(通用版)2020高考数学二轮复习单科标准练2理

- 1 - 单科标准练(二)

(满分：150分 时间：120分钟)

第Ⅰ卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{x|x＝2a，a∈M}，则集合M∪N＝( )

A．{－1,0,1} B．{－2,0,2}

C．{0} D．{－2，－1,0,1,2}

D [∵集合M＝{－1,0,1}，N＝{x|x＝2a，a∈M}＝{－2,0,2}，∴集合M∪N＝{－2，－1,0,1,2}故选D.]

2．已知a，b∈R，a－i＝b－2ii，则a＋bi的共轭复数为( )

A．－2－i B．－2＋i

C．2－i D．2＋i

A [因为a－i＝b－2ii＝－(b－2i)i＝－2－bi，

所以a＝－2，b＝1，因此a＋bi＝－2＋i的共轭复数为－2－i.故选A.]

3．高三第一学期甲、乙两名同学5次月考的地理学科得分的茎叶图如图所示，其中两竖线之间是得分的十位数，两边分别是甲、乙得分的个位数．则下列结论正确的是(

)

A．甲得分的中位数是78

B．甲得分的平均数等于乙得分的平均数

C．乙得分的平均数和众数都是75

D．乙得分的方差大于甲得分的方差

C [由甲、乙两名同学5次月考的地理学科得分的茎叶图，得：

在A中，甲得分的中位数是76，故A错误；在B中，甲得分的平均数x1＝15(56＋64＋76＋78＋86)＝72，乙得分的平均数x2＝15(62＋75＋75＋81＋82)＝75，

∴甲得分的平均数不等于乙得分的平均数，故B错误；

在C中，乙得分的众数是75，平均数是75，故C正确；在D中，由茎叶图的甲得分的分布相对分散，

∴乙得分的方差小于甲得分的方差，故D错误．故选C.] - 2 - 4．已知Sn为等比数列{an}的前n项和，a2＝3，S3＝13，则a6＝( )

A．243或127 B．81或181

C．243 D.127

A [∵a2＝3，S3＝13，∴3q＋3＋3q＝13，解得q＝3或q＝13，∴a6＝a2q4＝243或127，故选A.]

5.如图，在△ABC中，D，E，F分别为线段BC，AD，BE的中点，则AF→＝(

)

A.18AB→＋58AC→

B.58AB→－18AC→

C.18AB→－58AC→

D.58AB→＋18AC→

D [∵AF→＝12(AB→＋AE→)＝12AB→＋12×12AD→＝12AB→＋14×12(AB→＋AC→)＝58AB→＋18AC→，故选D.]

6．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数．例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3，已知函数f(x)＝2x＋31＋2x＋1，则函数y＝[f(x)]的值域为( )

A.12，3 B．(0,2]

C．{0,1,2} D．{0,1,2,3}

C [因为f(x)＝2x＋31＋2x＋1，所以f(x)＝12×2x＋1＋61＋2x＋1＝121＋51＋2x＋1，

又1＋2x＋1∈(1，＋∞)，所以f(x)∈12，3，

由高斯函数的定义可得：函数y＝[f(x)]的值域为{0,1,2}，故选C.]

7.如图，用与底面成45°角的平面截圆柱得一椭圆截线，则该椭圆的离心率为( ) - 3 -

A.22 B.33

C.32 D.13

A [设圆柱底面圆的方程为x2＋y2＝R2，∵与底面成45°角的平面截圆柱，∴椭圆的半长轴长是2R，半短轴长是R，∴c＝R，∴e＝ca＝R2R＝22.故选A.]

8．埃及数学中有一个独特现象：除23用一个单独的符号表示以外，其他分数都要写成若干个单位分数和的形式，例如25＝13＋115.可以这样理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，若每人分得一个面包的12，不够，若每人分得一个面包的13，还余13，再将这13分成5份，每人分得115，这样每人分得13＋115.形如2n(n＝5,7,9,11，…)的分数的分解：25＝13＋115，27＝14＋128，29＝15＋145，按此规律，2n＝(

)

A.2n＋1＋2nn＋1

B.1n＋1＋1nn＋1

C.1n＋2＋1nn＋2

D.12n＋1＋12n＋12n＋3

A [根据分面包原理知，等式右边第一个数的分母应是等式左边数的分母加1的一半，第二个数的分母是第一个数的分母与等式左边数的分母的乘积，两个数的原始分子都是1，即2n＝1n＋12＋1nn＋12＝2n＋1＋2nn＋1.故选A.]

9．甲、乙二人约定7：10在某处会面，甲在7：00～7：20内某一时刻随机到达，乙在7：05～7：20内某一时刻随机到达，则甲至少需等待乙5分钟的概率是( )

A.18 B.14 - 4 - C.38 D.58

C [由题意知本题是一个几何概型，设甲和乙到达的分别为7时＋x分、7时＋y分，

则10≤x≤20,5≤y≤20，甲至少需等待乙5分钟，即y－x≥5，则试验包含的所有区域是Ω＝{(x，y)|0≤x≤20,5≤y≤20}，甲至少需等待乙5分钟所表示的区域为

A＝{(x，y)|0≤x≤20,5≤y≤20，y－x≥5}，如图：

正方形的面积为20×15＝300，阴影部分的面积为12×15×15＝2252，

∴甲至少需等待乙5分钟的概率是2252300＝225600＝38，故选C.]

