济南市汇文中学数学几何图形初步专题练习(解析版)
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一、初一数学几何模型部分解答题压轴题精选（难）
1．在数轴上 、 两点分别表示有理数 和 ，我们用 表示 到 之间的距离；例如 表示7到3之间的距离.
（1）当 时， 的值为________.
（2）如何理解 表示的含义？
（3）若点 、 在0到3（含0和3）之间运动，求 的最小值和最大值.
【答案】 （1）5或-3
（2）解：∵ =
，
∴ 表示 到-2的距离
（3）解：∵点 、 在0到3（含0和3）之间运动，
∴0≤a≤3, 0≤b≤3,
当 时， =0+2=2，此时值最小，
故最小值为2；
当 时， =2+5=7，此时值最大，
故最大值为7
【解析】【解答】（1）∵ ，
∴a=5或-3；
故答案为：5或-3；
【分析】（1）此题就是求表示数a的点与表示数1的点之间的距离是4，根据表示数a的点在表示数1的点的右边与左边两种情况考虑即可得出答案；
（2）此题就是求表示数b的点与表示数-2的点之间的距离;
（3）此题就是求表示数a的点与表示数2的点之间的距离及表示数b的点与表示数-2的点之间的距离和，而 0≤a≤3, 0≤b≤3, 借助数轴 当 时 ， 的值最小； 当 时 ， 的值最大.
2．探究题
学习完平行线的性质与判定之后，我们发现借助构造平行线的方法可以帮我们解决许多问题。
（1）小明遇到了下面的问题：如图1，l1∥l2 ， 点P在l1、l2内部，探究∠A，∠APB，∠B的关系．小明过点P作l1的平行线，可证∠APB，∠A，∠B之间的数量关系是：∠APB=________．
（2）如图2，若AC∥BD，点P在AB、CD外部，∠A，∠B，∠APB的数量关系是否发生变化？请你补全下面的证明过程.
过点P作PE∥AC.
∴∠A=________
∵AC∥BD
∴________∥________
∴∠B=________
∵∠BPA=∠BPE-∠EPA
∴________．
（3）随着以后的学习你还会发现平行线的许多用途.试构造平行线解决以下问题：
已知：如图3，三角形ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°.
【答案】 （1）∠APB=∠A+∠B
（2）∠1；PE；BD；∠EPB；∠APB=∠B -∠1
（3）证明：过点A作MN∥BC
∴∠B=
∠1
∠C= ∠2
∵∠BAC+∠1+∠2=180°
∴∠BAC+∠B+∠C=180°
【解析】【解答】解：(1)如图：
由平行线的性质可得：∠1=∠A, ∠2=∠B,
∴∠1+∠2=∠A+∠B
即APB=∠A+∠B
⑵解：过点P作PE∥AC.
∴∠A=∠1
∵AC∥BD
∴ PE ∥ BD
∴∠B=∠EPB
∵∠APB=∠BPE-∠EPA
∴∠APB=∠B -∠1
【分析】根据图形做出平行辅助线，探究角度关系。此类做辅助线的方法变式多，是考试热点问题。
3．如图①，△ABC的角平分线BD，CE相交于点P.
（1）如果∠A=80∘ ， 求∠BPC= ________.
（2）如图②,过点P作直线MN∥BC,分别交AB和AC于点M和N,试求∠MPB+∠NPC的度数(用含∠A的代数式表示)________.
（3）将直线MN绕点P旋转。
(i)当直线MN与AB，AC的交点仍分别在线段AB和AC上时，如图③，试探索∠MPB，∠NPC，∠A三者之间的数量关系，并说明你的理由。
(ii)当直线MN与AB的交点仍在线段AB上,而与AC的交点在AC的延长线上时,如图④,试
问(i)中∠MPB，∠NPC，∠A三者之间的数量关系是否仍然成立?若成立，请说明你的理由；若不成立，请给出∠MPB，∠NPC，∠A三者之间的数量关系，并说明你的理由。
【答案】 （1）130°
（2）90°﹣ ∠A
（3）解：(i)∠MPB+∠NPC= − ∠A.
理由如下：
∵∠BPC=
+ ∠
A ，
∴∠MPB+∠NPC= −∠BPC=180∘−(
+
∠A)= −12
∠A.
(ii)不成立,有∠MPB−∠NPC= − ∠A.
理由如下：
由题图④可知∠MPB+∠BPC−∠NPC= ，
由(1)知：∠BPC= + ∠A ， ∴∠MPB−∠NPC=
−∠BPC= −( + ∠A)=
− ∠A.
