江苏省苏锡常镇2018届高三5月调研(二模)数学(文)试题(WORD版)

（第4题）南通市2018届高三第二次调研测试 数学学科参考答案及评分建议一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分． 1． 已知集合{}{} 1012 3 10 2 U A =-=-，，，，，，，,则U A =ð ▲ ．【答案】{}13，2． 已知复数12i 34i z a z =+=-，,其中i 为虚数单位．若12z z 为纯虚数,则实数a 的值为 ▲ ． 【答案】433． 某班40名学生参加普法知识竞赛,成绩都在区间[]40100，上,其频率分布直方图如图 所示,则成绩不低于60分的人数为 ▲ ．【答案】304． 如图是一个算法流程图,则输出的S 的值为 ▲ ．【答案】125 5． 在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ,以线段AC ,BC 为邻边作矩形,则该矩形的面积大于32 cm 2的概率为 ▲ ．【答案】136． 在ABC △中,已知145AB AC B ===︒，,则BC 的长为▲ ．7． 在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲线C 与双曲线2213y x -=有公共的渐近线,且经过点()2P -,则双曲线C 的焦距为 ▲ ．【答案】8． 在平面直角坐标系xOy 中,已知角αβ，的始边均为x 轴的非负半轴,终边分别经过点(12)A ，,(51)B ，,则tan()αβ-的值为 ▲ ． 【答案】979． 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若396SS S ，，成等差数列,且83a =,则5a 的值为成绩/分（第3题）▲ ． 【答案】6- 10．已知a b c ，，均为正数,且4()abc a b =+,则a b c ++的最小值为 ▲ ． 【答案】811．在平面直角坐标系xOy 中,若动圆C上的点都在不等式组33030x x x ⎧⎪-+⎨⎪++⎩≤，≥，≥表示的平面区域内,则面积最大的为 ▲ ． 【答案】22(1)4x y -+=12．设函数31e 02()320x x f x x mx x -⎧->⎪=⎨⎪--⎩≤，，，(其中e 为自然对数的底数)有3个不同的零点, 则实数m 的取值范围是 ▲ ． 【答案】()1+∞，13．在平面四边形ABCD 中,已知1423A B B C C D D A ====，，，,则AC BD ⋅的值为 ▲ ． 【答案】1014．已知a 为常数,函数()f x =的最小值为23-,则a 的所有值为 ▲ ．【答案】144，填空题要求:第6题:复合根式也算正确。

2018届江苏省南通市高三第二次调研测试（数学）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1． 曲线32y x x =-在点（1,－1）处的切线方程是 ▲ ． 2． 若15ii 3ia b +=+-（a b ∈，R ，i 为虚数单位），则ab = ▲ ． 3．命题“若实数a 满足2a ≤，则24a <”的否命题是 ▲ 命题（填“真”、“假”之一）． 4． 把一个体积为27cm 3的正方体木块表面涂上红漆，然后锯成体积为1 cm 3的27个小正方体，现从中任取一块，则这一块至少有一面涂有红漆的概率为 ▲ ．5． 某教师出了一份三道题的测试卷，每道题1分，全班得3分、2分、1分和0分的学生所占比例分别为30％、50％、10％和10％，则全班学生的平均分为 ▲ 分．6．设{}(20)(01)M m m ==+∈R ，，，a a 和{}(11)(11)N n n ==+-∈R ，，，b b 都是元素为向量的集合，则M ∩N = ▲ ．7． 在如图所示的算法流程图中，若输入m = 4，n = 3，则输出的a = ▲ ．8．设等差数列{}n a 的公差为正数，若1231231580a a a a a a ++==，，则111213a a a ++= ▲ ．9．设αβ，是空间两个不同的平面，m ，n 是平面α及β外的两条不同直线．从“①m ⊥n ；②α⊥β；③n ⊥β；④m ⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题： ▲ （用代号表示）．10．定义在R 上的函数()f x 满足：()(2)f x f x =+，当[]35x ∈，时，()24f x x =--．下列四个不等关系：()()sin cos 6π6πf f <；(sin1)(cos1)f f >；()()cos sin 332π2πf f <；(cos2)(sin 2)f f >．其中正确的个数是 ▲ ．11．在平面直角坐标系xOy 中，已知A 、B 分别是双曲线2213y x -=的左、右焦点，△ABC 的顶点C 在双曲线的右支上，则sin sin sin A BC-的值是 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，设点()11P x y ，、()22Q x y ，，定义：1212()d P Q x x y y =-+-，． 已知点()10B ，，点M 为直线220x y -+=上的动点，则使()d B M ，取最小值时点M 的坐标是▲ ．13．若实数x ，y ，z ，t 满足110000x y z t ≤≤≤≤≤，则x z y t +的最小值为 ▲ ．14．在平面直角坐标系xOy 中，设A 、B 、C 是圆x 2+y 2=1上相异三点，若存在正实数λμ，，使得OC u u u r =OA OB λμ+u u u r u u u r ，则()223λμ+-的取值范围是 ▲ ．【填空题答案】1. x －y －2=02. 825-3. 真4. 26275. 26. (){}20，7. 128. 1059. ①③④⇒②（或②③④⇒①） 10. 1 11. 21- 12. ()312， 13. 150 14. ()2+∞，二、解答题：本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，平面PAC ⊥平面ABC ，点E 、F 、O 分别为线段PA 、PB 、AC 的中点，点G 是线段CO的中点，4AB BC AC ===，22PA PC ==．求证： （1）PA ⊥平面EBO ； （2）FG ∥平面EBO ．【证明】由题意可知，PAC ∆为等腰直角三角形，ABC ∆为等边三角形． …………………2分（1）因为O 为边AC 的中点，所以BO AC ⊥，因为平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC I 平面ABC AC =， BO ⊂平面ABC ，所以BO ⊥面PAC ． …………………5分PABCOEFG(第15题)因为PA ⊂平面PAC ，所以BO PA ⊥，在等腰三角形PAC 内，O ，E 为所在边的中点，所以OE PA ⊥， 又BO OE O =I ，所以PA ⊥平面EBO ；…………………8分 （2）连AF 交BE 于Q ，连QO ．因为E 、F 、O 分别为边PA 、PB 、PC 的中点，所以2AO OG =，且Q 是△PAB 的重心，…………………10分于是2AQAO QF OG==，所以FG //QO . …………………12分 因为FG ⊄平面EBO ，QO ⊂平面EBO ，所以FG ∥平面EBO ． …………………14分【注】第（2）小题亦可通过取PE 中点H ，利用平面FGH //平面EBO 证得.16．（本小题满分14分）已知函数)()2cos 3sin 222xx x f x =-．（1）设ππ22θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，且()31f θ=，求θ的值； （2）在△ABC 中，AB =1，()31f C =，且△ABC 3，求sin A +sin B 的值．