高考一轮复习数学(文理通用)：课时训练 第五章 数 列

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第五章 数 列

第1课时 数列的概念及其简单表示法

一、 填空题

1. 数列23，－45，67，－89，…的第10项是________．

答案：－2021

解析：所给数列呈现分数形式，且正负相间，求通项公式时，我们可以把符号、分母、分子每一部分进行分解，就很容易归纳出数列{an}的通项公式为an＝(－1)n＋1·2n2n＋1，故a10＝－2021.

2. 已知数列{an}满足an＋2＝an＋1－an，且a1＝2，a2＝3，则a2 016的值为________．

答案：－1

解析：由题意，得a3＝a2－a1＝1，a4＝a3－a2＝－2，a5＝a4－a3＝－3，a6＝a5－a4＝－1，a7＝a6－a5＝2，∴ 数列{an}是周期为6的周期数列．而2 016＝6×336，∴ a2 016＝a6＝－1.

3. 数列7，9，11，…，2n－1的项数是_________.

答案：n－3

解析：易知a1＝7，d＝2，设项数为m，则2n－1＝7＋(m－1)×2，m＝n－3.

4. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且an≠0(n∈N*)，又anan＋1＝Sn，则a3－a1＝________．

答案：1

解析：因为anan＋1＝Sn，所以令n＝1得a1a2＝S1＝a1，即a2＝1.令n＝2，得a2a3＝S2＝a1＋a2，即a3＝1＋a1，所以a3－a1＝1.

5. 已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n＋1，则{an}的通项公式为__________．

答案：an＝4（n＝1），2n＋1（n≥2）

解析：当n＝1时，a1＝S1＝4；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1，∴ an＝4（n＝1），2n＋1（n≥2）.

6. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－1(n∈N*)，则a5＝__________．

答案：16

解析：当n＝1时，S1＝2a1－1，∴ a1＝1；

当n≥2时，Sn＝2an－1，Sn－1＝2an－1－1，则有 an＝2an－2an－1，∴ an＝2an－1.∴ {an}是等比数列，且a1＝1，q＝2，故a5＝a1×q4＝24＝16.

7. 若数列{an}的前n项和Sn＝23an＋13，则{an}的通项公式an＝________．

答案：(－2)n－1

解析：当n＝1时，a1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝23an－23an－1，则anan－1＝－2，得an＝(－2)n－1.

8. 设数列{an}满足a1＝a，an＋1＝a2n－2an＋1(n∈N*)．若数列{an}是常数列，则a＝________.

答案：－2

解析：因为数列{an}是常数列，所以a＝a2＝a21－2a1＋1＝a2－2a＋1，即a(a＋1)＝a2－2，解得a＝－2.

9. 数列{an}的前n项积为n2，那么当n≥2时，an＝________．

答案：n2（n－1）2

解析：设数列{an}的前n项积为Tn，则Tn＝n2，当n≥2时，an＝TnTn－1＝n2（n－1）2. 3 10. 数列{an}满足：a1＝1，且对任意的m，n∈N*都有an＋m＝an＋am＋nm，则a100＝________．

答案：5 050

解析：令m＝1，则an＋1＝an＋1＋n⇒an＋1－an＝n＋1⇒a100＝(a100－a99)＋(a99－a98)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1＝100＋99＋…＋2＋1＝5 050.

二、 解答题

11. 数列{an}的通项公式是an＝n2－7n＋6.

(1) 这个数列的第4项是多少？

(2) 150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？

(3) 该数列从第几项开始各项都是正数？

解：(1) 当n＝4时，a4＝42－4×7＋6＝－6.

(2) 令an＝150，即n2－7n＋6＝150，解得n＝16或n＝－9(舍去)，即150是数列的第16项．

(3) 令an＝n2－7n＋6＞0，解得n＞6或n＜1(舍)，∴ 从第7项起各项都是正数．

12. 已知数列{an}满足前n项和Sn＝n2＋1，数列{bn}满足bn＝2an＋1，且前n项和为Tn.设cn＝T2n＋1－Tn.

(1) 求数列{bn}的通项公式；

(2) 判断数列{cn}的增减性．

解：(1) a1＝2，an＝Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)，

∴ bn＝23（n＝1），1n（n≥2）.

(2) ∵ cn＝bn＋1＋bn＋2＋…＋b2n＋1

＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n＋1，

∴ cn＋1－cn＝12n＋2＋12n＋3－1n＋1

＝12n＋3－12n＋2＝－1（2n＋3）（2n＋2）<0，

∴ cn＋1

∴ 数列{cn}为递减数列．

13. 已知数列{an}中，an＝1＋1a＋2（n－1）(n∈N*，a∈R，且a≠0)．

(1) 若a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值；

(2) 若对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a的取值范围．

解：(1) ∵ an＝1＋1a＋2（n－1）(n∈N*，a∈R，且a≠0)，

又a＝－7，∴ an＝1＋12n－9(n∈N*)．结合函数f(x)＝1＋12x－9的单调性，可知1>a1>a2>a3>a4，a5>a6>a7>…＞an>1(n∈N*)，

∴ 数列{an}中的最大项为a5＝2，最小项为a4＝0.

