勾股定理-八年级下学期数学期末重难点知识专题复习一遍过原卷及解析版(人教版)
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专题02 勾股定理期末总复习重难点知识一遍过
一、基础知识点综述
知识点
1. 勾股定理：直角三角形中的两直角边的平方之和等于斜边的平方.
2. 勾股定理逆定理：三角形中两边的平方之和等于第三边的平方，这个三角形为直角三角形.
3. 勾股数：
若三个正整数a，b，c满足a²+b²=c²，则称a，b，c是勾股数.
常见勾股数：3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25；9,40,41……
（1）设n为正整数，由a=2n+1，b=2n（n+1），c=2n（n+1）+1，可得许多组互质的勾股数；
（2）设n为不小于4的偶数，由a=2n，b=n2-1，c= n2+1，可得许多组互质的勾股数.
4. 含特殊角的三角形的小结论
图 形 结 论
222233312333268cabaabSabSabc
222221214caacSaSc
23333=4caacSa△ 2323=4haSa△
5. 勾股定理应用
（1）在数轴上画n（n为正整数）的点；
（2）平面直角坐标系中点与点之间的距离；
（3）格点三角形（顶点都在方格点）的三边上的高；
（4）动点问题（等腰三角形、直角三角形存在性问题等）；
（5）最短路径求解（立体问题转化为平面问题）
6. 勾股定理的证明方法（需掌握的）
毕达哥拉斯证明方法
ABDCA'D'C'
赵爽弦图证明法
abc
总统证明法 acbbac
刘徽证明法
acbacb
上述四种证明过程均是采用的面积法，同学们可对照图形自己完成证明过程. 二、精选题型精讲
题1. 基础题型
（1）三角形的三边为a、b、c，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（ ）
A．a:b:c =13∶5∶12 B．a2-b2=c2 C．a2=(b+c)(b-c) D．a:b:c=8∶16∶17
（2）如图1-1，在由单位正方形组成的网格图中标有AB,CD,EF,GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）
图1-1
A．CD,EF,GH B.AB,EF,GH C.AB,CD,GH D.AB,CD,EF
（3）如图1-2，边长为12的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2， 则S1+S2值为
图1-2
题2. 基础强化探究
（1）如图2-1所示，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A(8，0)、C（0,1）、D为OA的中点，P是BC边上一点. 若△POD为等腰三角形，则满足条件的所有的P点坐标为
图2-1 （2）如图2-3是赵爽弦图变化而得的，由八个全等的直角三角形拼接而成，若图中正方形ABCD、EFGH、MNKT的面积分别为a、b、c. 若a+b+c=15，则b=
图2-3
（3）如图2-4所示，在矩形ABCD的对称轴l上找一点P，使得△PAB、△PBC均为等腰三角形，则满足条件的点P有 个；
图2-4
题3. （1）尺规作图：如图1，请在x轴上作出表示（，0）的点（保留清晰作图痕迹，不写作法）．
（2）如图2，已知点A（4，2），点B在x轴上，若∠OAB=90°，试求点B的坐标；
（3）如图3，已知点A（4，2），点P在x轴上，若△OAP为等腰三角形，试求点P的坐标．
题4. 小明、小华在一栋电梯楼前感慨楼房真高.小明说:“这楼起码20层!”小华却不以为然:“20层?我看没有，数数就知道了!”小明说:“有本事,你不用数也能明白!”小华想了想说:“没问题!让我们来量一量吧!”小明、小华在楼体两侧各选A,B两点,测量数据如图4-1所示,其中矩形CDEF表示楼体, AB=150m, CD=10m, ∠A=30°, ∠B=45°(A,C,D,B四点在同一直线上).
问:(1)楼高多少米?
(2)若每层楼按3m计算,你支持小明还是小华的观点呢?请说明理由.
图4-1
题5. 如图5-1，小明在研究性学习活动中，对自己家所在的小区进行调查后发现，小区汽车入口宽AB为3.2m，在入口的一侧安装了停止杆CD，其中AE为支架．当停止杆仰起并与地面成60°角时，停止杆的端点C恰好与地面接触．此时CA为0.7m．在此状态下，若一辆货车高3m，宽2.5m，入口两侧不能通车，那么这辆货车在不碰杆的情况下，能从入口内通过吗？请你通过估算说明．（参考数据：3≈1.7）
图5-1
题6. 如图6-1所示，A、B、C为一个平行四边形的三个顶点，且A、B、C三点的坐标分别为（3，3）、（6，4）、（4，6）
（1）请直接写出这个平行四边形第四个顶点的坐标；
（2）在△ABC中，试求出AB边上的高．
专题02 勾股定理期末总复习重难点知识一遍过
一、基础知识点综述
知识点
1. 勾股定理：直角三角形中的两直角边的平方之和等于斜边的平方.