【解】（1）2()232sin cos 222x x xf x =-3(1cos )sin x x +-=()π2cos 36x +． (3)分由()π2cos 3316x ++=，得()π1cos 62x +=， ………………5分于是ππ2π()63x k k +=±∈Z ，因为ππ22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，所以ππ26x =-或． ………………7分（2）因为(0π)C ∈，，由（1）知π6C =． ………………9分因为△ABC 331πsin 26ab =，于是23ab =. ① 在△ABC 中，设内角A 、B 的对边分别是a ，b . 由余弦定理得2222π12cos66a b ab a b =+-=+-，所以227a b +=． ② PABCOE FGQ(第17题)由①②可得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，或 2.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 于是2a b += ………………12分由正弦定理得sin sin sin 112A B C a b ===，所以()1sin sin 12A B a b +=+=． ………………14分 17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知椭圆E ：22221(0)y x a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A 、2A ，上、下顶点分别为1B 、2B ．设直线11A B 的倾斜角的正弦值为13，圆C 与以线段2OA 为直径的圆关于直线11A B 对称． （1）求椭圆E 的离心率；（2）判断直线11A B 与圆C 的位置关系，并说明理由；（3）若圆C 的面积为π，求圆C 的方程． 【解】（1）设椭圆E 的焦距为2c （c >0），因为直线11A B 的倾斜角的正弦值为1313=，于是228a b =，即2228()a a c =-，所以椭圆E 的离心率e …………4分 （2）由e =可设()40a k k =>，c，则b =， 于是11A B的方程为：40x k -+=， 故2OA 的中点()20k ,到11A B 的距离d =2423k kk +=， …………………………6分 又以2OA 为直径的圆的半径2r k =，即有d r =， 所以直线11A B 与圆C 相切． …………………………8分 （3）由圆C 的面积为π知圆半径为1，从而12k =， …………………………10分设2OA 的中点()10,关于直线11A B ：2220x y -+=的对称点为()m n , ， 则21,11222022n m m n ⎧⋅=-⎪-⎨+⎪-⋅+=⎩． …………………………12分解得4213m n ==, ．所以，圆C 的方程为()()2242113x y -+=-．…………………14分18．（本小题满分16分）如图，实线部分的月牙形公园是由圆P 上的一段优弧和圆Q 上的一段劣弧围成，圆P 和圆Q 的半径都是2km ，点P 在圆Q 上，现要在公园内建一块顶点都在圆P 上的多边形活动场地． （1）如图甲，要建的活动场地为△RST ，求场地的最大面积； （2）如图乙，要建的活动场地为等腰梯形ABCD ，求场地的最大面积．【解】（1）如右图，过S 作SH ⊥RT 于H ，S △RST =RT SH ⋅21． ……………………2分由题意，△RST 在月牙形公园里，RT 与圆Q 只能相切或相离； ……………………4分RT 左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，则有RT ≤4，SH ≤2，（第17题甲） DC B QPNMS MN PQ T（第17题乙）TQPN MSR甲乙当且仅当RT 切圆Q 于P 时（如下左图），上面两个不等式中等号同时成立．此时，场地面积的最大值为S △RST =1422⨯⨯=4（km 2）． (6)分（2）同(1)的分析，要使得场地面积最大，AD 左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，AD 必须切圆Q 于P ，再设∠BPA =θ，则有()11π22sin 222sin(π2)4(sin sin cos )0222ABCD S =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-=+<<四边形θθθθθθ．……………………8分令θθθcos sin sin +=y ，则)sin (sin cos cos cos θθθθθ-++='y 1cos cos 22-+=θθ． ………………… 11分若0='y ，1πcos 23θθ==，，又()π03θ∈，时，0>'y ，()ππ32θ∈，时，0<'y ， …………………14分函数θθθcos sin sin +=y 在π3θ=处取到极大值也是最大值，故π3θ=时，场地面积取得最大值为（km 2）． …………………16分 19． （本小题满分16分）设定义在区间[x 1， x 2]上的函数y =f (x )的图象为C ，M 是C 上的任意一点，O 为坐标原点，设向量OA u u u r=()()11x f x ，，()()22OB x f x =u u u r ，，OM u u u u r =(x ，y )，当实数λ满足x =λ x 1+(1－λ)x 2时，记向量ON u u u r =λOA u u u r+(1－λ)OB u u u r ．定义“函数y =f (x )在区间[x 1，x 2]上可在标准k 下线性近似”是指“MN u u u u r≤k 恒成立”，其中k 是一个确定的正数．（1）设函数 f (x )=x 2在区间[0，1]上可在标准k 下线性近似，求k 的取值范围；（2）求证：函数()ln g x x =在区间1e e ()m m m +⎡⎤∈⎣⎦R ，上可在标准k=18下线性近似．（参考数据：e=2.718，ln(e －1)=0.541） 【解】（1）由ON u u u r =λOA u u u r +(1－λ)OB u u u r 得到BN u u u r =λBA u u u r ，所以B ，N ，A 三点共线， ……………………2分又由x =λ x 1+(1－λ) x 2与向量ON u u u r =λOA u u u r+(1－λ)OB u u u r ，得N 与M 的横坐标相同． ……………4分对于 [0，1]上的函数y=x 2，A (0，0)，B (1，1)，则有()221124MN x x x =-=--+u u u u r，故104MN ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，u u u u r ； 所以k的取值范围是)14⎡+∞⎢⎣，． ……………………6分（2）对于1e e m m +⎡⎤⎣⎦，上的函数ln y x =，A (e m m ，)，B (1e 1m m ++，)， ……………………8分则直线AB 的方程11(e )eem m my m x +-=--， ……………………10分 令11()ln (e )e e m m mh x x m x +=----，其中()1e e m m x m +⎡⎤∈∈⎣⎦R ，，于是111()e em m h x x +'=--， ……………………13分列表如下：又()1e 2(e e )ln e 1e 1m m h +--=--≈-0.12318<，从而命题成立． ……………………16分 20．