函数的值域-讲义

国子学·纽威教育交大旗舰校 电话：66006266 高一数学 vip 王嘉妮 第五讲

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函数专题 第五讲 函数的定义域和值域

时间：年 月 日 陈老师 电话：66006266

一、兴趣导入

清朝名士纪晓岚,有一天和朋友一起上街.走在街上,看见前面有一家小店,店里的老板娘正忙着.

纪晓岚就和他的朋友打赌,"我会一句话,让老板娘笑,再一句话,让老板娘闹."

朋友们不相信,决定以一桌酒席为赌.

只见纪晓岚走向小店,向店门前的看门狗鞠了一躬,叫 道"爹!",

老板娘"噗"地一声乐了.

纪晓岚转过身又冲老板娘叫了一声"娘!".顿时,老板娘勃然大怒,直骂纪晓岚.

于是,纪晓岚赢得了一桌酒席........ 思考：由此你得到什么启示？

二、知识梳理

（一）求函数定义域的一般原则：

（1）如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R .

（2）如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合 .

（3）如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合.

（4）如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合.（即求各集合的交集）

（5）满足实际问题有意义.

（二）：抽象函数的定义域求法：

①函数f(x)的定义域是指x 的取值范围所组成的集合。

②函数)(xf的定义域还是指x的取值范围，而不是)(x的取值范围。

授课：XXX （一）函数的概念

1．函数的概念：

设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数（function）．

记作： y=f(x)，x∈A．

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域（range）．

注意：

○1 “y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；

○2 函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．

2． 构成函数的三要素：

定义域、对应关系和值域

3．区间的概念

（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；

（2）无穷区间；

（3）区间的数轴表示．

4．一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域讨论

（二）映射

一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射（mapping）．

记作“f：AB”

说明：

（1）这两个集合有先后顺序，A到B的射与B到A的映射是截然不同的．其中f表示具体的对应法则，可以用汉字叙述．

（2）“都有唯一”什么意思？

包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思。

1． 例题分析：下列哪些对应是从集合A到集合B的映射？

（1）A={P | P是数轴上的点}，B=R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；

（2）A={ P | P是平面直角体系中的点}，B={（x，y）| x∈R，y∈R}，对应关系f：平面直角体系中的点与它的坐标对应；

（3）A={三角形}，B={x | x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；

1 第7讲：函数的定义域与值域

一、课程标准

1、会求一些简单函数的定义域

2、会求一些简单函数的值域.

二、基础知识回顾

1、常见函数的定义域：

(1)分式函数中分母不等于零.

(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0.

(3)一次函数、二次函数的定义域为R.

(4)y＝ax (a>0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x，定义域均为R.

(5)y＝tan x的定义域为x|x∈R且x≠kπ＋π2，k∈Z.

(6)函数f(x)＝xα的定义域为{x|x∈R且x≠0}.

2、求值域常用的方法：图像法；配方法；换元法；分离变量法；反解法；单调性法；基本不等式法，求导；

三、自主热身、归纳总结

1、函数f(x)＝ln（2x－x2）x－1的定义域为( )

A. (0，1) B. (1，2)

C. (0，1)∪(1，2) D. (－2，0)∪(1，2)

【答案】C.

【解析】 为使函数有意义，必须且只须22010.xxx＞，≠解得0

2、函数的y＝－x2－6x－5值域为( )

A. [0，＋∞) B. [0，2]

C. [2，＋∞) D. (2，＋∞)

【答案】B 2 【解析】 设μ＝－x2－6x－5()μ≥0，则原函数可化为：y＝μ.

又∵μ＝－x2－6x－5＝－()x＋32＋4≤4，∴0≤μ≤4，故μ∈[]0，2，

∴函数y＝－x2－6x－5的值域为[]0，2.故选B.

3、函数y＝f(x)的图象是如图所示的折线段OAB，其中A(1，2)，B(3，0)，函数g(x)＝x·f(x)，那么函数g(x)的值域为( )

A．[0，2] B.0，94

C.0，32 D．[0，4]

【答案】B

【解析】 由题图可知，直线OA的方程是y＝2x；因为kAB＝0－23－1＝－1，所以直线AB的方程为y＝－(x－3)＝－x＋3.

第2讲 函数的定义域和值域

1．常见函数定义域的求法

(1)分式函数中分母不等于零．

(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0．

(3)一次函数、二次函数的定义域为R．

(4)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x，定义域均为R．

(5)y＝tan x的定义域为{x|x≠kπ＋π2，k∈Z}．

2．基本初等函数的值域

(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是R．

(2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：

当a＞0时，值域为y|y≥4ac－b24a；

当a＜0时，值域为y|y≤4ac－b24a．

(3)y＝kx(k≠0)的值域是{y|y≠0}．

(4)y＝ax(a＞0且a≠1)的值域是{y|y＞0}．

(5)y＝logax(a＞0且a≠1)的值域是R．

(6)y＝sin x，y＝cos

x的值域是[－1，1]．

(7)y＝tan x的值域是R．

[做一做]

1．(2015·浙江杭州模拟)函数y＝16－4x的值域是( )

A．[0，＋∞)B．[0，4]C．[0，4)D．(0，4)

解析：选C.∵4x＞0，∴0≤16－4x＜16，∴0≤y＜4.

2．函数y＝x＋1＋12－x的定义域为________．

答案：[－1，2)∪(2，＋∞)

1．求函数定义域应注意的四点

(1)如果没有特别说明，函数的定义域就是能使解析式有意义的所有实数x的集合．

(2)不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化．

(3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．

(4)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．

2．求函数值域的六种基本方法

(1)观察法：一些简单函数，通过观察法求值域．

(2)配方法：“二次函数类”用配方法求值域．

(3)换元法：形如y＝ax＋b±cx＋d(a，b，c，d均为常数，且a≠0)的函数常用换元法求值域，形如y＝ax＋a－bx2的函数用三角函数代换求值域．