八年级下册分式总复习题归纳

第五章 分式与分式方程1．在代数式x 2x ，12，x 2＋12，3xy π，3x ＋y ，a ＋1m中，分式的个数有( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 2．分式22－x可变形为( ) A ．22－x B ．－22＋x C ．2x －2 D ．－2x －23．(2019·聊城)如果分式||x －1x ＋1的值为0，那么x 的值为( )A ．－1B ．1C ．－1或1D ．1或04．(2018·大庆期末)化简a 2＋2ab ＋b 2a 2－b 2－b a －b的结果是( ) A ．a a －b B ．b a －b C ．a a ＋b D ．b a ＋b5．下列分式中是最简分式的是( )A.12b 27a 2 B ．2a －b 2b －a C.x 2＋y 2x ＋y D ．x 2－y 2x －y6．轮船顺流航行40千米由A 地到达B 地，然后又返回A 地，已知水流速度为每小时2千米，设轮船在静水中的速度为每小时x 千米，则轮船往返共用的时间为( )A.80x 小时 B ．80x 2－2小时 C.80x 2－4小时 D ．80x x 2－4小时 7．如果把分式2x x ＋y中的x 和y 都扩大为原来的2倍，那么分式的值________． 8．(2018·盐城)要使分式1x －2有意义，则x 的取值范围是________． 9．若代数式6x ＋2与4x的值相等，则x ＝ . 10.计算x 2x －1－x 的结果为 . 11．(2018·眉山)已知关于x 的分式方程x x －3－2＝k x －3有一个正数解，则k 的取值范围为_________．12．计算：x 2x －2＋42－x . 13．计算：(1)(2018·十堰)1a －1－1a 2＋a ÷a 2－1a 2＋2a ＋1；14．计算：⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a 1÷a 2－a a 2. （ ）15.先化简，再求值：⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 11÷x 2－2x ＋1x 2－1，其中x ＝2.16.解分式方程：（1）3x ＝41＋x ； （2）x x －7－17－x＝2.17．某工厂计划在规定时间内生产24 000个零件．若每天比原计划多生产30个零件，则在规定时间内可以多生产300个零件．求原计划每天生产的零件个数和规定的天数．18．如图是学习分式方程应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程．根据以上信息，解答下列问题．（1）冰冰同学所列方程中的x 表示____________________，庆庆同学所列方程中的y 表示_______________________________________________；（2）两个方程中任选一个，写出它的等量关系；（3）解(2)中你所选择的方程，并回答老师提出的问题．答案1~6：BDBACD7.不变 8. x≠2 9. x x －1 10. 4 11. k ＜6且k≠3 12.解：原式＝x 2x －2－4x －2＝x ＋2x －2x －2＝x ＋2. 13.解：原式＝1a －1－1a （a ＋1）·（a ＋1）2（a ＋1）（a －1）＝1a －1－1a （a －1）＝a －1a （a －1）＝1a . 14.解：原式＝a 2－1a ·a 2a a －1＝a －1a ＋1a ·a 2a a －1＝a ＋1. 15.解：原式＝x －1x ÷x －12x ＋1x －1＝x －1x ·x ＋1x －1x －12＝x ＋1x ，当x ＝2时，原式＝2＋12＝32. 16.解：(1)去分母得3(1＋x )＝4x ，去括号得3＋3x ＝4x ，移项、合并得x ＝3，经检验，x ＝3是分式方程的解．(2)去分母得x ＋1＝2x －14，解得x ＝15，经检验，x ＝15是分式方程的解．17.解：设原计划每天生产的零件为x 个，依题意有24 000x ＝24 000＋300x ＋30，解得x ＝2 400， 经检验，x ＝2 400是原方程的根，且符合题意．∴规定的天数为24 000÷2 400＝10(天)．答：原计划每天生产零件2 400个，规定的天数是10天．18. （1）甲队每天修路的长度甲队修路400米所需时间或乙队修路600米所需时间（2）解：冰冰用的等量关系是：甲队修400米路所用时间＝乙队修600米路所用时间． 庆庆用的等量关系是：乙队每天修路的长度－甲队每天修路的长度＝20米．(选择一个即可)（3）解：选冰冰的方程：400x ＝600x ＋20， 去分母，得400x ＋8000＝600x ，移项、x 的系数化为1，得x ＝40，检验：当x ＝40时，x ，x ＋20均不为零，∴x ＝40.选庆庆的方程：600y －400y＝20， 去分母，得600－400＝20y ，将y 的系数化为1，得y ＝10，检验：当y ＝10时，分母y 不为0，∴y ＝10，∴400y＝40.。