(本小题满分16分)已知数列{}n a 满足2*12()n a a a n n +++=∈N L ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意给定的*k ∈N ，是否存在*p r ∈N ，（k p r <<）使111k p ra a a ，，成等差数列？若存在，用k 分别表示p 和r （只要写出一组）；若不存在，请说明理由；（3）证明：存在无穷多个三边成等比数列且互不相似的三角形，其边长为123,,n n n a a a ． 【解】（1）当1n =时，11a =；当*2n n ∈N ≥，时，2121(1)n a a a n -+++=-L ， 所以22(1)21n a n n n =--=-；综上所述，*21()n a n n =-∈N ． ……………………3分 （2）当1k =时，若存在p ，r 使111k p r a a a ，，成等差数列，则1213221r p k pa a a p -=-=-，因为2p ≥，所以0r a <，与数列{}n a 为正数相矛盾，因此，当1k =时不存在； …………5分当2k ≥时，设k p r a x a y a z ===，，，则112x z y +=，所以2xyz x y=-， ……………………7分令21y x =-，得(21)z xy x x ==-，此时21k a x k ==-，212(21)1p a y x k ==-=--， 所以21p k =-，2(21)(43)2(452)1r a z k k k k ==--=-+-， 所以2452r k k =-+；综上所述，当1k =时，不存在p ，r ；当2k ≥时，存在221,452p k r k k =-=-+满足题设.……………………10分（3）作如下构造：12322(23)(23)(25)(25)n n n a k a k k a k =+=++=+，，，其中*k ∈N ， 它们依次为数列{}n a 中的第2265k k ++项，第2288k k ++项，第221013k k ++项， ……12分显然它们成等比数列，且123n n n a a a <<，123n n n a a a +>，所以它们能组成三角形．由*k ∈N 的任意性，这样的三角形有无穷多个． ……………………14分下面用反证法证明其中任意两个三角形111A B C 和222A B C 不相似： 若三角形111A B C 和222A B C 相似，且12k k ≠，则11222212(23)(25)(23)(25)(23)(23)k k k k k k ++++=++， 整理得121225252323k k k k ++=++，所以12k k =，这与条件12k k ≠相矛盾， 因此，任意两个三角形不相似．故命题成立． ……………………16分 【注】1．第（2）小题当a k 不是质数时，p ，r 的解不唯一；2. 第（3）小题构造的依据如下：不妨设123n n n <<，且123n n n a a a ，，符合题意，则公比q >1，因123n n n a a a <<，又123n n n a a a +>，则21q q +>，所以1q <<因为三项均为整数，所以q为1⎛ ⎝内的既约分数且1n a 含平方数因子，经验证，仅含21或23时不合，所以12*(23)()n a k p k p =+∈N ，；3．第（3）小题的构造形式不唯一．数学II （附加题）21．【选做题】本题包括A ，B ，C ，D 四小题，请选定其中．．．．．两题．．作答．．，每小题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲自圆O 外一点P 引圆的一条切线PA ，切点为A ，M 为PA 的中点， 过点M 引圆O 的割线交该圆于B 、C 两点，且∠BMP =100°， ∠BPC =40°，求∠MPB 的大小．【解】因为MA 为圆O 的切线，所以2MA MB MC =⋅． 又M 为PA 的中点，所以2MP MB MC =⋅． 因为BMP PMC ∠=∠，所以BMP PMC ∆∆∽． ………………5分于是MPB MCP ∠=∠． 在△MCP中，由180MPB MCP BPC BMP ∠+∠+∠+∠=︒，得∠MPB =20°． ………………10分 B ．选修4—2：矩阵与变换已知二阶矩阵A a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，矩阵A 属于特征值11λ=-的一个特征向量为111 ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦α，属于特征值24λ=的一个特征向量为232⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α．求矩阵A ．【解】由特征值、特征向量定义可知，A 1α1λ=1α， 即11111 a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得11.a b c d -=-⎧⎨-=⎩，……………………5分 同理可得3212328a b c d +=⎧⎨+=⎩，， 解得2321， ， ， a b c d ====．因此矩阵A 2321 ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． …………10分 C ．选修4—4：坐标系与参数方程（第21—A 题）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为()2cos sin ，为参数x y ααα=⎧⎨=⎩．以直角坐标系原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()πcos 4ρθ-=P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大值．【解】()πcos 4ρθ-=cos sin 4ρθρθ+=，则直线l 的直角坐标方程为4x y +=． …………………4分设点P 的坐标为()2cos sin ，αα，得P 到直线l 的距离d =，即d =，其中cos sinϕϕ==…………………8分当()sin 1αϕ+=-时，max d = ………………10分 D ．选修4—5：不等式选讲若正数a ，b ，c 满足a +b +c =1，求111323232a b c +++++的最小值． 【解】因为正数a ，b ，c 满足a +b +c =1， 所以，()()()()()2111323232111323232a b c a b c +++++++++⎡⎤⎣⎦+++≥，………………5分即1111323232≥a b c +++++， 当且仅当323232a b c +=+=+，即13a b c ===时，原式取最小值1． (10)分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．在正方体1111ABCD A B C D -中，O 是AC 的中点，E 是线段D 1O 上一点，且D 1E ＝λEO .ABDO（第22题）E B 1A 1CC 1D 1（1）若λ=1，求异面直线DE 与CD 1所成角的余弦值； （2）若平面CDE ⊥平面CD 1O ，求λ的值.【解】(1)不妨设正方体的棱长为1，以1,,DA DC DD u u u r u u u r u u u u r为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -． 则A (1，0，0)，()11022O ，，，()010C ，，，D 1(0，0，1)， E ()111442，，，于是()111442DE =u u u r ，，，()1011CD =-u u u u r，，. 由cos 1DE CD 〈〉u u u r u u u u r ，＝11||||DE CD DE CD ⋅⋅u u u r u u u u ru uu u r u u u u r.