2021年高考数学一轮复习必备 第4课时：第三章 数列数列求和教案

数列求和的常用方法（三课时）

数列求和是数列的重要内容之一，也是高考数学的重点考查对象。数列求和的基本思路是，抓通项，找规律，套方法。下面介绍数列求和的几种常用方法：

一、直接（或转化）由等差、等比数列的求和公式求和

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.

1、 等差数列求和公式：dnnnaaanSnn2)1(2)(11

2、等比数列求和公式：)1(11)1()1(111qqqaaqqaqnaSnnn

3、 )1(211nnkSnkn 4、)12)(1(6112nnnkSnkn

5、 213)]1(21[nnkSnkn

例1（07高考山东文18）设{}na是公比大于1的等比数列，nS为数列{}na的前n项和．已知37S，且123334aaa，，构成等差数列．

（1）求数列{}na的等差数列．

（2）令31ln12nnban，，，，求数列{}nb的前n项和T．

解：（1）由已知得1231327:(3)(4)3.2aaaaaa，解得22a．

设数列{}na的公比为q，由22a，可得1322aaqq，．

又37S，可知2227qq，即22520qq，

解得12122qq，．由题意得12qq，．

11a．故数列{}na的通项为12nna．

（2）由于31ln12nnban，，，，由（1）得3312nna

3ln23ln2nnbn， 又13ln2nnnbb

{}nb是等差数列．

12nnTbbb 1()2(3ln23ln2)23(1)ln2.2nnbbnnn

故3(1)ln22nnnT．

练习：设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求1)32()(nnSnSnf的最大值.

高考数学一轮复习必备：第21课时：第三章数列数列的有关概念

一．课题：数列的有关概念

二．教学目标：明白得数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能依照递推公式写出数列的前几项，明白得na与nS的关系，培养观看能力和化归能力．

三．教学重点：数列通项公式的意义及求法，na与nS的关系及应用．

四．教学过程：

〔一〕要紧知识：

1．数列的有关概念；

2．数列的表示方法：〔1〕列举法；〔2〕图象法；〔3〕解析法；〔4〕递推法．

3．na与nS的关系：11(1)(2)nnnSnaSSn．

〔二〕要紧方法：

1．给出数列的前几项,求通项时,要对项的特点进行认确实分析、化归；

2．数列前n项的和nS和通项na是数列中两个重要的量，在运用它们的关系式1nnnaSS时，一定要注意条件2n ，求通项时一定要验证1a是否适合．

〔三〕例题分析：

例1． 求下面各数列的一个通项：

14916(1),,,,24578101113；

(2)数列的前n项的和 221nSnn；

(3)数列na的前n项和rraSnn(1为不等于0,1的常数) ．

解：〔1〕2(1)(31)(31)nnnann．

〔2〕当1n时 114aS， 当2n时 1nnnaSS41n，明显1a不适合41nan

∴4(1)41(2)nnann． 〔3〕由nnraS1可得当2n时111nnraS，)(11nnnnaarSS，

∴1nnnarara，∴1(1),nnarra ∵1,r ∴11rraann，∵0r，

∴{}na是公比为1rr的等比数列．

又当1n时，111raS，∴ra111，∴11()11nnrarr．

讲明：本例关键是利用nS与na的关系进行转化．

.

下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。 第4讲 数列求和

1．根本数列求和方法

(1)等差数列求和公式：Sn＝n〔a1＋an〕2＝na1＋n〔n－1〕2d．

(2)等比数列求和公式：Sn＝na1，q＝1，a1－anq1－q＝a1〔1－qn〕1－q，q≠1.

2．一些常见数列的前n项和公式

(1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝n〔n＋1〕2；

(2)1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝n2；

(3)2＋4＋6＋8＋…＋2n＝n2＋n．

3．数列求和的常用方法

(1)倒序相加法

如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离〞的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和即是用此法推导的．

(2)错位相减法

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和就是用此法推导的．

(3)裂项相消法

把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．

(4)分组转化法

一个数列的通项公式是由假设干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，那么求和时可用分组转化法，分别求和后再相加减．

(5)并项求和法

一个数列的前n项和，可两两结合求解，那么称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．

判断正误(正确的打“√〞，错误的打“×〞)

(1)当n≥2时，1n2－1＝1n－1－1n＋1.( )

(2)利用倒序相加法可求得sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＝44.5.( ) .

下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。 (3)假设Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan，当a≠0，且a≠1时，求Sn的值可用错位相减法求得．( )

答案：(1)× (2)√ (3)√

数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n，那么S17＝( )

第21课时：第三章 数列——数列的有关概念

一．课题：数列的有关概念

二．教学目标：理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项，理解na与nS的关系，培养观察能力和化归能力．

三．教学重点：数列通项公式的意义及求法，na与nS的关系及应用．

四．教学过程：

（一）主要知识：

1．数列的有关概念；

2．数列的表示方法：（1）列举法；（2）图象法；（3）解析法；（4）递推法．

3．na与nS的关系：11(1)(2)nnnSnaSSn．

（二）主要方法：

1．给出数列的前几项,求通项时,要对项的特征进行认真的分析、化归；

2．数列前n项的和nS和通项na是数列中两个重要的量，在运用它们的关系式1nnnaSS时，一定要注意条件2n ，求通项时一定要验证1a是否适合．

（三）例题分析：

例1． 求下面各数列的一个通项：

14916(1),,,,24578101113；

(2)数列的前n项的和 221nSnn；

(3)数列na的前n项和rraSnn(1为不等于0,1的常数) ．

解：（1）2(1)(31)(31)nnnann．

（2）当1n时 114aS， 当2n时 1nnnaSS41n，显然1a不适合41nan

∴4(1)41(2)nnann．

（3）由nnraS1可得当2n时111nnraS，)(11nnnnaarSS，

∴1nnnarara，∴1(1),nnarra ∵1,r ∴11rraann，∵0r，

∴{}na是公比为1rr的等比数列．

又当1n时，111raS，∴ra111，∴11()11nnrarr．

说明：本例关键是利用nS与na的关系进行转化．

例2．根据下面各个数列na的首项和递推关系，求其通项公式：