抛物线知识点归纳总结与金典习题
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抛物线
抛
物
线 )0(22ppxy
)0(22ppxy
)0(22ppyx
)0(22ppyx
定义 平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。
{MFM=点M到直线l的距离}
范围 0,xyR 0,xyR ,0xRy ,0xRy
对称性 关于x轴对称 关于y轴对称
焦点 (2p,0) (2p,0) (0,2p) (0,2p)
焦点在对称轴上
顶点 (0,0)O
离心率 e=1
准线
方程 2px 2px 2py 2py
准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。
顶点到准线的距离 2p
焦点到准线的距离 p
焦半径
11(,)Axy 12pAFx 12pAFx 12pAFy 12pAFy x y
O l
F x y
O l
F
l F
x y
O x y
O l
F 焦 点弦
长
AB
12()xxp 12()xxp 12()yyp 12()yyp
焦点弦AB的几条性质11(,)Axy22(,)Bxy
以AB为直径的圆必与准线l相切
若AB的倾斜角为，则22sinpAB 若AB的倾斜角为，则22cospAB
2124pxx 212yyp
112AFBFABAFBFAFBFAFBFp
切线
方程 00()yypxx 00()yypxx 00()xxpyy 00()xxpyy
1. 直线与抛物线的位置关系
直线，抛物线，
，消y得：
（1）当k=0时，直线l与抛物线的对称轴平行，有一个交点；
（2）当k≠0时，
Δ＞0，直线l与抛物线相交，两个不同交点；
Δ=0， 直线l与抛物线相切，一个切点；
Δ＜0，直线l与抛物线相离，无公共点。
（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定）
o x 22,Bxy F y 11,Axy 2. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法
直线l：bkxy 抛物线，)0(p
① 联立方程法：
pxybkxy220)(2222bxpkbxk
设交点坐标为),(11yxA,),(22yxB，则有0,以及2121,xxxx，还可进一步求出bxxkbkxbkxyy2)(212121，2212122121)())((bxxkbxxkbkxbkxyy
在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如
a. 相交弦AB的弦长
2122122124)(11xxxxkxxkABak21
或 2122122124)(1111yyyykyykABak21
b. 中点),(00yxM, 2210xxx， 2210yyy
② 点差法：
设交点坐标为),(11yxA，),(22yxB，代入抛物线方程，得
1212pxy 2222pxy
将两式相减，可得
)(2))((212121xxpyyyy
2121212yypxxyy
a. 在涉及斜率问题时，212yypkAB
b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段AB的中点为),(00yxM，00212121222ypypyypxxyy，
即0ypkAB， 同理，对于抛物线)0(22ppyx，若直线l与抛物线相交于BA、两点，点),(00yxM是弦AB的中点，则有pxpxpxxkAB0021222
（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）
一、抛物线的定义及其应用
例1、设P是抛物线y2＝4x上的一个动点．
(1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；
(2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．
例2、(2011²山东高考)设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一 点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是( )
A．(0,2) B．[0,2] C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)
二、抛物线的标准方程和几何性质
例3、抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，经过F的直线与抛物线交于A、B两点，交准线于C点，点A在x轴上方，AK⊥l，垂足为K，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，则△AKF的面积是 ( )
A．4 B．33 C．43 D．8
例4、过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A、B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3则此抛物线的方程为 ( )
A．y2＝32x B．y2＝9x C．y2＝92x D．y2＝3x
三、抛物线的综合问题
例5、(2011²江西高考)已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1
(1)求该抛物线的方程；
(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若OC＝
OA＋λOB，求λ的值． 例6、(2011²湖南高考)(13分)已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C相交于点A，B，l2与轨迹C相交于点D，E，求AD²
EB的最小值
例7、已知点M(1，y)在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，M点到抛物线C的焦点F的距离为2，直线l：y＝－12x＋b与抛物线C交于A，B两点．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若以AB为直径的圆与x轴相切，求该圆的方程．
例题答案解析
一、抛物线的定义及其应用
例1、(1)如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1.
由抛物线的定义知：点P到直线x＝－1的距离等于点P到焦点F的距离．
于是，问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小．显然，连结AF交曲线于P点，则所求的最小值为|AF|，即为5.
(2)如图，自点B作BQ垂直准线于Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4.即|PB|＋|PF|的最小值为4.
例2、解析：圆心到抛物线准线的距离为p，即p＝4，根据已 知只要|FM|>4即可．根据抛物线定|FM|＝y0＋2由y0＋2>4，解得y0>2，故y0的取值范围是(2，＋∞)．
二、抛物线的标准方程和几何性质
例3、设点A(x1，y1)，其中y1>0.由点B作抛物线的准线的垂线，垂足为B1.则有
|BF|＝|BB1|；又|CB|＝2|FB|，因此有|CB|＝2|BB1|，cos∠CBB1＝|BB1||BC|＝12，∠CBB1＝π3.即直线AB与x轴的夹角为π3.又|AF|＝|AK|＝x1＋p2＝4，因此y1＝4sinπ3＝23，因此△AKF的面积等于12|AK|²y1＝12³4³23＝43.
例4．分别过点A、B作AA1、BB1垂直于l，且垂足分别为A1、B1，由已知条件|BC|＝2|BF|得|BC|＝2|BB1|，∴∠BCB1＝30°，又|AA1|＝|AF|＝3，
∴|AC|＝2|AA1|＝6，∴|CF|＝|AC|－|AF|＝6－3＝3，∴F为线段AC的中点．故点F到准线的距离为p＝12|AA1|＝32，故抛物线的方程为y2＝3x.
三、抛物线的综合问题
例5、(1)直线AB的方程是y＝22(x－p2)，与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，所以：x1＋x2＝5p4，由抛物线定义得：|AB|＝x1＋x2＋p＝9， 所以p＝4，从而抛物线方程是y2＝8x.
(2)由p＝4,4x2－5px＋p2＝0可简化为x2－5x＋4＝0，从而x1＝1，x2＝4，y1＝－22，y2＝42，从而A(1，－22)，B(4,42)；
设 OC＝(x3，y3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22)．
又y23＝8x3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)．
即(2λ－1)2＝4λ＋1.解得λ＝0，或λ＝2.
例6、 (1)设动点P的坐标为(x，y)，由题意有x－12＋y2－|x|＝1.化简得y2＝2x＋2|x|. 当x≥0时，y2＝4x；当x<0时，y＝0.
所以，动点P的轨迹C的方程为y2＝4x(x≥0)和y＝0(x<0)．
(2)由题意知，直线l1的斜率存在且不为0，设为k，则l1的方程为y＝k(x－1)．由 y＝kx－1y2＝4x，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0. (7分)
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个实根，于是x1＋x2＝2＋4k2，x1x2＝1. (8分)
因为l1⊥l2，所以l2的斜率为－1k. 设D(x3，y3)，E(x4，y4)，则同理可得
x3＋x4＝2＋4k2，x3x4＝1.
＝(x1＋1)(x2＋1)＋(x3＋1)²(x4＋1)
＝ x1x2＋(x1＋x2)＋1＋x3x4＋(x3＋x4)＋1 (11分)
＝1＋(2＋4k2)＋1＋1＋(2＋4k2)＋1＝8＋4(k2＋1k2)≥8＋4³2k2²1k2＝16.
当且仅当k2＝1k2，即k＝±1时， AD²EB取最小值16.
例7 、(1)抛物线y2＝2px(p>0)的准线为x＝－p2，由抛物线定义和已知条件可知
|MF|＝1－(－p2)＝1＋p2＝2，解得p＝2, 故所求抛物线C的方程为y2＝4x.