所以异面直线AE 与CD 1. ……………………5分（2）设平面CD 1O 的向量为m =(x 1，y 1，z 1)，由m ·CO u u u r＝0，m ·1CD u u u u r ＝0得 1111110220x y y z ⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩，， 取x 1＝1，得y 1＝z 1＝1，即m =(1，1，1) . (7)分由D 1E ＝λEO ，则E 12(1)2(1)1λλλλλ⎛⎫ ⎪+++⎝⎭，，，DE u u u r =12(1)2(1)1λλλλλ⎛⎫ ⎪+++⎝⎭，，. 又设平面CDE 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，由n ·CD u u u r ＝0，n ·DE u u u r＝0. 得 2222002(1)2(1)1y x y z λλλλλ=⎧⎪⎨++=⎪+++⎩，， 取x 2=2，得z 2＝－λ，即n ＝(－2，0，λ) . 因为平面CDE ⊥平面CD 1F ，所以m ·n ＝0，得λ＝2． ……………………10分23．一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得1分，反面向上得2分.（1）设抛掷5次的得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望E ξ； （2）求恰好得到n *()n ∈N 分的概率．【解】（1）所抛5次得分ξ的概率为P (ξ＝i )= ()5551C2i - (i =5，6，7，8，9，10)，其分布列如下：E ξ=()5105551C2i i i -=⋅∑= 152(分) . ……………………5分 （2）令p n 表示恰好得到n 分的概率. 不出现n 分的唯一情况是得到n －1分以后再掷出一次反面. 因为“不出现n 分”的概率是1－p n ，“恰好得到n －1分”的概率是p n －1， 因为“掷一次出现反面”的概率是12，所以有1－p n =12p n －1， ……………………7分 即p n －23=－12()123n p --. 于是{}23n p -是以p 1－23=12－23=－16为首项，以－12为公比的等比数列.所以p n －23=－16()112n --，即p n ＝()11232n⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦. 答：恰好得到n 分的概率是()11232n⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦. …………………10分2018届江苏省南通市高三第二次调研测试（数学）参考答案1. x －y －2=02.-8/253.真4.26/275.26.{(2,0)}7.128.1059. ①③④→②（或②③④→①） 10.1 11.-1/2 12.（1，3/2) 13.1/50 14.(2，+∞）15.16.17.18.19.20.。

2023～2024学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.本卷满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}||1|2,N A x x x =-<∈，1|1B y y x ⎧⎫==+⎨⎬⎩⎭，则A B = （）A ．[]1,3B ．[]0,2C ．{}0,2D ．{}1,22．已知双曲线C ：2221(0)x y a a-=>经过点(2,0)，则C 的渐近线方程为（）A ．2y x =±B ．12y x=±C ．14y x =±D．2y x =3．已知1z ，2z 是两个虚数，则“1z ，2z 均为纯虚数”是“12z z 为实数”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知随机变量()2~1,N ξσ，且()()0P P a ξξ≤=≥，则()140x a x a x+<<-的最小值为（）A ．9B ．92C ．4D ．65．羽毛球比赛水平相当的甲、乙、丙三人举行羽毛球比赛.规则为：每局两人比赛，另一人担任裁判.每局比赛结束时，负方在下一局比赛中担任裁判.如果第1局甲担任裁判，则第3局甲还担任裁判的概率为（）A ．14B ．13C ．12D ．236．已知非零向量π(cos 2,sin())4a αα=+ ，π(sin(4b α=+ ，若//a b ，则sin 2α=（）A ．1-B ．10C ．45D ．357．已知椭圆E 的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，过E 的右焦点且斜率为1的直线l 交E 于A ，B 两点，且原点O 到直线l 的距离等于E 的短轴长，则E 的离心率为（）A ．3B ．3C D ．138．正三棱锥P ABC -和正三棱锥Q-ABC 共底面ABC ，这两个正三棱锥的所有顶点都在同一个球面上，点P 和点Q 在平面ABC 的异侧，这两个正三棱锥的侧面与底面ABC 所成的角分别为α，β，则当αβ+最大时，tan()αβ+=（）A ．13-B ．23-C ．-1D ．43-二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的有（）A ．若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥B ．m α⊥，//m n ，//n β，则αβ⊥C ．若//αβ，m α⊂，n β⊥，则m n ⊥D ．若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥10．已知定义在R 上的函数()f x 满足(1)(1)0f x f x ++-=，且()f x 不是常函数，则下列说法中正确的有（）A ．若2为()f x 的周期，则()f x 为奇函数B ．若()f x 为奇函数，则2为()f x 的周期C ．若4为()f x 的周期，则()f x 为偶函数D ．若()f x 为偶函数，则4为()f x 的周期11．在长方形ABCD 中，8AB =，6AD =，点E ，F 分别为边BC 和CD 上两个动点（含端点），且5EF =，设BE BC λ= ，DF DC μ=，则（）A ．116λ≤≤，318μ≤≤B ．λμ+为定值C ．AE AF ⋅的最小值50D ．||AE AF +三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知圆O ：222x y +=，过点()3,1M -的直线l 交圆O 于A ，B 两点，且2MA MB =，则满足上述条件的一条直线l 的方程为.13．设钝角ABC 三个内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若2a =，sin b A =3c =，则b =.14．如果函数()f x 在区间[a ，b ]上为增函数，则记为[,]()a b f x ，函数()f x 在区间[a ，b ]上为减函数，则记为[,]()a b f x .如果[,8]m，则实数m 的最小值为；如果函数32213()232f x x ax a x =-+，且[1,2]()f x ，[2,3]()f x ，则实数=a .四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．如图，直三棱柱111ABC A B C -的体积为1，AB BC ⊥，2AB =，1BC =．(1)求证：11BC A C ^；(2)求二面角11B A C B --的余弦值．16．