四年级奥数思维训练专题-容斥原理

练 1.有30名运动员，其中18人会三级跳，16人 习 会撑杆跳高，10人三级跳远、撑杆跳高均不
会。既会三级跳远又会撑杆跳高的运动员有 多少名？
14名
练 2、操场上的学生排成10路纵队做操，毎路 习 纵队人数同样多，小明站在第四纵队，从排
头数他是第13个，从后往前数他是第8人。 操场上有多少人在做操？
200人
练 3、一个年级有120人爱好数学，100人爱好 习 语文，85人爱好美术，30人既爱好数学又爱
好语文，20人既爱好语文又爱好美术，35人 既爱好美术又爱好数学，有18人三门学科都 爱好。请问:这个年级中数学、语文、美术 三门学科中至少爱好一门学科的学生有多少 人？
238人
练 4、某班全体学生进行了数学、语文、英语 习 三个科目的测试，有8名学生在这三个科目
球、蓝球的学生人数分别为10人，10人，6 人，其中手中既有红球又有黄球的有3人， 既有黄球又有蓝球的有2人，既有蓝球又有 红球的有4人。已知全队每人手中都至少有 一种颜色的球，那么，手中三种颜色的球都 有的多少人？
3人
练 6、某班50名同学全部参加数学、语文、美 习 术三个课外兴趣小组，参加数学小组的有29
17人
18人
15人
求全班人数。
这道题目条件比较复杂，可以根据 题意画出示意图，以便形象直观地 显示他们之间的关系。 全班人数=至少有一个项目达到优 秀的人数+三个项目上都没有达到 优秀的人数
篮球15人 6人 短跑 17人
篮球 游泳 短跑 2人
6人 游泳 18人
6人
经 典 题 型
运用容斥定理 至少有一个项目达到优秀的人数=（短跑达 到优秀人数+游泳达到优秀人数+篮球达到 优秀人数）-（短跑、游泳达到优秀人数+ 游泳、篮球达到优秀人数+篮球、短跑达到 优秀人数）+短跑、游泳、篮球都达到优秀 的人数