【解析】【解答】(1)
故答案为：
( 2 )由 = 得∠MPB+∠NPC= −∠BPC= 1−( + ∠A)=
− ∠A；故答案为：∠MPB+∠NPC= − ∠A
【分析】（1）根据角平分线的定义得出∠PBC+∠PCB=(∠ABC+∠ACB)，再根据三角形的内角和定理及∠A的度数，求出∠ABC+∠ACB的值，然后再利用三角形的内角和就可求出∠BPC的度数。
（2）根据角平分线的定义得出∠PBC+∠PCB=(∠ABC+∠ACB)，再根据三角形的内角和定理得出∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB），∠ABC+∠ACB=180°-∠A ，代入计算即可得出结论。
（3）(i)根据∠MPB+∠NPC= 180 ° −∠BPC和∠BPC= 90 ° + ∠ A，代入即可得出结论；(ii)根据∠BPC= 90 ° + ∠ A及∠MPB−∠NPC= 180 ° −∠BPC，代入求出即可得出结论
4．
（1）思考探究：如图①， 的内角 的平分线与外角 的平分线相交于
点，请探究 与 的关系是________.
（2）类比探究：如图②，四边形 中，设 ，
，
，四边形 的内角 与外角 的平分线相交于点 .求 的度数.(用 ， 的代数式表示)
（3）拓展迁移：如图③，将(2)中
改为
，其它条件不变，请在图③中画出 ，并直接写出 ________.(用 ， 的代数式表示)
【答案】 （1）
（2）解：延长
、 ，交于点 .
，
由(1)知：
∴ .
（3）
【解析】【解答】解：(1)
∵ 平分 ， 平分 ，
∴
，
∵ 是 的外角
∴
∵
是 的外角
∴
( 3 )延长 ， 交于点 . 作 与外角 的平分线相交于点 . 如图：
，
【分析】（1）利用角平分线求出∠PCD= ∠ACD,∠PBD= ∠ABC,再利用三角形的一个外角定理即可求出.（2）延长BA、CD交于点F，然后根据（1）的结题可得到∠P的表达式.（3）延长AB、DC交于F,然后根据（1）的结题可得到∠P的表达式.
5．已知，如图，在四边形ABCD中， ，延长BC至点E ， 连接AE交CD于点F ，
使
（1）求证： ；
（2）求证： ；
（3）若BF平分 ，请写出 与 的数量关系________ 不需证明
【答案】 （1）证明：∵∠BAC=∠DAE ，
∴∠BAC+∠CAF=∠DAE+∠CAF ，
∴∠BAF=∠CAD；
（2）证明：∵∠BAC=∠DAF ， ∠ACB=∠CFE=∠AFD ，
∴∠B=∠D ，
∵AB∥CD ，
∴∠B+∠BCD=180°，
∴∠D+∠BCD=180°，
∴AD∥BE；
（3）2∠AFB+∠CAF=180°
【解析】【解答】解：(3)如图2,∵AD∥BE,
∴∠E=∠1=∠2，
∵BF平分∠ABC ，
∴∠3=∠4，
∵∠AFB是△BEF的外角，
∴∠AFB=∠4+∠E=∠4+∠1，
∴∠AFB=3+∠2，
又∵AD∥BC ，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∴∠3+∠4+∠1+∠CAF+∠2=180°，
即2∠AFB+∠CAF=180°.
故答案为：2∠AFB+∠CAF=180°.
【分析】（1）根据∠BAC=∠DAE，运用等式性质即可得出∠BAC+∠CAF=∠DAE+∠CAF，进而得到∠BAF=∠CAD；（2）根据∠BAC=∠DAF，∠ACB=∠CFE=∠AFD，可得∠B=∠D，最后根据∠B+∠BCD=180°，可得∠D+∠BCD=180°，进而判定AD∥BE；（3）根据AD∥BE，可得∠E=∠1=∠2，再根据BF平分∠ABC，可得∠3=∠4，根据∠AFB是△BEF的外角，得出∠AFB=∠4+∠E=∠4+∠1，即∠AFB=3+∠2，最后根据AD∥BC，得到∠ABC+∠BAD=180°，进而得到2∠AFB+∠CAF=180°．
6．如图①，△ABC的角平分线BD，CE相交于点P.
（1）如果∠A=80∘ ， 求∠BPC=.
（2）如图②,过点P作直线MN∥BC,分别交AB和AC于点M和N,试求∠MPB+∠NPC的度数(用含∠A的代数式表示).
（3）将直线MN绕点P旋转。
(i)当直线MN与AB，AC的交点仍分别在线段AB和AC上时，如图③，试探索∠MPB，∠NPC，∠A三者之间的数量关系，并说明你的理由。
(ii)当直线MN与AB的交点仍在线段AB上,而与AC的交点在AC的延长线上时,如图④,试问(i)中∠MPB，∠NPC，∠A三者之间的数量关系是否仍然成立?若成立，请说明你的理由；若不成立，请给出∠MPB，∠NPC，∠A三者之间的数量关系，并说明你的理由。
【答案】 （1）
故答案为：
（2）由 = 得∠MPB+∠NPC= −∠BPC=
1−( +
∠A)=
− ∠A；故答案为：∠MPB+∠NPC=
− ∠A.
（3）(i)∠MPB+∠NPC= − ∠A.
理由如下：
∵∠BPC= +12∠ A，
∴∠MPB+∠NPC= −∠BPC=180∘−( +
∠A)=
−12 ∠A.
(ii)不成立,有∠MPB−∠NPC= − ∠A.
理由如下：由题图④可知∠MPB+∠BPC−∠NPC= ，