某班统计了全班50名同学在某一周内到图书馆借阅次数的相关数据，结果如下表：借阅次数01234567合计男生人数2535512225女生人数4455321125合计人数69810833350若将该周内到图书馆借阅次数不少于3次的学生，称为“爱好阅读生”；少于3次的学生称为“一般阅读生”．(1)请完成以下22⨯列联表；问：能否有90％的把握认为爱好阅读与性别有关？性别阅读合计一般爱好男生女生合计附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++．2()P K k ≥0.10.050.01k2.7063.8416.635(2)班主任从该周内在图书馆借阅次数为0的同学中，一次性随机抽取3人了解有关情况，求抽到的男生人数X 的概率分布和数学期望．17．已知函数e 1()ln (R)x f x a x a x-=+∈.(1)当0a =时，证明：()1f x >；(2)若()f x 在区间(1,)+∞上有且只有一个极值点，求实数a 的取值范围.18．已知F 为抛物线C ：22(0)x py p =>的焦点，点A 在C上，1)4FA =- .点P （0，-2），M ，N 是抛物线上不同两点，直线PM 和直线PN 的斜率分别为1k ，2k .(1)求C 的方程；(2)存在点Q ，当直线MN 经过点Q 时，12123()24k k k k +-=恒成立，请求出满足条件的所有点Q 的坐标；(3)对于（2）中的一个点Q ，当直线MN 经过点Q 时，|MN |存在最小值，试求出这个最小值.19．如图所示数阵，第(1)m m ≥行共有1m +个数，第m 行的第1个数为01C m -，第2个数为1C m ，第(3)n n ≥个数为1322C C n n m n m n --+-+--.规定：0C 1n =.(1)试判断每一行的最后两个数的大小关系，并证明你的结论；(2)求证：每一行的所有数之和等于下一行的最后一个数；(3)从第1行起，每一行最后一个数依次构成数列{}n a ，设数列{}n a 的前n 项和为n S 是否存在正整数k ，使得对任意正整数n ，41n n kS -≤恒成立？如存在，请求出k 的最大值，如不存在，请说明理由.1．C【分析】首先解绝对值不等式求出集合A ，再根据幂函数的性质求出集合B ，最后根据交集的定义计算可得.【详解】由|1|2x -<，即212x -<-<，解得13x -<<，所以{}{}{}||1|2,N |13,N 0,1,2A x x x x x x =-<∈=-<<∈=，又{}1|1|1B y y y y x ⎧⎫==+=≠⎨⎬⎩⎭，所以{}0,2A B =I .故选：C 2．B【分析】求出双曲线方程再根据双曲线渐近线的求法得解.【详解】因为双曲线C ：2221(0)x y a a-=>经过点(2,0)，所以2,1a b ==，渐近线方程为12b y x x a =±=±.故选：B 3．A【分析】设12i,i(,R z b z c b c ==∈且,0)b c ≠,可得12R z z ∈，如121i 12+2i 2z z +==，可得结论.【详解】若12,z z 均为纯虚数，设12i,i(,R z b z c b c ==∈且,0)b c ≠,则12i R i z b b z c c ==∈，所以“12,z z 均为纯虚数”是12zz 是实数的充分条件，当121i,22i z z =+=+，121i 12+2i 2z z +==，所以“12,z z 均为纯虚数”是12z z 是实数的不必要条件，综上所述：“12,z z 均为纯虚数”是12z z 是实数的充分不必要条件.故选：A.4．B【分析】利用正态分布密度曲线的对称性可求得2a =，代数式()122x x +-⎡⎤⎣⎦与142x x+-相乘，展开后利用基本不等式可求得所求代数式的最小值.【详解】因为随机变量()2~1,N ξσ，且()()0P P a ξξ≤=≥，则12a=，可得2a =，()14141142222x x x a x x x x x ⎛⎫+=+=++-⎡⎤ ⎪⎣⎦---⎝⎭124191452222x x x x ⎛⎫-⎛⎫=+++≥+= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，当且仅当23x =时，等号成立，所以，()140x a x a x +<<-的最小值为92.故选：B.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.5．C【分析】由全概率公式即可求解.【详解】由于甲、乙、丙三人的比赛水平相当，所以第二局乙或丙担任裁判的概率都是12，第二局若是乙当裁判，则第三局甲或丙担任裁判的概率都是12，第二局若是丙当裁判，则第三局甲或乙担任裁判的概率都是12，由全概率公式可知，如果第1局甲担任裁判，则第3局甲还担任裁判的概率为1111122222P =⨯+⨯=.故选：C.6．D【分析】利用两个向量平行的性质可得2πsin ()cos24αα+=，化简可得1tan 3α=，利用齐次式即可得到答案.【详解】因为a ，b 为非零向量，所以cos 20πsin()04αα≠⎧⎪⎨+≠⎪⎩，即12ππ42ππ4k k αα⎧≠+⎪⎪⎨⎪≠-+⎪⎩()12Z,Z k k ∈∈因为//a b ，所以2πsin (cos24αα+=，则π1cos 22cos22αα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=，即1sin 22cos2αα+=，即2222sin cos 2sin cos 2cos 2sin αααααα++=-，由于cos 0α≠，所以两边同除2cos α，可得：23tan 2tan 10αα+-=，解得：tan =13或tan 1α=-(舍去),所以222tan 33sin211tan 519ααα===++.故选：D 7．A【分析】首先求出直线方程，然后利用点到直线距离公式求出原点O 到直线l 的距离，列出方程求解即可【详解】设椭圆的方程为22221x y a b+=，所以(),0E c ，所以直线l 的方程为y x c =-，所以原点O 到直线l 的距离等于E2b =，得228c b =，又222a b c =+，所以()22222889c a c a c =-⇒=，所以c e a ==故选:A 8．D【分析】由题意可得球心O 在PQ ，设PQ 与ABC 的交点为R ，CR AB ⊥于M ，,PMC QMC ∠∠为两个正三棱锥的侧面与底面ABC 所成的角分别为,αβ，设外接球的半径为r ,球心O 到平面的距离为m ,可得tan 36r m a α-=，tan 36r ma β+=，进而计算可求αβ+最大时，tan()αβ+的值.【详解】由题意可得球心O 在PQ ，设PQ 与ABC 的交点为R ，CR AB ⊥于M ，由题意可得,PM AB MQ AB ⊥⊥，所以,PMC QMC ∠∠为两个正三棱锥的侧面与底面ABC 所成的角分别为,αβ，所以tan PR MR α=，tan QRMRβ=，设外接球的半径为r ,球心O 到平面的距离为m ,则,PR r m QR r m =-=+，设ABC 的边长为a ，由正三角形的性质1113222sin 606a MR RC a ==⨯⨯=︒，所以tan 36r m a α-=，tan 36r ma β+=，2222231()33r m a m a =+=+,所以33r a ≥所以2222223333226666tan()11331()()123336666a a a r a r r m r m a r r a a a r m a aαβ⨯⨯+==-+--+⨯--223322661144a r r a a ⨯⨯==--，所以ππ2αβ<+<，故当33r a =时，αβ+最大，此时4tan()3αβ+=-.故选：D.【点睛】方法点睛：利用正切函数的单调性求三角函数的值的最大值以确定角的最大值，表示三角函数是解本题的关键.9．BCD【分析】根据垂直关系的转化与判定定理和性质定理，即可判断选项.【详解】A.