第十九讲容斥原理这一讲我们主要学习和“包含”与“排除”有关的问题，这样的问题在生活中就有不少，比如吃瓜子．我们说吃掉了一斤瓜子，指的是带壳的瓜子，并非真的吃到肚子里一斤，因为这一斤中还“包含”着瓜子壳．如果要计算到底吃了多少，最简单的方法就是称一称瓜子壳，用原来的一斤“排除”掉瓜子壳的重量．瓜子的例子相对简单，一斤瓜子里一部分是瓜子仁，另一部分就是瓜子壳，两者各不相关．但本讲要学习的包含与排除问题要复杂一些，各部分之间会有重叠．比如一个办公室中每个人都至少爱喝茶或咖啡中的一种，已知有7个人爱喝茶，10个人爱喝咖啡，那能不能就说办公室里有17个人呢？显然不能，因为可能有一些人既爱喝茶也爱喝咖啡，如果直接将喝茶的人数和喝咖啡的人数相加，会把既爱喝茶又爱喝咖啡的人计算2次（如图所示），计算人数的时候要把这一部分减去才行．比如，如果有3个人既爱喝茶又爱喝咖啡，那总的人数就应该是710314+-=人．这就是我们今天要来研究的问题——有重叠的计数问题，即包含与排除问题．研究这种问题通常需要画出示意图（如喝茶与喝咖啡的图），这样的示意图又叫做文氏图，下面我们就用文氏图推导两个对象的容斥原理公式．№1. 简单容斥原理（两个对象）如右图所示，如果要计算三个部分的总数，直接计算A +B 就会算多了，而多算的正好是③部分，只要把多算的减掉就可以了．上述分析总结成公式就是：这个公式就是两个对象．．．．的容斥原理． 既喝茶又喝咖啡的A例题1（1）一群小朋友共有50人，他们都喜欢吃辣椒或芥末中的一种或两种，喜欢吃辣椒的有36人，喜欢吃芥末的有20人，那么两者都喜欢吃的有多少人？（2）暑假里，小高和墨莫一起讨论金陵十八景．他们发现十八景中的每一处都有人去过，而且有五处是两人都去过的．如果小高去过其中的十二景，那么墨莫去过其中的几景？（3）在一群小朋友中，有12人看过动画片《黑猫警长》，有21人看过动画片《大闹天宫》，并且有8人两部动画片都看过．已知每个小朋友至少都看过其中的一部，那么有几个小朋友只看过这两部中的一部动画片？「分析」试着画一下文氏图分析一下吧！注意图中每一部分所代表的含义！练习1四年级同学参加语文、数学考试，每人至少有一门功课的成绩是优秀．其中语文成绩优秀的有42人，数学优秀的有56人，语文、数学都优秀的有15人，请问四年级共多少名同学？例题2渔乡小学举行长跑和游泳比赛，共305人参加．有150名男生和90名女生参加长跑比赛，有120名男生和70名女生参加游泳比赛，有110名男生两项比赛都参加了．请问：只参加游泳而没参加长跑的女生有多少人？「分析」题目中既有参加长跑的，又有参加游泳的，作图时可以画两个圆，分别表示“游泳”和“长跑”．但条件中还有男生、女生，那男生、女生该怎么表示呢？练习2某校参加数学竞赛的有120名男生、80名女生，参加语文竞赛的有120名女生、80名男生．已知该校总共有260名学生参加竞赛，其中75名男生两科竞赛都参加了，请问只参加一科竞赛的女生有多少人？№2. 复杂容斥原理（三个对象）例题3三位基金经理投资若干支股票．张经理买过其中66支，王经理买过其中40支，李经理买过其中23支．张经理和王经理都买过的有17支，王经理和李经理都买过的有13支，李经理和张经理都买过的有9支，三个人都买过的有6支．请问：这三位经理一共买过多少支股票？ 「分析」我们还是画出文氏图来分析，题中的已知条件分别对应图中的哪个部分？怎样来求各个部分的数量呢？一定要记得将求出来的数及时填入图中适当的位置．怎么理解这个公式呢？我们还是利用文氏图来说明． 如图，我们在计算A B C++时，有一些部分被重复计算了：④、⑤、⑥被计算了两次，而⑦被计算了三次．因此我们需要把重复计算的去掉．需要注意的是，去掉A 、B 重叠，B 、C 重叠和A 、C 重叠的部分后，④、⑤、⑥重复计算的一次去掉了，但⑦被去掉了三次，还需要补上一次，这就得到了上面的公式．即把所有圆圈相加，减去两个圆圈重叠部分，再加上三个圆圈重叠的部分得到的就是总数．在使用这个公式时，请同学们一定要清楚公式中每一部分的含义，不能有丝毫的偏差．只有所有条件都和公式完全吻合时我们才能使用这个公式． 练习3卡莉娅用三块长方形桌布相互重叠地铺在一张长方形桌子上，正好将桌子完全覆盖．已知三块桌布的面积分别是40平方分米、36平方分米和27平方分米，其中第一块和第二块桌布重叠的面积为5平方分米，第二块和第三块重叠了7平方分米，而第一块和第三块则重叠了4平方分米．如果三块重叠的部分等于2平方分米，那么这张桌子的面积是多少？B文氏图才是体现条件的最基本最直观的方法，但是我们要灵活选择，不能随便套用公式．