10．已知函数f(x)＝x3－2ax2＋a2x的极小值点是x＝－1，则a＝( )

A．0或－1 B．－3或－1

C．－1 D．－3

D [∵函数f(x)＝x3－2ax2＋a2x，

∴f′(x)＝3x2－4ax＋a2，∵f(x)极小值点是x＝－1，

∴f′(－1)＝3＋4a＋a2＝0，解得a＝－3或a＝－1，

当a＝－1时，f(x)＝x3＋2x2＋x，f′(x)＝3x2＋4x＋1，

由f′(x)＞0，得x＜－1或x＞－13，

由f′(x)＜0，得－1＜x＜－13，

f(x)增区间为(－∞，－1)，－13，＋∞，减区间为－1，－13，

∴x＝－1是f(x)的极大值点．

当a＝－3时，f(x)＝x3＋6x2＋9x，f′(x)＝3x2＋12x＋9，

由f′(x)＞0，得x＜－3或x＞－1，

由f′(x)＜0，得－3＜x＜－1，

f(x)增区间为(－∞，－3)，(－1，＋∞)，减区间为(－3，－1)，

∴x＝－1是f(x)的极小值点．

综上，函数f(x)＝x3－2ax2＋a2x的极小值点是x＝－1，

则a＝－3.故选D.] - 5 - 11．已知函数f(x)＝sinωx－π3(ω＞0)，x∈[0，π]的值域为－32，1，则ω的取值范围是( )

A.13，53 B.56，1

C.56，53 D．(0，＋∞)

C [函数f(x)＝sinωx－π3(ω＞0)，x∈[0，π]，

则ωx－π3∈－π3，ωπ－π3，

函数f(x)＝sinωx－π3(ω＞0)的值域为－32，1，

所以ωx－π3∈π2，4π3，解得ω∈56，53，故选C.]

12．已知正三棱锥P­ABC(顶点在底面的射影是底面正三角形的中心)的侧面是顶角为30°腰长为2的等腰三角形，若过A的截面与棱PB，PC分别交于点D和点E，则截面△ADE周长的最小值是(

)

A.2 B．23

C.3 D．22

D [此正三棱锥的侧面展开图如图所示．

则△ADE的周长为AD＋DE＋EA1，

由于两点之间线段最短，

∴当D、E处于如图位置时，截面△ADE的周长最小，即为AA1的长；

又∠APB＝30°，则

∠APA1＝90°，在等腰三角形PAB中，PA＝PB＝2，

∴PA＝PA1＝2，∠APA1＝90°，

∴截面△ADE周长的最小值是：

AA1＝PA2＋PA21＝4＋4＝22.故选D.]

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分，第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22～23题为选考题，考生根据要求作答．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． - 6 - 13．设实数x、y满足约束条件 x＋y－3≥0，x－y＋1≥0，x≤3，则z＝2x＋y的最小值和最大值的和为________．

14 [作出不等式组对应的平面区域，如图阴影部分所示．由z＝2x＋y得y＝－2x＋z.平移直线y＝－2x＋z，由图象可知当直线y＝－2x＋z经过点A(3,4)时，直线y＝－2x＋z的截距最大，z＝10.

直线y＝－2x＋z经过点B(1,2)时，直线y＝－2x＋z的截距最小，此时z最小．即z＝2x＋y的最小值为：z＝4.则z＝2x＋y的最小值和最大值的和为14.]

14．以抛物线y2＝8x的焦点为圆心，且与直线y＝x相切的圆的方程为________．

(x－2)2＋y2＝2 [依题意可知抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，到直线y＝x的距离即圆的半径为22＝2，故圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝2.]

15．分别标有1,2,3,4的4张卡片，放入分别标号为1,2,3,4的4个盒中，每盒不空，且3号卡片不能放入3号盒中，则有________种不同的方法．

18 [根据题意，分2步进行分析：

①3号卡片不能放入3号盒中，则3号卡片可以放入1、2、4号盒子中，有3种放法；

②将剩下的3张卡片全排列，放入剩下的3个盒子中，有A33＝6种放法；故有3×6＝18种不同的放法．]

16. Sn为数列{an}的前n项和，已知an＞0,4Sn＝(an＋3)(an－1)，(n∈N*)，则{an}的首项a1＝________，通项公式an＝________.

3 2n＋1 [由4Sn＝(an＋3)(an－1)＝a2n＋2an－3，

可知4Sn＋1＝a2n＋1＋2an＋1－3，

两式相减得a2n＋1－a2n＋2(an＋1－an)＝4an＋1，

即2(an＋1＋an)＝a2n＋1－a2n＝(an＋1＋an)(an＋1－an)，

∵an＞0，∴an＋1－an＝2，又∵a21＋2a1＝4a1＋3，

∴a1＝－1(舍)或a1＝3 ，

∴数列{an}是首项为3，公差d＝2的等差数列，

∴数列{an}的通项公式an＝3＋2(n－1)＝2n＋1.]

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．(本小题满分12分)已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cb－a＋