若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，不能推出m β⊥或n α⊥，则不能推出αβ⊥，故A 错误；B.若m α⊥，//m n ，则n α⊥，又//n β，所以αβ⊥，故B 正确；C.若//αβ，n β⊥，则n α⊥，又m α⊂，所以m n ⊥，故C 正确；D.若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，说明与α和β垂直的法向量互相垂直，则αβ⊥，故D 正确.故选：BCD 10．ABD【分析】对于A ：由已知可得(2)()f x f x +=--，结合周期可得()(f x f x -=-）可判断A ；由奇函数可得(2)(11)()f x f x f x +=++=，可判断B ；结合已知可得结论(4)(13)(2)f x f x f x +=++=---(11)()f x f x =--+=-，可判断C ；由已知可得(4)(2)()f x f x f x +=-+=，可判断D.【详解】对于A ：若2是()f x 的周期，则(2)(f x f x +=），由(1)(1f x f x ++-）=0，可得(2)(11)(11)()f x f x f x f x +=++=---=--，所以()(f x f x -=-），所以()f x 为奇函数；故A 正确；对于B ：若()f x 为奇函数，则()(f x f x -=-），由(1)(1f x f x ++-）=0，可得(2)(11)(11)()()f x f x f x f x f x +=++=---=--=，所以2是()f x 的周期，故B 正确；若4是()f x 的周期，则(4)(f x f x +=），由(1)(1f x f x ++-）=0，可得(4)(13)(13)(2)f x f x f x f x +=++=---=---(24)(2)(11)(11)()f x f x f x f x f x =---+=--=-+-=--+=-，所以()(f x f x -=-），所以()f x 为奇函数；故C 不正确；对于D ：若()f x 为偶函数，则()(f x f x -=），由(1)(1f x f x -=-），可得(1)(1)f x f x -=-+，所以()(2)f x f x =-+，所以(4)(2)()f x f x f x +=-+=，所以4是()f x 的周期，故D 正确.故选：ABD.11．AC【分析】根据题设结合,E F 的位置可确定参数范围，判断A ；取特殊位置计算λμ+的值，可判断B ；根据数量积的运算律结合三角恒等变换可判断C ；举出反例可判断D.【详解】对于A ，由题意知当E 和B 重合时，1BE =，此时λ取最小值16，μ取到最大值1；当F 和D 重合时，3DF =，此时μ取最小值38，λ取到最大值1，A正确；对于B ，当E 和B 重合时，1,16λμ==，76λμ+=；当,E F 分别位于,DC BC 的中点时，满足5EF =，此时11,22λμ==，1λμ+=，由此可知λμ+不为定值，B 错误；对于C ，()()()()AE AF AB BE AD DF AB BC AD DCλμ⋅=+⋅+=+⋅+AB AD BC AD AB DC BC DC λμλμ=⋅+⋅+⋅+⋅ 223664BC AD AB DC BC AB λμλμλμ=⋅+⋅=+=+ ，由5EF =，得225EF = ，即()225EC CF+= ,即()()21125BC DC λμ⎡⎤-+-=⎣⎦，即()()2236164125λμ-+-=，设()()615cos ,815sin λθμθ-=-=，[)0,2πθ∈，则5cos 5sin 366436164168θθλμ⎛⎫⎛⎫+=⨯++⨯+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()10030cos 40sin 10050sin θθθϕ=++=++，（ϕ为辅助角，3tan 4ϕ=），当()sin 1θϕ+=-时，3664λμ+取到最小值50，即AE AF ⋅的最小值50，C 正确，对于D ，当11,6μλ==时，726AE AF AB BE AC AB BC +=++=+ ，则AE AF +==>D 错误，故选：AC【点睛】难点点睛：解答本题的难点是选项C 的判断，解答时要利用向量的加减以及向量数量积的运算律结合三角代换以及恒等变换进行求解.12．1y =（或3450x y ++=，答案不唯一）【分析】由2MA MB = 和圆中的几何关系求出点O 到直线l 的距离为1，然后利用点到直线的距离公式求出直线斜率即可【详解】由题意得圆心()0,0O ，半径r MO =>故M 点在圆O 外，设点O 到直线l 的距离为d ，由2MA MB = 得2MA MB = 2=，==，解得1d =，设直线l 的方程为()13y k x -=+，218600k k k =⇒+=⇒=或34k =-，所以直线l 的方程为1y =或3450x y ++=.故答案为：1y =（或3450x y ++=，答案不唯一）.13【分析】利用余弦定理表示出cos A ，再利用同角三角函数的平方关系，得到cos A =建立方程，求出b 的值，然后利用钝角三角形，排除一个答案.【详解】由余弦定理得，22222945cos 266b c a b b A bc b b+-+-+===，而由sin b A =sin B =因为ABC 是钝角三角形，且c a >，故A 为锐角，所以cos A =256b b+=，解得27b =或219b =，当27b =时，即b ，c b a >>，由大边对大角得：最大角为C ，222cos 02b a c C ba +-==，故C 为锐角，不符合题意；当219b =时，即b =b c a >>，由大边对大角得：最大角为B ，2229419cos 0262c a b B ca +-+-==<⨯，故B 是钝角，符合题意，14．41【分析】第一空：令t =可得()4f t t t =+，可得函数()f t 的单调性可求得m 的最小值；第二空由题意可得2x =是函数的极值点，可得()20f '=,求解检验即可.在[,8]m 上单调递增，因为0x ≠，所以08m <<，令t =，则4()f t t t =+，由对勾函数性质得当0x >时，4()f t t t=+的单调递增区间为[2,)+∞，所以，即t 实数的最小值为2，所以m 实数的最小值为4；对于第二空：函数32213()232f x x ax a x =-+可导，所以22()32f x x ax a '=-+，由题意在[1,2]上单调递减，在[]2,3上单调递增，即2x =是函数的极值点，所以2(2)4620f a a '=-+=，解得2a =或1a =，经检验2a =不满足题意，1a =符合题意，所以1a =.故答案为：4；1.15．(1)证明见解析5【分析】（1）法一：由线面垂直证明即可；法二：用空间直角坐标系证明即可；（2）法一：过O 作1OH A C ⊥于H ，连接BH ，由已知得出BHO ∠为二面角11B A C B --的平面角，求解即可；法二：建立空间直角坐标系求解．【详解】（1）直三棱柱111ABC A B C -的体积为：111121122V AB BC AA AA =⨯⋅⋅=⨯⨯⨯=，则11AA BC ==，四边形11BCC B 为正方形，法一：在直棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥面ABC ，11AB AB ∥，又AB ⊂平面ABC ，则1AB BB ⊥，因为AB BC ⊥，1AB BB ⊥，1BB BC B = ，1,BB BC ⊂平面11BCC B ，所以AB ⊥平面11BCC B ，又1BC ⊂平面11BCC B ，所以1AB BC ⊥，因为11AB AB ∥，所以11A B ⊥1BC ，在正方形11BCC B 中，有11BC B C ⊥，因为11BC B C ⊥，11A B ⊥1B C ，1111A B B C B = ，111,A B B C ⊂平面11A CB ，所以1BC ⊥平面11A CB ，又1AC ⊂平面11ACB ，所以11BC A C ^．