2015高考数学(理)一轮课件：7-1不等关系与不等式

学必求其心得，业必贵于专精

知识点 考纲下载

不等关系与不等式 了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景．

二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 1。会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．

2．了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组．

3．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．

基本不等式错误!≤错误!(a≥0，b≥0） 1。了解基本不等式的证明过程．

2．会用基本不等式解决简单的最大（小)值问题．

学必求其心得，业必贵于专精

第1讲 不等关系与不等式

，

）

1．实数大小顺序与运算性质之间的关系

a－b〉0⇔a〉b;a－b＝0⇔a＝b；a－b〈0⇔a

2．不等式的基本性质

（1)对称性:a＞b⇔b＜a；

（2）传递性：a＞b,b＞c⇒a＞c;

(3）可加性:a＞b⇒a＋c＞b＋c;a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；

(4）可乘性:a＞b，c＞0⇒ac＞bc，

a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；

（5)可乘方:a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥2）;

(6）可开方：a＞b＞0⇒na＞错误!（n∈N，n≥2)．

1．辨明两个易误点

(1）在应用传递性时,注意等号是否传递下去，如a≤b，b〈c⇒a学必求其心得，业必贵于专精

〈c；

(2)在乘法法则中，要特别注意“乘数c的符号”，例如当c≠0时，有a〉b⇒ac2〉bc2；若无c≠0这个条件，a>b⇒ac2〉bc2就是错误结论(当c＝0时,取“＝”)．

2．不等式中的倒数性质

（1)a〉b，ab>0⇒错误!

(2)a〈0

(3)a〉b〉0，0错误!；

（4)0〈a〈x〈b或a

3．不等式恒成立的条件

(1）不等式ax2＋bx＋c〉0对任意实数x恒成立⇔错误!或错误!

(2)不等式ax2＋bx＋c〈0对任意实数x恒成立⇔错误!或错误!

1。错误! 若a

A．错误!〉错误! B．错误!〉错误!

第1讲 不等关系与不等式

[最新考纲]

1．了解现实世界和日常生活中的不等关系．

2．了解不等式(组)的实际背景．

3．掌握不等式的性质及应用.

知 识 梳 理

1．两个实数比较大小的方法

(1)作差法 a－b＞0⇔a＞b，a－b＝0⇔a＝b，a－b＜0⇔a＜b；

(2)作商法 ab＞1⇔a＞ba∈R，b＞0，ab＝1⇔a＝ba∈R，b＞0，ab＜1⇔a＜ba∈R，b＞0.

2．不等式的性质

(1)对称性：a＞b⇔b＜a；

(2)传递性：a＞b，b＞c⇔a＞c；

(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c，a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；

(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；

(5)可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)；

(6)可开方：a＞b＞0⇒na＞nb(n∈N，n≥2)．

辨 析 感 悟

1．对两个实数大小的比较的认识

(1)两个实数a，b之间，有且只有a＞b，a＝b，a＜b三种关系中的一种．(√)

(2)若ab＞1.则a＞b.(×)

2．对不等式性质的理解

(3)在一个不等式的两边同乘以一个非零实数，不等式仍然成立．(×)

(4)同向不等式具有可加性和可乘性．(×)

(5)(2014·丽水模拟改编)设a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“b＜1a”成立的既不充分也不必要条件．(√)

(6)(2013·北京卷改编)若a＞b，则1a＜1b.(×)

若a＞b，则a2＞b2.(×)

若a＞b，则a3＞b3.(√)

[感悟·提升]

两个防范 一是在使用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件，不可强化或弱化成立的条件，如“同向不等式”才可相加、“同向且两边同正的不等式”才可相乘；“可乘性中的”c的符号等都需注意，如(2)、(3)、(4)．

二是利用特值法判断两个式子大小时，错误的关系式，只需取特值举反例即可，而正确的关系式，则需推理论证．如(6)中当a＝1，b＝－2时，1a＜1b不成立；当a＝－1，b＝－2时，a2＞b2不成立.

第1节 不等式的性质与一元二次不等式

最新考纲 1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景；2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型；3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.

知 识 梳 理

1.实数的大小顺序与运算性质的关系

(1)a>b⇔a－b>0；

(2)a＝b⇔a－b＝0；

(3)a

2.不等式的性质

(1)对称性：a＞b⇔b＜a；

(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；

(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；

(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a>b，c<0⇒ac

(5)可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)；

(6)可开方：a＞b＞0⇒na＞nb(n∈N，n≥2).

3.三个“二次”间的关系

判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0

二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0

(a＞0)的根 有两相异实根

x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根

x1＝x2＝－b2a 没有实数根

ax2＋bx＋c＞0

(a＞0)的解集 {x|x＞x2或x＜x1} x|x≠－b2a R

ax2＋bx＋c＜0

(a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅

[微点提醒]

1.有关分数的性质

(1)若a>b>0，m>0，则bab－ma－m(b－m>0).

(2)若ab>0，且a>b⇔1a<1b.

2.对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记a＝0时的情形.

3.当Δ<0时，不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R还是∅，要注意区别.

基 础 自 测

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)a＞b⇔ac2＞bc2.( )

(2)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0.( )

第七章不等式

第1讲不等关系与不等式

考点不等式的概念和性质

知识点

1不等式的概念

在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号>，<，≥，≤，≠

连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子叫做不等式．

2两个实数大小关系的比较

两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0

⇔a

3不等式的性质

性质1对称性：如果a>b，那么bb.

性质2传递性：如果a>b，b>c，那么a>c.

性质3可加性：如果a>b，那么a＋c>b＋c.

性质4可乘性：如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac

性质5同向可加性：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.

性质6同向同正可乘性：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.

性质7可乘方性：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)．

性质8可开方性：如果a>b>0，那么n

a>n

b(n∈N，n≥2)．

4不等式的倒数性质

(1)a>b，ab>0⇒1

a<1

b.(2)a<0

a<1

b.

(3)a>b>0,0

c>b

d.

注意点传递性与可乘性的注意事项

(1)应用传递性时，若两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号，则等号无法传递．

(2)可乘性中，要特别注意“乘数c”的符号.

入门测

1．思维辨析

(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a

(2)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．()

(3)一个非零实数越大，则其倒数就越小．()

(4)同向不等式具有可加和可乘性．()

(5)两个数的比值大于1，则分子不一定大于分母．()

答案(1)√(2)×(3)×(4)×(5)√

2．设b

A．a－cb＋dD．a＋d>b＋c

答案C

解析由同向不等式具有可加性可知C正确．

3．已知a，b，c满足c

A.c

a

aB.b－a

c>0

C.b2

c

cD.a－c

ac<0

答案C

解析因为c0，所以c

a

a，b－a

c>0，a－c