【小站教育】GRE数学—排列组合公式及例题讲解
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GRE 数学—排列组合公式及例题讲解
排列 A------和顺序有关
组合 C -------不牵涉到顺序的问题
排列分顺序,组合不分
例如 把 5 本不同的书分给 3 个人,有几种分法. "排列"
把 5 本书分给 3 个人,有几种分法 "组合"
1．排列及计算公式
从 n 个不同元素中，任取 m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫
做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列；从 n 个不同元素中取出
m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元
素的排列数，用符号 A(n,m)表示.
A(n,m)=n(n-1)(n-2)„„(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定 0!=1).
2．组合及计算公式
从 n 个不同元素中，任取 m(m≤n)个元素并成一组，叫做从 n 个不同元
素中取出 m 个元素的一个组合；从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素
的所有组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数.用
符号
c(n,m) 表示.
c(n,m)=A(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m);
3．其他排列与组合公式
从 n 个元素中取出 r 个元素的循环排列数＝A(n,r)/r=n!/r(n-r)!.
n 个元素被分成 k 类，每类的个数分别是 n1,n2,...nk 这 n 个元素的全
排列数为
n!/(n1!*n2!*...*nk!).
k 类元素,每类的个数无限,从中取出 m 个元素的组合数为 c(m+k-1,m).
排列（Anm(n 为下标，m 为上标)）
Anm=n×（n-1）....（n-m+1）；Anm=n！/（n-m）！（注：！是阶乘符号）；
Ann（两个 n 分别为上标和下标） =n！；0！=1；An1（n 为下标 1 为上标）
=n
组合（Cnm(n 为下标，m 为上标)）
Cnm=Anm/Amm ；Cnm=n！/m！（n-m）！；Cnn（两个 n 分别为上标和下标）
=1 ；Cn1（n 为下标 1 为上标）=n；Cnm=Cnn-m
2008-07-08 13:30
公式 A 是指排列，从 N 个元素取 R 个进行排列。
公式 C 是指组合，从 N 个元素取 R 个，不进行排列。
N-元素的总个数
R 参与选择的元素个数
！-阶乘 ，如 9！＝9*8*7*6*5*4*3*2*1
从 N 倒数 r 个，表达式应该为 n*（n-1)*(n-2)..(n-r+1);
因为从 n 到（n-r+1)个数为 n－
（n-r+1)＝r
举例：
Q1: 有从 1 到 9 共计 9 个号码球，请问，可以组成多少个三位
数？
A1: 123 和 213 是两个不同的排列数。即对排列顺序有要求的，
既属于“排列 A”计算范畴。
上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现
988,997 之类的组合， 我们可以这么看，百位数有 9 种可能，十位数
则应该有 9-1 种可能，个位数则应该只有 9-1-1 种可能，最终共有 9*8*7
个三位数。计算公式＝A（3，9)＝9*8*7,(从 9 倒数 3 个的乘积）
Q2: 有从 1 到 9 共计 9 个号码球，请问，如果三个一组，代表“三
国联盟”，可以组合成多少个“三国联盟”？
A2: 213 组合和 312 组合，代表同一个组合，只要有三个号码
球在一起即可。即不要求顺序的，属于“组合 C”计算范畴。
上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重
复的个数即为最终组合数 C(3,9)=9*8*7/3*2*1
排列、组合的概念和公式典型例题分析
例 1 设有 3 名学生和 4 个课外小组．（1）每名学生都只参加一
个课外小组；（2）每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多
有一名学生参加．各有多少种不同方法？
解（1）由于每名学生都可以参加 4 个课外小组中的任何一个，
而不限制每个课外小组的人数，因此共有 种不同方法．
（2）由于每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组
至多有一名学生参加，因此共有 种不同方法．
点评 由于要让 3 名学生逐个选择课外小组，故两问都用乘法
原理进行计算．
例 2 排成一行，其中 不排第一， 不排第二， 不排第三， 不
排第四的不同排法共有多少种？
解 依题意，符合要求的排法可分为第一个排 、 、 中的某一
个，共 3 类，每一类中不同排法可采用画“树图”的方式逐一排出：
∴ 符合题意的不同排法共有 9 种．
点评 按照分“类”的思路，本题应用了加法原理．为把握不 同排法的规律，“树图”是一种具有直观形象的有效做法，也是解决计
数问题的一种数学模型．
例３ 判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果．
（1）高三年级学生会有 11 人：①每两人互通一封信，共通了多少
封信？②每两人互握了一次手，共握了多少次手？
（2）高二年级数学课外小组共 10 人：①从中选一名正组长和一名
副组长，共有多少种不同的选法？②从中选 2 名参加省数学竞赛，有多
少种不同的选法？
（3）有 2，3，5，7，11，13，17，19 八个质数：①从中任取两个
数求它们的商可以有多少种不同的商？②从中任取两个求它的积，可以
得到多少个不同的积？
（4）有 8 盆花：①从中选出 2 盆分别给甲乙两人每人一盆，有多
少种不同的选法？②从中选出 2 盆放在教室有多少种不同的选法？
分析 （1）①由于每人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是
不同的两封信，所以与顺序有关是排列；②由于每两人互握一次手，甲
与乙握手，乙与甲握手是同一次握手，与顺序无关，所以是组合问题．其
他类似分析．
（1）①是排列问题，共用了 封信；②是组合问题，共需握手（次）．
（2）①是排列问题，共有 （种）不同的选法；②是组合问题，共
有 种不同的选法．
（3）①是排列问题，共有 种不同的商；②是组合问题，共有 种不
同的积．
（4）①是排列问题，共有 种不同的选法；②是组合问题，共有 种
不同的选法．
例４ 证明 ． 证明
左式
右式．
∴ 等式成立．
点评 这是一个排列数等式的证明问题，选用阶乘之商的形式，并
利用阶乘的性质 ，可使变形过程得以简化．
例 5 化简 ． 解法一 原式
解法二 原式
点评 解法一选用了组合数公式的阶乘形式，并利用阶乘的性
质；解法二选用了组合数的两个性质，都使变形过程得以简化．
例 6 解方程：（1） ；（2） ．
解 （1）原方程
解得 ．
（2）原方程可变为
∵ ， ，
∴ 原方程可化为 ． 即 ，解得
第六章 排列组合、二项式定理
一、考纲要求
1.掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析解决一些简单的问
题.
2.理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的
性质，并能用它们解决一些简单的问题.
3.掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和论证一些简
单问题.
二、知识结构
三、知识点、能力点提示
(一)加法原理乘法原理
说明 加法原理、乘法原理是学习排列组合的基础，掌握此两原理为
处理排 列、组合中有关问题提供了理论根据.
例 1 5 位高中毕业生，准备报考 3 所高等院校，每人报且只报一所，
不同的报名方法共有多少种?
解： 5 个学生中每人都可以在 3 所高等院校中任选一所报名，因而
每个学生都有 3 种不同的 报名方法，根据乘法原理，得到不同报名方
法总共有
3×3×3×3×3=35(种)
(二)排列、排列数公式
说明 排列、排列数公式及解排列的应用题，在中学代数中较为独特，
它研 究的对象以及研 究问题的方法都和前面掌握的知识不同，内容抽
