角平分线判定

角平分线的性质和判定

一、基础知识回顾。

角平分线的性质：

角平分线的判定：

一、分线的判定定理

角平分线的判定：到角两边距离相等的点在 。

如图：∵PD⊥OA,PF⊥OB，PD=PE，

∴P在∠AOB的平分线上，或（∠AOP=∠BOP）

1、如图，90C，AD平分CAB，BD=2CD，BC=9，求点D到AB的距离。

DCBA

2、如图，求作到三条直线距离相等的所有点。

3、如图，90BC，M是BC的中点，DM平分ADC，求证：AM平分DAB。

MDCBA

4. 如图所示，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若BD=CD.

求证：AD平分∠BAC.

第4题图 5、如图，DEAB，DFAC，DE=DF，求证：GE=GF。

FGDCBAE

6、如图，CDAB，BEAC，OBOC，求证12。

O21ABCDE

7、如图，90C，AD是BAC的平分线，DEAB，BD=DF，求证：CF=EB。

FDCBAE

8 如图，BE=CF，BE⊥AC于F，CE⊥AB于E,BF和CE交于点D，求证：AD平分∠BAC.

9.如图在△ABC中，∠B=∠C ,D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：AD平分∠BAC

CEDFABFEDABC10.如图BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE,CF相交于点D，且CE=BF，求证:点D在∠BAC的平分线上

11，在Rt△ABC中，∠C=90。，AC=BC，AD为∠BAC的平分线，AE=BC，DE⊥AB，垂足为E，求证△DBE的周长等于AB.

⾓平分线的性质定理和判定定理（含答案）

⼏何专题2：⾓平分线的性质定理和判定定理

⼀、 知识点(抄⼀遍)：1. ⾓平分线：把⼀个⾓平均分为两个相同的⾓的射线叫该⾓的平分线.

2. ⾓平分线的性质定理：

⾓平分线上的点，到这个⾓的两边的距离相等. 3. ⾓平分线的判定定理：

⾓的内部到⾓的两边距离相等的点在⾓的平分线上. ⼆、 专题检测题1. 证明⾓平分线的性质定理.

（注意：证明⽂字性命题的三个步骤：①根据题意，画出图形；②写出已知和求证；③写出证明过程.） 2. 证明⾓平分线的判定定理. 3. 定理的⼏何语⾔表⽰ （1）⾓平分线的性质定理：

∵ ， ∴ . （2）⾓平分线的判定定理：

∵ ， ∴ .

4. 已知：如图所⽰，BN 、CP 分别是∠ABC 、∠ACB 的⾓平分线，BN 、CP 相交于O

点，连接AO ，并延长交BC 于M 求证：AM 是∠BAC 的⾓平分线.

5. 如图，已知BE ⊥AC ，CF ⊥AB ，点E ，F 为垂⾜，D 是BE 与CF 的交点，AD 平分∠BAC. 求证：BD=CD.B

6. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=BC. AD 是∠CAB 的平分线. 求证：AB=AC+CD.

7. 如图，∠B=∠C=90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ，求证：AM 平分∠DAB.

8. 如图,已知P 是∠AOB 平分线上的⼀点.PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，垂⾜分别是点C ，D ，CD 与OP 交于点M. 求证：（1）∠PCD=∠PDC ；

（2）OP 是CD 的垂直平分线； （3）OC=OD.O

⼏何专题2：⾓平分线的性质定理和判定定理答案1. 证明⾓平分线的性质定理.

已知：如图，OC 平分∠AOB ，点P 在OC 上，

PD ⊥OA 于点D ，PE ⊥OB 于点E

求证: PD=PE

证明：∵OC 平分∠ AOB

∴ ∠1= ∠2

∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB ∴∠PDO= ∠PEO 在△PDO 和△PEO 中

角平分线的性质

［问题］如图，是一个平分角的仪器，其中AB二AD, BC=DC,将点A放在角的顶点，AB和AD 沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE, AE就是角平分线，你能说明它的道理吗？

［操作］

作已知角的平分线的方法：

已知：NAOB.

求作：NAOB的平分线.

作法：

(1)以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB于M、N.

1

(2)分别以M、N为圆心，大于5 MN的长为半径作弧.两弧在

ZAOB内部交于点C.

(3)作射线OC,射线OC即为所求.

［探索］

按以下步骤折纸

将NAOB对折，再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边)，然后展开，观察两次折叠 形成的三条折痕,你能得出什么结论？

［证明］

已知：OC是NAOB的平分线，点P在OC上，PD±OA, PELOB,垂足分别是D、E

求证：PD二PE

证明：

［几何语言描述］

P在ZAOB的平分线上

PD 1 OA 于 D , PE 1 OB 于 E

・•. PD = PE

角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

【例1】如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，这个集贸市场应 建于何处？

【例2】如图，4ABC的角平分线BM、CN相交于点P.求证：点P 到三边AB、BC、CA的距离相等.

【例3】如图，D是AABC的外角ZACE的平分线上一点，DF 1 AC于F，DE 1BC于E， 且交BC的延长线于E。

求证：CE = CF。

［例 4】已知：AD是AABC的角平分线，DE±AB, DFXAC,垂足分别是E、

F, BD=CD,求证：NB=NC.

【例5】如图，在AABC中，已知AC=BC,NC=90°, AD是AABC的角平分线，DELAB,垂足为E.求证:

AB=AC+CD.

J

C 。 3

【例6】如图，OC是/AOB的角平分线，P是OC上一点，PDXOA交于点D, PEXOB交于点E, F是OC上 除点P、O外一点，连接DF、EF,贝U DF与EF的关系如何？证明你的结论

王老师班—第六讲角平分线的性质与判定重难点

重点：

1. 角平分线的定义；

2. 角平分线的画法（尺规作图）。

角平分线的定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。

角平分线的画法（尺规作图）：

1.以点O为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交角AOB两边 于点M，N。

2.分别以点M，N为圆心，以大于1/2MN的长度为半径画弧， 两弧交于点P。

3.作射线OP。

射线OP即为所求。

证明：连接PM,PN

在△POM和△PON中

∵OM=ON,PM=PN,PO=PO

∴△POM≌△PON(SSS)

∴∠POM=∠PON，即射线OP为角AOB的角平分线

难点：

1. 角平分线的性质；

2. 角平分线的判定。

角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。

角平分线的判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

1.（2013•雅安）如图，AB∥CD，AD平分∠BAC，且∠C=80°，则∠D的度数为（ ）

A． 50° B． 60° C． 70° D． 100°

考点： 平行线的性质；角平分线的定义．

分析： 根据角平分线的定义可得∠BAD=∠CAD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BAD=∠D，从而得到∠CAD=∠D，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．

解答： 解：∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠CAD，

∵AB∥CD，

∴∠BAD=∠D，

∴∠CAD=∠D，

在△ACD中，∠C+∠D+∠CAD=180°，

∴80°+∠D+∠D=180°，

解得∠D=50°．

故选A．

点评： 本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键．

点评： 本题考查了角平分线性质和勾股定理的运用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．