电子-空穴对，作为整体在晶体中存在着或运动着，可以在晶体中运动一段距离（~1μm）后再复合湮灭。
8.利用费米统计和自由电子气体模型说明低温下电子比热满足T线形关系。