我们要先理解图中各部分的含义，再来看相加时每个部分“包含”了几次，然后把算重的部分减去．例题4课间，王老师出了三道脑筋急转弯让学生做，其中只答对第1道题的人有10人，只答对第2道题的人有6人，只答对第3道题的人有4人．至少答对两道题的学生有8人，还有5名同学一道题也没答对．（1）请问王老师的班上有多少名学生？（2）若既答对第1道又答对第2道题的同学有4人，三道题都答对的有1人，那么答对第3道题的同学有多少人？「分析」画出三个对象文氏图，仔细找找题中所描述的条件分别对应图中的哪些部分？这里需要指出的是，我们要留意题中的一些说法，比如“至少答对一道题”对应的是图中的什么区域？“至少答对两道题”对应的是图中的什么区域？“只答对一道题”呢？练习4高思学校有学生1000人，现有《中国少年报》、《少年文艺》和《数学报》三种报刊，其中只订阅一种报刊的有600人，只订阅两种报刊的有200人，三种报刊都订阅的有50人，请问：这个学校有多少人没有订报？例题5四年级一班有46名学生参加3项课外活动．其中有24人参加了数学小组，20人参加了语文小组，参加文艺小组的人数是既参加数学小组也参加文艺小组人数的4倍，又是3项活动都参加人数的8倍，既参加文艺小组也参加语文小组的人数相当于3项都参加的人数的3倍，既参加数学小组又参加语文小组的有10人．请问参加文艺小组的人数是多少？「分析」图中每一部分分别代表什么呢？题目给了几个倍数关系，我们不妨设份数计算一下．№3. 容斥原理中的最值问题例题6某班共有学生48人，其中27人会游泳，33人会骑自行车，40人会打乒乓球．那么，这个班至少有多少学生这三项运动都会？「分析」题目要我们求至少有多少人三项都会，那么也就是要会只两项的尽量多，此时文氏图很难进行分析，不妨画一下线段图试试吧！课堂内外文氏图文氏图，也叫“维恩图”，是由英国著名数学家Venn发明的．维恩（John Venn，公元1834年8月4日─公元1923年4月4日）十九世纪英国著名的数学家和哲学家，生于英国赫尔．他1883年获得理学博士学位，同年被选为英国皇家学会会员．维恩最主要的成就是系统解释并发展了几何表示的方法，也就是发明了文氏图．他作出一系列简单闭曲线（圆或更复杂的图形），将平面分为许多间隔．利用这种图表，维恩阐明了演绎推理的基本原理．为了进一步明确起见，他还引入了一些数学难题作为实例．虽然在维恩之前，莱布尼茨（Leibniz）已系统地运用过这类逻辑图，但今天这种逻辑图仍称作“维恩图”（Venn Diagram）．另外，维恩在概率论和逻辑学方面也有很大贡献，他的著作——《机会逻辑》和《符号逻辑》，在19世纪末20世纪初曾享有很高的声誉．除了数学以外，维恩还有一较特别的技能——制作机器．他曾制作过一部板球发球机，当澳洲板球队在1909年到访剑桥大学时，维恩的机器依然运作正常，并使他们其中一位成员打空四次．作业1. 一个班有50个小学生，统计借课外书的情况是：全班学生都借有语文或数学课外书．借语文课外书的有39人，借数学课外书的有32人．请问：语文、数学两种课外书都借的有多少人？2. 六一班有学生46人，其中会骑自行车的17人，会游泳的14人，既会骑车又会游泳的4人，请问两样都不会的有多少人？3. 许、王、原三位老师走进一家蛋糕店，发现这里的每一种糕点至少被她们中的一个人吃过．她们分别数了一下，许老师吃过其中的15种，王老师吃过其中的10种，原老师吃过其中的6种，有8种糕点许、王两老师都吃过，有5种糕点许、原两老师都吃过，有3种糕点王、原两老师都吃过，有2种糕点这三位老师都吃过．那么这个面包店有多少种糕点？4. 五年级共有110人，其中92人参加了语文小组，51人参加了英语小组，58人参加了数学小组，至少参加2个小组的有80人，参加了三个小组的有20人．那么五年级有多少人没有参加小组？5．五年级共有150人，其中92人参加了语文小组，51人参加了英语小组，30人只．参加了数学小组，既参加语文也参加英语小组的人有35人．那么五年级有多少人没有参加小组？第十九讲 容斥原理1. 例题1答案：6；11；17 详解：画出两个对象的文氏图，找到相应的数字表示的区域． （1）3620506+-=人．（2）小高去过其中的12景，那么只有墨莫一个去过的景有18126-=景，墨莫共去过6511+=景．（3）这里要把重复的区域去掉两次才是只看过一部的，共有12218217+-⨯=人．2. 例题2答案：55详解：画出文氏图，游泳和长跑这两项比赛会有重叠，要区别游泳的男生和游泳女生，且这两部分不会重叠，这时我们用一条直线把一个区域分成两部分，这两部分没有重叠．