法二：直棱柱111ABC A B C -，1BB ⊥平面ABC ，又AB BC ⊥，以B 为原点，BC ，BA ，1BB 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则()0,0,0B ，()10,0,1B ，()1,0,0C ，1(0,2,1)A ，1(1,0,1)C ，1(1,0,1)BC = ，1(1,2,1)A C =-- ，11110(2)1(1)0BC A C ⋅=⨯+⨯-+⨯-= ，所以11BC A C ^．（2）由（1）得11BC A C ^，设11B C BC O = ，在11A B C 中，过O 作1OH A C ⊥于H ，连接BH ，因为1OH A C ⊥，11BC A C ^，1,OH BC ⊂平面BHO ，且1OH BC O ⋂=，所以1A C ⊥平面BHO ，又BH ⊂平面BHO ，所以1A C BH ⊥，所以BHO ∠为二面角11B A C B --的平面角，因为11Rt Rt COH CA B ∽△△，111CA CO OH A B =，得3OH =，又在Rt BOH中，BO =BH3cos 56OH BHO BH ∠===，所以二面角11B A C B --的余弦值为5．法二：()0,0,0B ，()10,0,1B ，()1,0,0C ，1(0,2,1)A ，1(1,0,1)C ，(1,0,0)BC = ，1(0,2,1)BA = ，设平面1BCA 的法向量：1111(,,)n x y z = ，则111111020n BC x n BA y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取11y =，得1(0,1,2)n =- ，1(1,0,1)B C =- ，11(0,2,0)B A = ，设面11B CA 的法向量2222(,,)n x y z = ，则21222112020n B C x z n B A y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，取21x =，得2(1,0,1)n = ，设二面角11B A C B --的大小为θ，则：121212|||cos||cos,|5||||n nn nn nθ⋅=<>===，因为θ为锐角，所以二面角11B AC B--余弦值为5．16．(1)列联表见解析，没有90％的把握认为喜爱阅读与性别有关(2)概率分布见解析，1【分析】（1）完成2×2列联表，计算出2K即可得出判断；（2）由题可知，随机变量X服从超几何分布()3,2,6H，由此求出的X概率分布和数学期望．【详解】（1）22⨯列联表：性别阅读合计一般爱好男生101525女生131225合计232750提出假设0H：是否喜爱阅读与性别没有关系，根据列联表的数据，可以求得：2250(10121315)0.725 2.70625252327K⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以没有90％的把握认为喜爱阅读与性别有关．（2）随机变量X服从超几何分布()3,2,6H，X可能取0，1，2，032436C C1(0)C5P X===，122436C C3(1)C5P X===，212436C C1(2)C5P X===，则X的分布列为：X012P153515所以131()0121555E X =⨯+⨯+⨯=，故抽取男生人数的数学期望为1．17．(1)证明见解析(2)(,1)-∞-【分析】（1）因为函数的定义域为(0,)+∞，当0a =时，e 1()x f x x-=，将问题转化为当0x >时，e 1x x >+，构造函数()e 1x p x x =--，利用导数研究()p x 的值域即可证明；（2）求导1(1)e 1()[]x x f x a x x -+'=⋅+，令(1)e 1()(1)x x g x a x x-+=+>，再求导()g x '，利用放缩可知()0g x '>，得到()g x 在(1,)+∞单调递增，()(1)1g x g a >=+，分类讨论1a ≥-和1a <-时()g x 的正负，从而确定是否有极值点以及极值点的个数.【详解】（1）因为函数的定义域为(0,)+∞，当0a =时，e 1()x f x x-=.要证()1f x >，只需证：当0x >时，e 1x x >+.令()e 1x p x x =--，则()e 10x p x '=->，则()p x 在,()0x ∈+∞单调递增，所以()(0)0p x p >=，即e 1x x >+.（2）2(1)e 11(1)e 1()[]x x x a x f x a x x x x-+-+'=+=⋅+，令(1)e 1()(1)x x g x a x x-+=+>，则2222e (1)1(1)11()0x x x x x x g x x x x-+--+--'=>=>.所以()g x 在(1,)+∞单调递增，()(1)1g x g a >=+，①1a ≥-时，()(1)10g x g a >=+≥，()0f x '>.则()f x 在(1,)+∞为增函数，()f x 在(1,)+∞上无极值点，矛盾.②当1a <-时，(1)10g a =+<.由（1）知，e 1x x x >+>，(1)e 1(1)e (1)()1x x x x x x g x a a a x a x x x-+--=+>+>+=-+，则(1)0g a ->，则0(1,1)x a ∃∈-使0()0g x =.当0(1,)x x ∈时，()0g x <，()0f x '<，则()f x 在0(1,)x 上单调递减；当0(,)x x ∈+∞时，()0g x >，()0f x '>，则()f x 在0(,)x +∞上单调递增.因此，()f x 在区间(1,)+∞上恰有一个极值点，所以a 的取值范围为(,1)-∞-.【点睛】方法点睛：利用导数求解参数的取值范围问题的三种常用方法：1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.18．(1)24x y=(2)（2，2）或（4，2）(3)5【分析】（1）设211(,)2x A x p，进而求出FA 的坐标，利用坐标式向量相等的条件求解即可（2）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，联立直线MN 的方程和抛物线方程，利用韦达定理求出1k ，2k ，代入12123()24k k k k +-=得22m k =-或24m k =-，利用点斜式求出Q 的坐标；（3）根据（2）结论和条件得MN 只能过（2，2）点，此时|MN |有最小值，利用韦达定理和两点间的距离公式求出MN =调区间，利用函数的单调性求出最值【详解】（1）(0,2p F ，设211(,)2x A x p，则2111(,))224x p FA x p =-=- ，所以1211,224x x p p ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩得：2260p p --=，解得2p =或32p =-（舍），所以抛物线C 的方程为24x y =①.（2）设直线MN ：y kx m =+②，11(,)M x y ，22(,)N x y ，联立①②，得2440x kx m --=.所以216()0k m ∆=+>③，124x x k +=，124x x m ⋅=-④.111111222y kx m m k k x x x ++++===+，222222222y kx m m k k x x x ++++===+，则1212121211(2)2(2)()2(2)x x k m k k k m k m x x x x m +-+=+++=++⋅=，121212(2)(2)kx m kx m k k x x ++++=2222121212(2)()(2)8(2)4k x x k m x x m k m x x m+++++++==-.