A 3 A 1 O A 2 A 4 A 5
A 7 A 6 A 8
A 9 A 10
A 11 A 12
A B
C
D E
G H
I
J K L
M
图形的计数
一、填空题
1．如下左图中一共有（ ）条线
段.
2. 如上右图,O 为三角形A 1A 6A 12的边A 1A 12上的一点,分别连结
OA 2,OA 3,…OA 11，这样图中共有_____个三角形. 3.
4. 5. 数一数
(1)一共有( )个长方形.
(2)一共有( )个三角形.
6. 如下左图中,所有正方形的个数是______.
7. 在一块画有4⨯4方格网木板上钉上了25颗铁钉(如上右图),如果用线绳围正方形,最多可以围出_____个.
8. 一块相邻的横竖两排距离都相等的钉板,上面有4⨯4个钉(如下左图).以每个钉为顶点,你个.
9. 如下左图,方格纸上放了20枚棋子,以棋子为顶点的正方形共有_____个.
10. 数一数, 如上右图是由_____个小立方体堆成的.要注意那些看不见的.
二、解答题
11. 如下左图中共有7层小三角形，求白色小三角形的个数与黑色小三角形的个数之比.
12. 如上右图中,AB 、CD 、EF 、MN 互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是多少？
13．现在都是由边长为1厘米的红色、白色两种正方形分别组成边长为2厘米、4厘米、8厘米、9厘米的大小不同的正方形、它们的特点都是正方形的四边的小正方形都是涂有红颜色的小正方形，除此以外，都是涂有白色的小正方形，要组成这样4个大小不同的正方形，总共需要红色正方形多少个？白色正方形多少个？ 14．将ABC 的每一边4等分，过各分点作边的平行线，在所得下图中有多少个平行四边形？
7 6
5 4 3 2
1 N M F E D C B A O
———————————————答案——————————————————————1．30
由例1注可知图形中每边有3+2+1=6（条）线段，因此整个图形中共有6⨯5=30条线段.
2. 37
1
A6A12分解成以OA6为公共边的两个三角形1A6中共有5+4+3+2+1=15(个)三角形, 6
A12中共有6+5+4+3+2+1=21(个
)三角形
,这样,图中共有15+21+1=37(个)三角形.
3. 15
这样的问题应该通过分类计数求解.此题中的三角形可先分成含顶点C的和不含顶点C的两大类.含顶点C的又可分成另外两顶点在线段
AB上的和在线段BD
上的两小类.分类图解如下:
所以原图有
(3+2+1)+(3+2+1)+3
=15(个)三角形.
4. 18
梯形一共有三行,每行都有3+2+1=6(个),所以一共有6⨯3=18(个)梯形.
5. 108,36
(1)因为长方形是由长和宽组成的,因此可分别考虑所有长方形的长和宽的可能种数.按照前面所介绍的线段的计数方法可分别求出长和宽的线段条数,将它们相乘就是所有长方形的个数.
因为AB边上有8+7+6+…+2+1=
2
8
9⨯
=36条线段，AD边上有2+1=3条线段，所以图中一共有36⨯3=108个长方形.
(2)三角形一共有6行,每行都有3+2+1=6(个),所以一共有6⨯6=36(个)三角形.
6. 30
由例5注可知整个图形中共有12+22+32+42=30个正方形.
7. 50
此类问题一般用分类方法计数.对正方形的边长分八类计数如下:
边长为AB的正方形有16个；
边长为AC的正方形有9个；
边长为AD的正方形有4个；
边长为AE的正方形有1个；
边长为DF的正方形有9个；
边长为CF的正方形有8个；
边长为BF的正方形有2个；
边长为CG的正方形有1个.
所以,最多可围出50个正方形.
8. 44
因为正方形是特殊的长方形,所以可以把正方形看成长方形,这样就不必分别求正方形和长方形的个数,仍用分类计数的方法求解.
先考虑有一组对边平行于BC 的长方形有多少个.这一类按其水平边的位置可分为6小类,即位置在BF 、FE 、EC 、FC 、BE 、BC .同样,其竖直边也分为6类.所以这一类有6⨯6=36个长方形.
,分解图如下页图所示,其中分别有6个和2个长方形.
所以，一共可套出正方形和长方形36+6+2=44个. 9． 21
以正方形的面积大小分类计数.
设相邻两点的距离为1，则正方形面积为1的有9个； 面积为2的有4个； 面积为5的有2个； 面积为8的有4个； 面积为13的有2个；
所以，共有9+4+2+4+2=21个正方形. 10． 30
将原立体图形从左至右分类计算，共有11+7+5+7=30个.
11. 白色小三角形个数=1+2+3+ (6)
2
6
)61(
⨯+=21， 黑色小三角形个数=1+2+3+…+7=2
7
)71(⨯+=28，
所以它们的比=
2821=4
3. 12. 解法一
本图中三角形的个数为(1+2+3+4)⨯4=40(个).下面求梯形的个数.梯形由两底唯一确定.首先在
AB ,CD ,EF ,MN 中,考虑两底所在的线段,共有(4⨯3)÷2=6(种)选法；对上述四条线段中确定的两条线段，共有10（10=4+3+2+1）个梯形.共60个梯形.故所求差为20.
解法二
在图 中可数出4个三角形,6个梯形,梯形比三角图形图形多2个.而在题图中,这种恰有10个.故题图中,梯形个数与三角形的个数之差为2⨯10=20(个).
13. 边长2厘米的正方形:
2⨯2=4(个) ……红色 边长4厘米的正方形
(4-1)⨯4=12(个) ……红色 (4-2)⨯(4-2)=4(个) ……白色 边长8厘米的正方形
(8-1)⨯4=28(个) ……红色 (8-2)⨯(8-2)=36(个) ……白色 边长9厘米的正方形
(9-1)⨯4=32(个) ……红色 (9-2)⨯(9-2)=49(个) ……白色 所以,红色小正方形共有 4+12+28+32=76(个) 白色小正方形共有 4+36+49=89(个)
[注]本题的要求是由边长为1厘米的红色和白色两种正方形,分别组成边长是2厘米,4厘米,8厘米,9厘米的大小不同的正方形,可以看作方阵问题来解.四周的小正方形是涂红色的,可看成是空心方阵,因此,涂红色正方形的个数等于4⨯(n -1).其他小正方形是涂白色的，可当作实心方阵，所以，涂白色的正方形的个数等于(n -2)⨯(n -2).比如,由边长为1厘米的正方形组成边长为9厘米的正方形,涂红色的小正方形的个数是:4⨯(9-1)=32(个),涂白色的小正方形的个数是:(9-2)⨯(9-2)=49(个).
14. 将平行四边形分为三类:①尖角在上、下方；②尖角在左下、右上方；③尖角在左上、右下方. 就第③类而言: 型6个； 型3个，与其对称的3个；
型1个，与其对称的1个； 型1个；共15个.同理,第②、①类也分别含15个，故上述三类平行四边形共45个.
[注]这样数平行四边行,很麻烦,又易出错.我们试图找到一种对应关系:先考虑任一边不与BC 平行的平行四边形,延长各边必与BC 有4个交点,特殊情况下,第二个交点与第三个交点重合；反过来，BC 上的任意四点或三点决定一个平行四边形，也就是说，边不与BC 平行的平行四边形的个数与BC 上的四交点组和三交点组的数目一样多。
由于BC 上有5个交点，其中可构成5个4点组；10个3点组，即边不平行于BC 的平行四边形有15个。
同理分别考虑边不平行AB 、CD 的平行四边行。 由此可知，共有45个平行四边形。