15.1分式的认识一、本节学习指导这一节是学习本章节的基础，分式是比较繁琐的知识点，它和我们小学学的分数有很大的差别，难度也更大。

分式的有误意义是选择题和填空题的最爱，分式的化简却贯穿了整个初中数学的计算，希望同学们多做练习题，一定要牢牢的掌握这一节的知识。

二、知识要点1、分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A/B叫做分式。

2、分式有意义、无意义的条件：①分式有意义的条件：分式的分母不等于0；例：若分式2x/（x-5）有意义，则x 的取值是？分析：根据上面的理论我们可以知道，分式没意义的条件是分母不为零，即此题中x-5≠0即可，那么很容易的出来x≠5。

结论：当x≠5时，分式2x/（x-5）有意义②分式无意义的条件：分式的分母等于0。

3、分式值为零的条件：当分式的分子等于0且分母不等于0时，分式的值为0。

注：分式的值是在分式有意义的前提下才可以考虑的，所以使分式A/B为0的条件是A ＝0，且B≠0。

例：若分式x/（|x|-1）的值为零，则x的取值为?分析：根据上面的理论我们知道，分式的值为零，则分子为零即可。

此题中的分子 x=0，所以当x=0时，分式值为零。

结论：当x=0时，分式x/（|x|-1）值为零。

注意：分式的值为0的条件是：分子等于0，分母不等于0，二者缺一不可。

首先求出使分子为0的字母的值，再检验这个字母的值是否使分母的值为0.当分母的值不为0时，就是所要求的字母的值。

4、 分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。

用式子表示为 （0≠C ），其中A 、B 、C 是整式注意：①“C 是一个不等于0的整式”是分式基本性质的一个制约条件；②应用分式的基本性质时，要深刻理解“同”的含义，避免犯只乘分子（或分母）的错误；③若分式的分子或分母是多项式，运用分式的基本性质时，要先用括号把分子或分母括上，再乘或除以同一整式C ；④分式的基本性质是分式进行约分、通分和符号变化的依据。