因为12123()24k k k k +-=，即：22(2)8(2)32404k m k m m m-++⨯-⨯-=-，即：(22)(42)0k m k m +-+-=，则22m k =-或24m k =-，能满足③式.则MN ：22(2)2y kx k k x =+-=-+，或MN ：24(4)2y kx k k x =+-=-+，所以定点Q 的坐标为（2，2）或（4，2）；（3）如MN 过（4，2）点，当122k k ==时，12123()24k k k k +-=，但此时M ，N 重合，则|MN |无最小值，所以MN 只能过（2，2）点，此时|MN |有最小值.由（2），在④中，令22m k =-得：124x x k +=，1288x x k ⋅=-，12|||MN x x =-==.令432()2322f k k k k k =-+-+，则322()46622(21)(1)0f k k k k k k k '=-+-=--+=，.当12k <时，()0f k '<，()f k 在1(,)2-∞上为减函数，当12k >时，()0f k '>，()f k 在1(,)2+∞上为增函数，所以当12k =时，()f k 有最小值，|MN |有最小值.min ||5MN =.【点睛】关键点睛：第二问的关键：根据一元二次方程根与系数的关系，结合12123()24k k k k +-=恒成立，得到直线MN 过定点.19．(1)相等，证明见解析(2)证明见解析(3)存在，3【分析】（1）首先写出第1行和第2行的最后两个数，根据结论预测每一行最后2个数的大小关系，再利用组合数的性质和组合数的阶乘公式，即可证明；（2）首先写出第m （2m =）行的1m +个数之和，并利用组合数公式和性质进行化简，再根据（1）的结果，即可证明；（3）首先根据特殊值判断k 的最大值，再利用放缩法求数列{}n a 的前n 项和的不等式，即可证明不等式.【详解】（1）第1行最后两数0101C C 1==，第2行的最后两数120233C C C 2=-=.第m （3m =）行的第m 个数为132222C C m m m m -----，第1m +个数为22121C C m m m m ----，猜测：132********C C C C m m m m m m m m --------=-，即证：12321222122C C C C m m m m m m m m --------=-，法一：因为11233222222222222C C C C C C m m m m m m m m m m m m -----------+-=+-，只要证明22222C C m m m m ---=，该式显然成立，所以12321222122C C C C m m m m m m m m --------=-，所以每行最后两个数相等.法二：因为22121(21)!(21)!C C !(1)!(2)!(1)!m m m m m m m m m m ------=---+(21)![(1)(1)]!(1)!m m m m m m m -=+--+2(21)!(2)!!(1)!!(1)!m m m m m m m -==++；又因为132222(22)!(22)!C C (1)!(1)!(3)!(1)!m m m m m m m m m m -------=----+(22)!(1)!m m m m m m m -=+----+(42)(22)!(1)!(1)!m m m m --=-+2(21)!(2)!(1)!(1)!!(1)!m m m m m m -==-++.即：132********C C C C m m m m m m m m --------=-.所以每一行的最后两个数相等.（2）第1行所有数之和为0101C C 2+=，第2行的最后一个数为2033C C 312-=-=，此时结论成立.因为11C C C k k k n n n -++=，第m （2m =）行的1m +个数之和为：0120312111222121C C (C C )(C C )(C C )m m m m m m m m m m --++++--++-+-++- 01201211211221(C C C C )(C C C )m m m m m m m m m --+-++-=++++-+++ 0120121212221(C C C C )(C C C )m m m m m m m m m -+-++-=++++-+++ 1212211213321(C C C )(C C C )m m m m m m m m -++-++-=+++-+++ 222C C m m m m -==- .而第1m +行倒数第二个数为222C C m m m m --，由（1）得每行最后两个相等，所以结论得证.（3）当1n =，3k =时，1111C 1S a ===，11341S =-，当4k ≥时，此时显然不成立.猜测：存在正整数k ，使得41n n kS ⋅-恒成立，k 的最大值为3.下证：当2n =时，341n n S <-恒成立.由（1）知，(2)!!(1)!n n a n n =+，则1(22)!(1)!(2)!n n a n n ++=++，因为1(22)!!(1)!(22)(21)(1)!(2)!(2)!(2)(1)n n a n n n n n a n n n n n +++++=++++2(21)4(2)6644222n n n n n ++-===-<+++.又0n a >，当2n =时，2111214444n n n n n a a a a ----<<<<= .当2n =时，21124114443n n n n S a a a --=+++<++++= ，所以341n n S <-.综上：存在正整数k ，k 的最大值为3，使得41n n kS ⋅-恒成立.【点睛】关键点点睛：本题前2问的关键是抽象出每行的组合数以及最后两个数的组合数，再利用组合数的性质和公式，即可证明，第3问的关键是利用迭代的方法证明4n a <.。

…… 2 分
2 x2 y 2 2 x 3 1， 2 x 由 a 得 2 1． 9 9 a y x 3
2 所以 x0 6a 2 ． 9a
…… 4 分
因为 PB1
x0 2 y0 3

2
2 2 x0 ， 所以 4 2 2 6a 2 ，解得 a 2 18 ． 9a



． … 8分
化简得， 1 sin 3 cos 1 ，所以 sin π 1 ． 3 2 2 2 2
因为 a // b c ，所以 3 cos 3 1 sin 1 0 ． 2 2 2 2 … 12 分 …… 14 分
12． 1 ，

13．10
（1）因为 a cos ，sin ， b sin ， cos ， c 1 ， 3 ， 15． 2 2 所以 a b c 1 ，且 a b cos sin sin cos sin ( ) ． 因为 a b c ，所以 a b
2 y2 1 ，得 2k 2 1 x 2 12kx 0 ， 将 y kx 3 代入 x 18 9
k ．… 8 分 因为 P 是椭圆上异于点 B1，B2 的点，所以 x0 0 ，从而 x0 12 2k 2 1
2 x2 x2 y2 y2 2 因为 P x0 ， y0 在椭圆 x 9 0 ． 1 上，所以 0 0 1 ，从而 y0 2 18 9 18 9
…… 4 分
．
…… 6 分
a ≤ x ， a ≤ x ， 2 2 （2）设所得正四棱柱的底面边长为 a dm，则 即 100 20 a ≤ 4a ， a ≤ . x x 2 方法一：所得正四棱柱的体积 V a x ≤ 记函数 p ( x) x 3 ，0 x ≤ 2 10 ， 4 400 ， x 2 10. x