高中数学2-2复数总结(概念+例题)

第七章 复数

7．1.1 数系的扩充和复数的概念

1．复数的有关概念

(1)复数的定义

形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1．

(2)复数集

全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做复数集．

(3)复数的表示方法

复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部．

■名师点拨

对复数概念的三点说明

(1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i.

(2)复数的虚部是实数b而非bi.

(3)复数z＝a＋bi只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是代数形式．

2．复数相等的充要条件

在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等当且仅当a＝c且b＝d．

3．复数的分类

(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)实数（b＝0），虚数（b≠0）纯虚数a＝0，非纯虚数a≠0Ｗ.

(2)复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系

■名师点拨

复数bi(b∈R)不一定是纯虚数，只有当b≠0时，复数bi(b∈R)才是纯虚数． 典型应用1

复数的概念

下列命题：

①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；

②若a，b∈R，且a>b，则a＋i>b＋i；

③若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±2；

④实数集是复数集的真子集．

其中正确的命题是( )

A．① B．②

C．③ D．④

【解析】 对于复数a＋bi(a，b∈R)，当a＝0且b≠0时，为纯虚数．对于①，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，即①错误；两个虚数不能比较大小，则②错误；对于③，若x＝－2，则x2－4＝0，x2＋3x＋2＝0，此时(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i＝0不是纯虚数，则③错误；显然，④正确．故选D.

高中数学必修二第七章复数知识点总结(超全)

单选题

1、若𝑎,𝑏∈R，i是虚数单位，𝑎+2021i=2−𝑏i，则𝑎2

+𝑏i等于（ ）

A．2021+2iB．2021+4iC．2+2021iD．4−2021i

答案：D

分析：根据复数相等可得𝑎=2，−𝑏=2021，进而即得.

因为𝑎+2021i=2−𝑏i，

所以𝑎=2，−𝑏=2021，即𝑎=2，𝑏=−2021，

所以𝑎2

+𝑏i=4−2021i．

故选：D．

2、已知复数z

满足𝑧⋅𝑧+4i𝑧=5+𝑎i，则实数a

的取值范围为（ ）

A．[−4,4]B．[−6,6]C．[−8,8]D．[−12,12]

答案：D

分析：设𝑧=𝑥+𝑦i,𝑥,𝑦∈R，由复数相等，得出𝑥,𝑦,𝑎的关系式，消去𝑥得到关于𝑦的一元二次方程有实数解，

利用Δ≥0，求解即可得出答案.

设𝑧=𝑥+𝑦i,𝑥,𝑦∈R，则𝑥2

+𝑦2

+4i(

𝑥−𝑦i)

=5+𝑎i，

整理得：𝑥2

+𝑦2

+4𝑦+4𝑥i=5+𝑎i,

所以{𝑥2

+𝑦2

+4𝑦=5

4𝑥=𝑎

，消去𝑥得𝑦2

+4𝑦−5+𝑎2

16=0,

因为方程有解，所以Δ=16−4(𝑎2

16−5)≥0，解得：−12≤𝑎≤12.

故选：D.

3、复平面中有动点Z

，Z

所对应的复数z

满足|𝑧−3|=|𝑧−i|，则动点Z

的轨迹为（ ）

A．直线B．线段C．两条射线D．圆

答案：A

分析：设出动点Z

坐标为(

𝑥,𝑦)

，根据题意列出方程，求出结果.

设动点Z

坐标为(

𝑥,𝑦)

，则𝑧=𝑥+𝑦i，所以|𝑥+𝑦i−3|=|𝑥+𝑦i−i|，即(

𝑥−3)2

+𝑦2

=𝑥2

+(

𝑦−1)2

，化简得：3𝑥−𝑦−4=0，故动点Z

的轨迹为直线.

故选：A

4、已知复数𝑧满足(

𝑧−i)(

2+i)

=6−2i，则|

𝑧|

=（ ）

A．

√3B．2C．

√5D．

高中数学选修2-2知识点总结

第一章、导数

1．函数的平均变化率为xfxyxxfxxfxxxfxf)()()()(111212

注1：其中x是自变量的改变量，平均变化率 可正，可负，可零。

注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。

2、导函数的概念:函数)(xfy在0xx处的瞬时变化率是xxfxxfxyxx)()(limlim0000，则称函数)(xfy在点0x处可导，并把这个极限叫做)(xfy在0x处的导数，记作)(0'xf或0|'xxy，即)(0'xf=xxfxxfxyxx)()(limlim0000.

3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；

函数的导数的几何意义是切线的斜率。

4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；

5、常见的函数导数

函数 导函数

(1)yc 'y0

(2)nyx*nN 1'nynx

(3)xya0,1aa 'lnxyaa

(4)xye 'xye

(5)logayx0,1,0aax 1'lnyxa

(6)lnyx 1'yx

(7)sinyx 'cosyx

(8)cosyx 'sinyx

6、常见的导数和定积分运算公式:若fx，gx均可导（可积），则有：

和差的导数运算 '''()()()()fxgxfxgx

积的导数运算 '''()()()()()()fxgxfxgxfxgx

特别地：''CfxCfx

商的导数运算 '''2()()()()()(()0)()()fxfxgxfxgxgxgxgx

特别地：21'()'gxgxgx

复合函数的导数 xuxyyu

微积分基本定理 bafxdxF(a)--F(b)

复数

复数基础知识

一、复数的基本概念

（1）形如a + bi的数叫做复数（其中Rba，）；复数的单位为i，它的平方等于－1，即1i2.其中a叫做复数的实部，b叫做虚部

实数：当b = 0时复数a + bi为实数

虚数：当0b时的复数a + bi为虚数；

纯虚数：当a = 0且0b时的复数a + bi为纯虚数

（2）两个复数相等的定义：

（3）共轭复数：zabi的共轭记作zabi；

（4）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；zabi，对应点坐标为,pab

（5）复数的模：对于复数zabi，把22zab叫做复数z的模；

二、复数的基本运算

设111zabi，222zabi

（1） 加法：121212zzaabbi；

（2） 减法：121212zzaabbi；

（3） 乘法：1212122112zzaabbababi 特别22zzab。

（4）幂运算：1ii21i3ii41i5ii61i

三、复数的化简

cdizabi（,ab是均不为0的实数）；的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数：22acbdadbcicdicdiabizabiabiabiab 对于0cdizababi，当cdab时z为实数；当z为纯虚数是z可设为cdizxiabi进一步建立方程求解

一、知识梳理

1、复数的有关概念

（1）复数的概念：形如(,)abiabR的数叫做复数，其中,ab分别是它的 。若 ，则abi为实数，若 ，则abi为虚数，若 ，则abi为纯虚数。

（2）复数相等：abicdi (,,,)abcdR。