(2) an＝1＋1a＋2（n－1）＝1＋12n－2－a2，对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，结合函数f(x)＝1＋12x－2－a2的单调性，可知5<2－a2<6，即－10

一、 填空题

1. 在等差数列{an}中，a5＝33，公差d＝3，则201是该数列的第________项．

答案：61

解析：∵ an＝a5＋(n－5)d，∴ 201＝33＋3(n－5)，n＝61.

2. 已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20＝________．

答案：1

解析：∵ a1＋a3＋a5＝105，即3a3＝105，解得a3＝35，同理a2＋a4＋a6＝99，得a4＝33.∵

d＝a4－a3＝33－35＝－2，∴ a20＝a4＋(20－4)d＝33＋16×(－2)＝1.

3. 在等差数列{an}中，已知a2＋a8＝11，则3a3＋a11的值为__________．

答案：22

解析：3a3＋a11＝a3＋a3＋a3＋a11＝a3＋a2＋a4＋a11＝a3＋a2＋a7＋a8＝2(a2＋a8)＝11×2＝22.

4. 若等差数列{an}的前5项和S5＝25，且a4＝3，则a7＝________．

答案：－3

解析：S5＝25⇒5（a1＋a5）2＝25⇒a3＝5，所以d＝a4－a3＝－2，a7＝a4＋(7－4)d＝3－6＝－3.

5. 在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时，Sn取最大值，则d的取值范围是________．

答案：－1

解析：由题意得，a8>0，a9<0，所以7＋7d>0，7＋8d<0，即－1

6. 若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9＞0，a7＋a10＜0，则当n＝________时，{an}的前n项和最大．

答案：8

解析：由等差数列的性质，得a7＋a8＋a9＝3a8，a8＞0，又a7＋a10＜0，所以a8＋a9＜0，所以a9＜0，所以S8＞S7，S8＞S9，故数列{an}的前8项和最大．

7. 若一个等差数列{an}的前3项和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有________项．

答案：13

解析：a1＋a2＋a3＋an－2＋an－1＋an＝34＋146＝180，所以3(a1＋an)＝180，即a1＋an＝60.由Sn＝390，知n（a1＋an）2＝390，所以n×602＝390，解得n＝13.

8. 记等差数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝2，且数列{Sn}也为等差数列，则a13的值为________．

答案：50

解析：数列{Sn}为等差数列，得S1＋S3＝2S2，即2＋6＋3d＝24＋d，则d＝4，a13 ＝a1＋12d＝50.

9. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3S6＝13，则S6S12＝________．

答案：310

解析： 由等差数列的求和公式可得S3S6＝3a1＋3d6a1＋15d＝13，可得a1＝2d，且d≠0，所以S6S12＝6a1＋15d12a1＋66d＝27d90d＝310.

10. 在等差数列{an}中，a2＝5，a6＝21，记数列1an的前n项和为Sn，若S2n＋1－Sn≤m15对n∈N*恒成立，则正整数m的最小值为________． 5 答案：5

解析：由a2＝5，a6＝21易得等差数列{an}的通项公式为an＝4n－3，所以1an＝14n－3.故S2n＋1－Sn＝1a2n＋1＋1a2n＋1a2n－1＋…＋1an＋2＋1an＋1.

设Tn＝S2n＋1－Sn，则Tn＋1＝S2(n＋1)＋1－Sn＋1＝S2n＋3－Sn＋1，

所以Tn＋1－Tn＝(S2n＋3－Sn＋1)－(S2n＋1－Sn)＝(S2n＋3－S2n＋1)－(Sn＋1－Sn)

＝1a2n＋3＋1a2n＋2－1an＋1＝14（2n＋3）－3＋14（2n＋2）－3－14（n＋1）－3

＝18n＋9＋18n＋5－14n＋1<18n＋2＋18n＋2－14n＋1＝28n＋2－14n＋1＝0.

所以Tn＋1－Tn<0，即Tn＋1

二、 解答题

11. 在等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.

(1) 求数列{an}的通项公式；

(2) 若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．

解：(1) 设等差数列{an}的公差为d，

由a1＝1，a3＝－3，可得1＋2d＝－3，解得d＝－2.

从而an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n.

(2) 由(1)可知an＝3－2n.

所以Sn＝n[1＋（3－2n）]2＝2n－n2.

由Sk＝－35，可得2k－k2＝－35，

即k2－2k－35＝0，解得k＝7或k＝－5.

又k∈N*，故k＝7.

12. 设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6＋15＝0.

(1) 若S5＝5，求S6及a1；

(2) 求d的取值范围．

解：(1) 由题意知S6＝－15S5＝－3，a6＝S6－S5＝－8，所以5a1＋10d＝5，a1＋5d＝－8，解得a1＝7，d＝－3，因此S6＝－3，a1＝7.

(2) 因为S5S6＋15＝0，所以(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，即2a21＋9da1＋10d2＋1＝0.

故(4a1＋9d)2＝d2－8，所以d2≥8.故d的取值范围是d≤－22或d≥22.

13. 在等差数列{an}中，公差d＞0，前n项和为Sn，a2·a3＝45，a1＋a5＝18.

(1) 求数列{an}的通项公式．

(2) 令bn＝Snn＋c(n∈N*)，是否存在一个非零常数c，使数列{bn}也为等差数列？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由．