2. 勾股定理逆定理：三角形中两边的平方之和等于第三边的平方，这个三角形为直角三角形.
3. 勾股数：
若三个正整数a，b，c满足a²+b²=c²，则称a，b，c是勾股数.
常见勾股数：3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25；9,40,41……
（1）设n为正整数，由a=2n+1，b=2n（n+1），c=2n（n+1）+1，可得许多组互质的勾股数；
（2）设n为不小于4的偶数，由a=2n，b=n2-1，c= n2+1，可得许多组互质的勾股数.
4. 含特殊角的三角形的小结论
图 形 结 论
222233312333268cabaabSabSabc222221214caacSaSc23333=4caacSa△ 2323=4haSa△5. 勾股定理应用
（1）在数轴上画n（n为正整数）的点；
（2）平面直角坐标系中点与点之间的距离；
（3）格点三角形（顶点都在方格点）的三边上的高；
（4）动点问题（等腰三角形、直角三角形存在性问题等）；
（5）最短路径求解（立体问题转化为平面问题）
6. 勾股定理的证明方法（需掌握的）
毕达哥拉斯证明方法
ABDCA'D'C'赵爽弦图证明法
abc总统证明法 acbbac刘徽证明法
acbacb上述四种证明过程均是采用的面积法，同学们可对照图形自己完成证明过程. 二、精选题型精讲
题1.
基础题型
（1）三角形的三边为a、b、c，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（ ）
A．a:b:c =13∶5∶12 B．a2-b2=c2 C．a2=(b+c)(b-c) D．a:b:c=8∶16∶17
（2）如图1-1，在由单位正方形组成的网格图中标有AB,CD,EF,GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）
图1-1
A．CD,EF,GH B.AB,EF,GH C.AB,CD,GH D.AB,CD,EF
（3）如图1-2，边长为12的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2， 则S1+S2值为
图1-2
【答案】（1）D;（2）B；（3）68.
【解析】解：（1）A：22213512，所以A正确；
B：a2-b2=c2，即a2 = b2+c2，所以B正确；
C：a2=(b+c)(b-c)，即b2 =a2+c2，所以C正确；
D：82+162≠172，故D错误.
（2）由图可知：AB2=8；CD2=20；EF2=5；GH2=13；
∴AB2 +EF2 =GH2
故答案为B；
（3）如图1-3所示.
因为四边形ABCD是正方形， 所以∠ACD=∠CAD=45°，
图1-3
因为四边形DEFG是正方形，所以DE=EF=EC=6，
即S1=36；
如图1-4，
图1-4
由正方形性质，得：∠ACB=∠BAC=45°，即△AEH及△CFG是等腰直角三角形，
所以AE=CF=EF，
因为正方形边长为12，所以AC=122，
所以EF=42,即S2=32，
故S1+S2=68.
题2. 基础强化探究
（1）如图2-1所示，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A(8，0)、C（0,1）、D为OA的中点，P是BC边上一点. 若△POD为等腰三角形，则满足条件的所有的P点坐标为
图2-1 【答案】(3,1)、 (2－3,1)、(2+3,1)；
【解析】解：因为D是OA的中点，A(8，0)，所以OD=4，
①当OD为底时，P在线段OD的垂直平分线上，即P点横坐标为2，
即P点坐标为（2,1）；
②当OD为腰时，分别以O、D为圆心，以OD的长为半径画弧，与线段BC的交点即为P，如图2-2所示.
图2-2
∵OP1=2，OC=1，
在Rt△COP1中，由勾股定理得：CP1=3，即P1(3,1)；
过D作DH⊥BC与H，
∵DP2=OD=2，
在Rt△DHP2中，由勾股定理得：HP1=3，即P2(2－3,1)；
同理，得P3(2+3,1).
（2）如图2-3是赵爽弦图变化而得的，由八个全等的直角三角形拼接而成，若图中正方形ABCD、EFGH、MNKT的面积分别为a、b、c. 若a+b+c=15，则b=
图2-3
【答案】5.
【解析】解：设八个直角三角形的面积为S，
