1 教学课题 人教版选修1-1第三章 导数
一、知识框架
3.1导数的概念及运算
1．函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率
函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为fx2－fx1x2－x1，若Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则平均变化率可表示为ΔyΔx.
2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
(1)定义
称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率limΔx→0 ΔyΔx＝limΔx→0 fx0＋Δx－fx0Δx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0 ΔyΔx＝limΔx→0 fx0＋Δx－fx0Δx.
(2)几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
3．函数f(x)的导函数
称函数f′(x)＝limΔx→0 fx＋Δx－fxΔx为f(x)的导函数，导函数有时也记作y′.
4．基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
f(x)＝c (c为常数) f′(x)＝__0__
f(x)＝xα (α∈Q*) f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x
f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x
f(x)＝ax (a>0) f′(x)＝axln_a
f(x)＝ex f′(x)＝ex
f(x)＝logax (a>0，且a≠1) f′(x)＝1xln a
2 f(x)＝ln x f′(x)＝ 1x
5.导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
描述：
例题：高中数学选修1-1(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案
第三章导数及其应用 3.3 导数的应用
一、学习任务
1. 能利用导数研究函数的单调性；会求一些函数的单调区间．
2. 掌握利用导数求函数的极值．
3. 掌握利用导数求连续函数在闭区间上的最值．
二、知识清单
利用导数研究函数的单调性 利用导数求函数的极值 利用导数求函数的最值
三、知识讲解
1.利用导数研究函数的单调性
一般地，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：
在某个区间 内，如果 ，那么函数 在这个区间内单调递增；如果
，那么函数 在这个区间内单调递减．
注：在 内可导的函数 在 上递增（或递减）的充要条件是 （或
）， 恒成立，且 在 的任意子区间内都不恒等于 ． (a,b) (x)>0f′ y=f(x)
(x)<0f′ y=f(x)
(a,b)f(x)(a,b)(x)⩾0f′
(x)⩽0f′
x∈(a,b)(x)f′(a,b)0
求下列函数的单调区间：
（1） ；（2）；
（3）．
解：（1）函数的定义域为 ．
令 ，解得
令 ，解得
所以 的单增区间为 ，；单减区间为 ．
（2） 的定义域为 ．f(x)=−3−9x+5x3
x2f(x)=x−lnx
f(x)=−+2x+11
3x3
x2
R
(x)=3−6x−9=3(x−3)(x+1),f′
x2
(x)>0f′
x<−1或x>3,
(x)<0f′
−1
f(x)(−∞,−1)(3,+∞)(−1,3)
f(x)(0,+∞)
(x)=1−=,f′1
xx−1
x
令 ，解得
令 ，解得
所以 的单增区间为 ，单减区间为 ．
（3） 的定义域为 ．
在 上恒成立，所以 在 上恒增．
(
x
)>0f′
x>1;
(x)<0f′
0
f(x)(1,+∞)(0,1)
f(x)R
(x)=−2x+2=(x−1+1,f′
x2)2
(x)>0f′Rf(x)R
若函数 在 内单调递减，求实数 的取值范围．
解：求导，得
因为 在 内单调递减，所以不等式 在 内恒成立，即
令 ，则
3.3.3 导数的实际应用
学
习
目 标 核
心
素 养
1.能利用导数解决实际问题．(重点)
2.提高综合运用导数知识解题的能力，培养化归与转化意识．(难点). 通过利用导数解决实际问题的学习，培养学生的数学建模、数学运算素养.
生活中的优化问题
(1)生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．
(2)利用导数解决优化问题的实质是求函数最值．
(3)解决优化问题的基本思路
上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程
1．将8分为两个非负数之和，使其立方和最小，则这两个数为( )
A．2和6 B．4和4
C．3和5 D．以上都不对
B [设一个数为x，则另一个数为8－x，其立方和y＝x3＋(8－x)3＝512－192x＋24x2(0≤x≤8)，则y′＝48x－192.令y′＝0，即48x－192＝0，解得x＝4.当0≤x<4时，y′<0；当40.所以当x＝4时，y取得极小值，也是最小值．所以这两个数为4和4.]
2．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－13x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )
A．13万件 B．11万件
C．9万件 D．7万件
C [定义域为(0，＋∞)，
令y′＝－x2＋81＝－(x＋9)(x－9)＝0得x＝9或x＝－9(舍)，
当x∈(0,9)时，f′(x)＞0；当x∈(9，＋∞)时，f′(x)＜0.
∴x＝9为函数的极大值点也是最大值点，
∴该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件．]
3．要做一个底面为长方形的带盖的箱子，其体积为72 cm3，其底面两邻边长之比为1∶2，则它的长为________，宽为________，高为________时，可使表面积最小．
6 cm 3 cm 4 cm [设底面宽为x，则长为2x，高为722x2＝36x2(0＜x＜6)，
1
（人教课标版）普通高中课程标准实验教科书《数学》目录（B版）
2
（人教课标版）普通高中课程标准实验教科书《数学》目录（B版）
必修一
第一章 集合
1.1 集合与集合的表示方法
1.1.1 集合的概念
1.1.2 集合的表示方法
1.2 集合之间的关系与运算
1.2.1 集合之间的关系
1.2.2 集合的运算
本章小结
阅读与欣赏
聪明在于学习，天才由于积累
第二章 函数
2.1 函数
2.1.1 函数
2.1.2 函数的表示方法
2.1.3 函数的单调性
2.1.4 函数的奇偶性 3 2.1.5 用计算机作函数的图象（选学）
2.2 一次函数和二次函数
2.2.1 一次函数的性质与图象
2.2.3 待定系数法
2.3 函数的应用（Ⅰ）
2.4 函数与方程
2.4.1 函数的零点
2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法
本章小结
阅读与欣赏
函数概念的形成与发展
第三章 基本初等函数（Ⅰ）
3.1 指数与指数函数
3.1.1 实数指数幂及其运算
3.1.2 指数函数
3.2 对数与对数函数
3.2.1 对数及其运算
3.2.2 对数函数
3.2.3 指数函数与对数函数的关系
3.3 幂函数
3.4 函数的应用（Ⅱ）
本章小结 4 阅读与欣赏
对数的发明
必修二
第一章 立体几何初步
1.1 空间几何体
1.1.1 构成空间几何体的基本元素
1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征
1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球
1.1.4 投影与直观图
1.1.5 三视图
1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
1.1.7 柱、锥、台和球的体积
实习作业
1.2 点、线、面之间的位置关系