如果不考虑性别，参加长跑比赛的人有15090240+=人，参加游泳比赛的人有12070190+=人．总人数是305人，那么游泳和长跑都参加的人有240190305125+-=人，其中男生有110人，那么两样都参加的女生有12511015-=人．那么只参加游泳的女生有701555-=人．此题的方法不唯一，也可以看图算出男生有120150110160+-=人，那么女生有305160145-=人．只参加游泳的人有1459055-=人．3. 例题3答案：96详解：首先画出文氏图，找到相应的数字所表示的区域．计算股票之和把张、王、李股票数相加664023129++=，其中129支股票中G 、E 、F 算了两次，H 算了三次．去掉这些重复计算的区域（G 、E 、F 去掉一次，H 去掉两次），1291713990---=，发现G 、E 、F 去掉了一次，但H 去掉了三次，最后还要把H 加上一次．90696+=90+6=96支．游泳长跑男生 女生 15090120 70110 305张66王40李231713 9 6 A B C E FGH4. 例题4答案：33人；9人详解：（1）难点是至少答对二道题的学生指的是哪个区域．至少答对二道题的区域是指这些重叠的区域A 、B 、C 、D ，那么王老师班上有10648533++++=人．（2）通过画文氏图，D =1，A =3， 835++=-=B D C ，答对第3道题的同学有549+=人．5. 例题5答案：24人详解：遇到倍数关系时，一般情况下设最小的为“1”，有倍数关系的就好办了．这里面设3项活动都参加的人数为“1”，那么文艺小组人数为“8”，既参加数学也参加文艺的人数为“2”，既参加文艺又参加语文小组人数为“3”．方法一：根据文氏图可求出总人数为2420"8""2""3"10"1"34"4"46++---+=+=，那么"1"3=人，文艺小组有"8"24=人．方法二：数学有24人参加，语文有20人参加，既参加数学又参加语文的有10人，所以参加语文和数学至少一门的人有24201034+-=人，那么只参加文艺的人有463412-=人，这部分人有"4"12=，"1"3=人，文艺小组有"8"24=人．6. 例题6答案：6根详解：要想三项都会的人尽量少，那么要让会游泳、骑自行车、乒乓球的人尽量分散开来．画图如下，最后可得至少有4名学生三项都会．第3道 第2道 10 64 BCA D第1道 数24语20文“8”“3”“2” “1”10 2748用直线长度表示会游泳的人数 ①7. 练习1答案：83简答：画出两个对象的文氏图，找到相应的数字表示的区域．42561583+-=人．8. 练习2答案：70简答：如果不考虑性别，参加数学竞赛的人有12080200+=人，参加语文竞赛的人有80120200+=人．总人数是260人，那么数学和语文都参加的人有200200260140+-=人，其中男生有75人，那么两样都参加的女生有1407565-=人．那么只参加一科竞赛的女生有()()80651206570-+-=人．数学语文男生 女生80120120 8075 260 48272112②骑自行车的人数尽量不和游泳的人重复，故接着游泳的后面画2721481236 4 同理，会乒乓球的人可再接着骑自行车的人后面画 ③9. 练习3答案：89平方分米简答：三个对象容斥原理：403627574289++---+=平方分米．10. 练习4答案：150人简答：如图，只订阅一种报刊的是E 、F 、G 三部分，共600人；只订阅两种报刊的是A 、B 、C 三部分，共200分，三种报刊都订阅的是D ，有50人，所以订报刊的人一共有60020050850++=人，学校有一共有1000人，所以没有订报的人有1000850150-=人．11. 作业1答案：21简答：利用容斥原理，32395021+-=人．12. 作业2答案：19简答：先求出至少会一样的人数，再求两样都不会的人数．()461417419-+-=人．13. 作业3答案：17简答：利用三个对象之间的容斥原理，共()151********++-+++=种糕点．14. 作业4答案：9简答：根据容斥原理，共有()11092515880209-++--=人．15. 作业5答案：12人简答：画出文氏图，先求出至少参加一个小组的人数．至少参加一个小组的人有92513035138++-=人．一个小组都没参加的有15013812-=人．数学报 文艺 E F G B C A D 少年报。

