最新高考数学一轮复习极限-数列的极限、数学归纳法汇总

2011高考数学一轮复习极限-数列的极限、数学归纳法 精品资料

仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2 第92-93课时：第十二章 极限——数列的极限、数学归纳法

一知识要点 （一）数列的极限 1.定义：对于无穷数列{an}，若存在一个常数A，无论预选指定多么小的正数，都能在数列中找到一项aN，使得当n>N时，|an-A|<恒成立，则称常数A为数列{an}的极限，记作

Aannlim.

2.运算法则：若limnna、limnnb存在，则有 lim()limlimnnnnnnnabab；lim()limlimnnnnnnnabab

)0lim(limlimlimnnnnnnnnnbbab

a

3.两种基本类型的极限：<1> S=)11()1(1)1(0limaaaaann或不存在 <2>设()fn、()gn分别是关于n的一元多项式，次数分别是p、q，最高次项系数分别为

pa、pb且)(0)(Nnng,则)()()(0)()(limqpqpbaqpngnfqpn不存在

4.无穷递缩等比数列的所有项和公式：11aSq （|q|<1） 无穷数列{an}的所有项和：limnnSS （当limnnS存在时） （二）数学归纳法 数学归纳法是证明与自然数n有关命题的一种常用方法，其证题步骤为： ①验证命题对于第一个自然数0nn 成立。 精品资料 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3 ②假设命题对n=k(k≥0n

)时成立,证明n=k+1时命题也成立.

则由①②,对于一切n≥ 0n

的自然数,命题都成立。

二、例题（数学的极限）

例1.（1）nlim

112322n

nn= ;

2）．数列{an}和{bn}都是公差不为0的等差数列，且nnnbalim=3,则122limnnnaaanb= （3.）nlim

n

naa211(a>1)= ;

（4）．222

1321lim()111nnnnn

= ;

（5）.)2(lim2nnnn

= ;

（6）．等比数列{an}的公比为q=─1/3,则nnnaaaaaa24221lim= ;

例2．将无限循环小数••21.0；1.32••21化为分数.

例3．已知1)11(lim2bann

n

n,求实数a,b的值;

例4．数列{an},{bn}满足nlim(2an+bn)=1, nlim(an─2bn)=1,试判断数列{an},{bn}的极限是否存

在，说明理由并求nlim(anbn)的值.

例5．设首项为a，公差为d的等差数列前n项的和为An ,又首项为a,公比为r的等比数列

前n项和为Gn ,其中a≠0,|r|<1.令Sn=G1+G2+…+Gn,若有lim()nnnASn=a,求r的值. 精品资料 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢4 例6．设首项为1，公比为q(q>0)的等比数列的前n项之和为Sn,又设Tn=1(1,2,)nnSnS,求

nnT

lim.

例7．{an}的相邻两项an,an+1是方程x2─cnx+n)31(=0的两根，又a1=2,求无穷等比c1,c2,…

cn, …的各项和.

例8．在半径为R的圆内作内接正方形，在这个正方形内作内切圆，又在圆内作内接正方形，如此无限次地作下去，试分别求所有圆的面积总和与所有正方形的面积总和。

例9．如图，B1，B2，…，Bn,…顺次为曲线y=1/x(x>0)上的点，A1，A2，…，An…顺次为ox轴

上的点，且三角形OB1A1，三角形A1B2A2，三角形An─1BnAn为等腰三角形（其中 Bn为直角),

如果An的坐标为(xn,0).

(1)求出An的横坐标的表达式;

(2)求||||lim11nnnnnAAAA.

An─1 A1 A2

A

n

Bn

B

3

B

2

B1

y

x O

rn

rn+1

an 精品资料

仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢5 二．例题（数学归纳法） 例1．用数学归纳法证明2n>n2 (n∈N,n5),则第一步应验证n= ;

例2．用数学归纳法证明)1,(,

12131211nNnnn,第一步验证不等式

成立； 例3.是否存在常数a,b,c,使得等式1·22＋2·32＋……＋n(n＋1)2＝12)1(nn(an2＋bn＋c)对一切自然数n成立？并证明你的结论.(89年)

例4.已知数列{an}=n131211,记Sn=a1+a2+a3+…+an,用数学归纳法证明Sn=(n+1)an-n.

例5．证明：n2

131211>22n (n∈N,n2)

例6．证明：xn─nan─1x+(n─1)an能被(x─a)2整除(a≠0). 例7.在1与2之间插入n个正数naaaa,,,,321

，使这2n个数成等比数列；又在1与2之间

插入n个正数nbbbb,,,,321

使这2n个数成等差数列．记

nnnnbbbbBaaaaA321321,． （Ⅰ）求数列nA和nB的通项；（Ⅱ）当7n时，比较nA与nB的大小，并证明你的结论．

例8．若数列{an}满足对任意的n有：Sn=2)(1naan,试问该数列是怎样的数列？并证明你的

结论. 精品资料 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢6 例9．已知数列bn是等差数列，bbbb112101145，…。

（Ⅰ）求数列bn的通项bn；（Ⅱ）设数列na的通项abnanlog11（其中a0，且a1），记S

n是数列an的前n项和。试比较Sn与131loganb的大小，并证明你的结论。

练习（数列的极限） 1. 已知{an}是等比数列,如果a1＋a2＋a3＝18,a2＋a3＋a4＝－9,Sn＝a1＋a2＋……＋an,那么

nnS

lim的值等于( )(89年)

(A)8 (B)16 (C)32 (D)48 2. )]211()511)(411)(311([limnn

n

的值等于( )(91年)

(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 3.在等比数列{an}中,a1＞1,且前n项和Sn满足nnna1Slim,那么a1的取值范围是( )(98年)

(A)(1,＋∞) (B)(1,4) (C)(1,2) (D)(1,2) 7.)等于 ( ) (A)0 (B)  (C) (D)5 8．122321222)2221(limnnnn

nnCCC

等于：（A）16 （B）8 （C）4 （D）2

9． 已知各项均为正数的等比数列{an}的首项a1=1,公比为q,前n项和为Sn,nnnSS1lim=1,则公

比q的取值范围是： （A）.q≥1 （B）.01

10.



32323221limnnnnnnn

n的值为 ( ) 精品资料 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢7 (A)0 (B)1 (C)2 (D)不存在 11.已知{an}是公差不为0的等差数列，Sn是{an}的前n项和，那么nnnSnalim等于___. 12.已知等差数列{an}的公差d＞0，首项a1＞0，Snnn1i1iinSlim则,aa1＝______.(93年)

13.如果nnalim存在，且9423limnnnaa，则nnalim＝________ 14.11)2(3)2(3limnnnnn＝____________.(86年) 15.)1n2n1n31n21n1(lim2222n



＝____________.(87年)

16.已知等比数列{an}的公比q＞1，a1＝b(b≠0)，则n876n321naaaaaaaalim＝___.

17．求nnnnnaaaalim= （a>0); 18．数列••81.0,••8100.0,••810000.0,…的前n项和及各项和S= . 19.nlimnnn21)1(21211212121122.= . 20.已知数列a1,a2,……an,……的前项和Sn与an的关系是Sn＝－ban＋1－nb)(11,其中b是与n无关的常数,且b≠－1； Ⅰ.求an和an＋1的关系式; Ⅱ.写出用n和b表示an的表达式; Ⅲ.当0＜b＜1时,求极限Sn.(87年)

21．在边长为a的正方形ABCD中内依次作内接正方形AiBiCiDi(i=1,2,3,…),使内接 正方形与相邻前一个正方形的一边夹角为,求所有正方形的面积之和.