《分式》全章复习与巩固（基础）【学习目标】1. 理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件.2．了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则．3．掌握分式的四则运算．4．结合分析和解决实际问题，讨论可以化为一元一次方程的分式方程，掌握这种方程的解法，体会解方程中的化归思想．【知识网络】【要点梳理】要点一、分式的有关概念及性质1．分式一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.要点诠释：分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式AB才有意义.2.分式的基本性质（M为不等于0的整式）.3．最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简. 要点二、分式的运算1．约分利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.2．通分利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．3．基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:（1）加减运算 a b a b c c c ±±= ；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. ；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.（2）乘法运算 a c ac b d bd⋅=，其中a b c d 、、、是整式，0bd ≠. 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.（3）除法运算 a c a d ad b d b c bc÷=⋅=，其中a b c d 、、、是整式，0bcd ≠. 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘.（4）乘方运算分式的乘方，把分子、分母分别乘方.4.分式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的.要点三、分式方程1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．3．分式方程的增根问题增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根－－－增根.要点诠释：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解.要点四、分式方程的应用列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解.【典型例题】类型一、分式及其基本性质1、在ma y x xy x x x x 1,3,3,)1(,21,12+++π中，分式的个数是（ ） A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C ；【解析】()21131x x a x x x y m+++，，，是分式. 【总结升华】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．2、当x 为何值时，分式293x x -+的值为0？ 【思路点拨】先求出使分子为0的字母的值，再检验这个值是否使分母的值等于0，当它使分母的值不等于0时，这个值就是要求的字母的值．【答案与解析】解： 要使分式的值为0，必须满足分子等于0且分母不等于0．由题意，得290,30.x x ⎧-=⎨+≠⎩解得3x =． ∴ 当3x =时，分式293x x -+的值为0． 【总结升华】分式的值为0的条件是：分子为0，且分母不为0，即只有在分式有意义的前提下，才能考虑分式值的情况. 举一反三：【变式】（1）若分式的值等于零，则x ＝_______；（2）当x ________时，分式没有意义．【答案】（1）由24x -＝0，得2x =±. 当x ＝2时x －2＝0，所以x ＝－2；（2）当10x -=，即x ＝1时，分式没有意义． 类型二、分式运算3、计算：2222132(1)441x x x x x x x -++÷-⋅++-． 【答案与解析】解：222222132(1)(1)1(2)(1)(1)441(2)(1)1x x x x x x x x x x x x x x -+++-++÷-⋅=⋅⋅++-+-- 22(1)(2)(1)x x x +=-+-． 【总结升华】本题有两处易错：一是不按运算顺序运算，把2(1)x -和2321x x x ++-先约分；二是将(1)x -和(1)x -约分后的结果错认为是1．因此正确掌握运算顺序与符号法则是解题的关键．举一反三：【变式】（2020•滨州）化简：÷（﹣）【答案】解：原式=÷=• =﹣． 类型三、分式方程的解法4、（2020•呼伦贝尔）解方程：．【思路点拨】观察可得最简公分母是（x ﹣1）（x +1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．【答案与解析】解：方程的两边同乘（x ﹣1）（x +1），得3x +3﹣x ﹣3=0，解得x=0．检验：把x=0代入（x ﹣1）（x +1）=﹣1≠0．∴原方程的解为：x=0．【总结升华】本题考查了分式方程的解法，注：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．举一反三：【变式】()1231244x x x -=---， 【答案】解： 方程两边同乘以()24x -，得()()12422332x x x =---=-∴ 检验：当32x =-时，最简公分母()240x -≠， ∴32x =-是原方程的解．类型四、分式方程的应用5、（2020•东莞二模）某市为治理污水，需要铺设一条全长为600米的污水排放管道，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天的工效比原计划增加20%，结果提前5天完成这一任务，原计划每天铺设多少米管道？【思路点拨】先设原计划每天铺设x 米管道，则实际施工时，每天的铺设管道（1+20%）x 米，由题意可得等量关系：原计划的工作时间﹣实际的工作时间=5，然后列出方程可求出结果，最后检验并作答．【答案与解析】解：设原计划每天铺设x 米管道，由题意得： ﹣=5，解得：x=20，经检验：x=20是原方程的解．答：原计划每天铺设20米管道．【总结升华】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是熟练掌握列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须严格按照这5步进行，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．举一反三：【变式】小明家、王老师家、学校在同一条路上，并且小明上学要路过王老师家，小明到王老师家的路程为3 km ，王老师家到学校的路程为0.5 km ，由于小明的父母战斗在抗震救灾第一线，为了使他能按时到校、王老师每天骑自行车接小明上学．已知王老师骑自行车的速度是他步行速度的3倍，每天比平时步行上班多用了20 min ，王老师步行的速度和骑自行车的速度各是多少?【答案】解：设王老师步行的速度为x km/h ，则他骑自行车的速度为3x km/h ． 根据题意得：230.50.520360x x ⨯+=+． 解得：5x =．经检验5x =是原方程的根且符合题意．当5x =时，315x =．答：王老师步行的速度为5km/h ，他骑自行车的速度为15km/h ．。

苏科版初中八年级数学下册期末分式方程的解法知识点含答案1、分式方程分母中含有未知数的方程叫分式方程．注意：在判断一个方程是否为分式方程时，注意不要约分，如约分之后就是整式方程.2、解分式方程的一般步骤（1）去分母，在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；（2）解整式方程，得到整式方程的解；（3）验根：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解．典例1（2019春•江阴市期末）已知关于的方程的解是正数，那么的取值范围为（ ）A ．且B ．C ．且D ．且 【解答】解：将分式方程转化为整式方程得：解得：．方程得解为正数，所以，解得：．分式的分母不能为0，，，即．．故且．212+1x x -=x 232x m x +=-m 6m >-2m ≠-6m <6m >-4m ≠-6m <2m ≠-236x m x +=-6x m =+60m +>6m >-20x ∴-≠2x ∴≠62m +≠4m ∴≠-6m >-4m ≠-故选：．典例2（2019春•江阴市期末）解方程：（1）； （2）． 【解答】解：（1）方程两边同乘，得， 解这个方程，得，经检验：是增根，舍去， 所以原方程无解；（2）方程两边同乘，得， 解这个方程，得，经检验：是原方程的解． C 32511x x x +=--21122x x x=---(1)x -325x +=1x =1x =(2)x -221x x =-+1x =-1x =-。