在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算。

求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A∪B＝A＋B－A∩B (其中符号“∪”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“∩”读作“交”，相当于中文“且”的意思。

)，则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理。

图示如下:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：A∩B，即阴影面积。

1．先包含——A＋B重叠部分A∩B计算了2次，多加了1次；2．再排除——A＋B－A∩B把多加了1次的重叠部分A∩B减去。

A类、B类与C类元素个数的总和＝A类元素的个数＋B类元素个数＋C类元素个数－既是A类又是B类的元素个数－既是B类又是C类的元素个数－既是A类又是C类的元素个数＋同时是A类、B类、C类的元素个数。

用符号表示为：A∪B∪C＝A＋B＋C－A∩B－B∩C－A∩C＋A∩B∩C容斥原理图示如下：图中小圆表示A的元素的个数，中圆表示B的元素的个数，大圆表示C的元素的个数。

1．先包含——A＋B＋CA∩B、B∩C、C∩A重叠了2次，多加了1次。

2．再排除——A＋B＋C－A∩B－B∩C－A∩C重叠部分A∩B∩C重叠了3次，但是在进行A＋B＋C－A∩B－B∩C－A∩C计算时都被减掉了。

3．再包含——A＋B＋C－A∩B－B∩C－A∩C＋A∩B∩C例1一个长方形长12厘米，宽8厘米，另一个长方形长10厘米，宽6厘米，它们中间重叠的部分是一个边长4厘米的正方形，求这个组合图形的面积。

例250名同学面向老师站成一行。

老师先让大家从左至右按1、2、3、…、49、50依次报数；再让报数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数的同学向后转。

问：现在面向老师的同学还有多少名？求1～2009这2009个自然数既不能被7整除又不能被41整除的自然数有多少个？例3在1到2004所有自然数中，既不是2的倍数又不是3和5的倍数的数有多少个？例4如图，已知甲乙丙三个圆的面积都是30，甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部分的面积分别为6，8，5，三个圆覆盖的总面积为73，求空白部分的面积。

四年级奥数容斥原理数学是思维的体操，问题是数学的心脏！四年级(高年级)数学思维训练第4课包容与排斥——包容与排斥原理知识点我们以前遇到过这样的问题吗:从左边看，小明排在第8位，从右边看，小明排在第15位，这一排有多少人？这个问题就是小明是否被反复算计了。

如果计算结果没有重复且没有遗漏，则需要排除重复计数。

这种计数方法是宽容和排斥的原则，也称为重叠问题。

要解决这样的问题，我们还可以用韦恩图来分析定量关系小明有1人8人，15人。

通常，首先计算所有涉及的量，然后排除重叠部分。

我们可以计算出不重复和不遗漏的数量:8+15-1=22(人)经典范例例1: 4 (2)班有28名中国兴趣小组的参与者，29名数学兴趣小组的参与者，12名两个小组的参与者，这个班有多少人参加过语文或数学兴趣小组？先画一个维恩图分析定量关系，然后用包含和排除的方法计算数学变成了一件非常轻松愉快的事情！你发现了吗？- 1-四年级(高年级)数学思维训练模仿训练学校文艺组的每个学生至少能弹一架钢琴和手风琴。

众所周知，有24个人会弹钢琴，17个人会拉手风琴，8个人会两种乐器。

文艺小组有多少人？经典示例示例2:一家餐厅有40道招牌菜，其中妞妞吃了15道，丁丁吃了9道，两个人都吃了4道。

有多少招牌菜没有吃过？首先计算他们吃了什么，然后计算他们没吃什么。

模仿练习在参加采摘活动的46人中，只有18人采摘了樱桃，7人采摘了樱桃和杏子，6人既不摘樱桃也不摘杏子，有多少人采摘了杏子？数学会让你成为一个好的发现孩子！- 2-数学是思维的体操，问题是数学的心脏！四年级(高年级)数学思维训练经典例题例题3:在100个从1到100的自然数中，总共有多少个5和6的倍数？首先找到5的多少倍数？6的倍数是多少？重用包含和排除方法来解决模仿练习从1到100的100个自然数中，有多少不能被5和8整除？经典范例范例4: 50学生面向老师站成一排，老师首先让每个人按1、2、3...从左到右一次数一次，然后让数字是4的倍数的学生返回，然后让数字是6的倍数的学生返回有多少学生仍然面对着老师？首先找出有多少学生已经转了，有多少学生没有转，然后思考哪些学生转了两次，因为那些没有转的和那些转了两次的都是老师。