【专家解析】2012年高考数学(理)真题精校精析(浙江卷)(纯word书稿)

2012·浙江卷(理科数学)1．[2012·浙江卷] 设集合A＝{x|1<x<4}，集合B＝{x|x2－2x－3≤0}，则A∩(∁B)＝()A．(1,4) B．(3,4)C．(1,3) D．(1,2)∪(3,4)1．B[解析] 本题主要考查不等式的求解集合的关系与运算等．由于B＝{x|x2－2x －3≤0}＝{x|－1≤x≤3}，则∁B＝{x|x<－1或x>3}，那么A∩(∁B)＝{x|3<x<4}＝(3,4)，故应选B.[点评] 不等式的求解是进一步处理集合的关系与运算的关键．2．[2012·浙江卷] 已知i是虚数单位，则3＋i1－i＝()A．1－2i B．2－iC．2＋i D．1＋2i2．D[解析] 本题主要考查复数的四则运算，检测学生对基础知识的掌握情况．3＋i 1－i ＝(3＋i)(1＋i)(1－i)(1＋i)＝2＋4i2＝1＋2i，故应选D.[点评] 复数的四则运算是每年高考的必考内容之一，以送分题为主．3．[2012·浙江卷] 设a∈，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a ＋1)y＋4＝0平行”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．A[解析] 本题主要考查直线的平行关系与充要条件的判断等基础知识和基本方法．法一：直接推理：分清条件和结论，找出推出关系即可．当a＝1时，直线l1：x＋2y－1＝0与直线l2：x＋2y＋4＝0显然平行，所以条件具有充分性；若直线l1与直线l2平行，则有：a 1＝2a ＋1，解之得：a ＝1 或 a ＝－2，经检验，均符合，所以条件不具有必要性．故条件是结论的充分不必要条件．法二：把命题“a ＝1”看作集合M ＝{1}，把命题“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”看作集合N ＝{1，－2}，易知M ⊆N ，所以条件是结论的充分不必要条件，答案为A.4．[2012·浙江卷] 把函数y ＝cos2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )图1－14．A [解析] 本题主要考查三角函数的图象与性质，以及三角函数图象的平移问题．考查函数图象变换方法和技巧．把函数y ＝cos2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，可得函数y ＝cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1＝cos x ＋1的图象；然后向左平移1个单位长度得到函数y ＝cos(x＋1)＋1的图象；再向下平移1个单位长度得到函数y ＝cos(x ＋1)＋1－1＝cos(x ＋1)的图象；结合各选项中的图象可知其图象为选项A 中的图象，故应选A.5．[2012·浙江卷] 设，是两个非零向量( ) A ．若|＋|＝||－||，则⊥ B ．若⊥，则|＋|＝||－||C ．若|＋|＝||－||，则存在实数λ，使得＝λD ．若存在实数λ，使得＝λ，则|＋|＝||－||5．C [解析] 本题主要考查平面向量的相关概念与性质，以及应用等基础知识，考查学生基本能力和素质．法一：对于选项A ，若|＋|＝||－||可得·＝－||||，则与为方向相反的向量，A 不正确；对于选项B ，由⊥，得·＝0，由|＋|＝||－||，·＝－||||，B 不正确；对于选项C ，若|＋|＝||－||可得·＝－||||，则与为方向相反的共线向量，∴＝λ；对于选项D ，若＝λ，当λ>0时，|＋|＝||＋||，当λ<0时，可有|＋|＝||－||，故不正确．法二：特值验证排除．先取＝(2,0)，＝()－1，0，满足||a ＋b ＝||a －||b ，但两向量不垂直，故A 错；再取＝()2，0，＝()1，0，满足＝λ，但不满足||a ＋b ＝||a －||b ，故D 错；取＝()2，0，＝()0，－1，满足⊥，但不满足||a ＋b ＝||a －||b ，故B 错，所以答案为C.6．[2012·浙江卷] 若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )A ．60种B ．63种C ．65种D ．66种6．D [解析] 本题考查排列组合计数原理等基础知识，考查灵活运用知识与分析解决问题的能力．要使所取出的4个数的和为偶数，则对其中取出的数字奇数和偶数的个数有要求，所以按照取出的数字奇偶数的个数分类.1,2,3，…，9这9个整数中有5个奇数，4个偶数．要想同时取4个不同的数其和为偶数，则取法有三类：①4个都是偶数：1种；②2个偶数，2个奇数：C 25C 24＝60种；③4个都是奇数：C 45＝5种．∴不同的取法共有66种．[点评] 对于计数问题，有时正确的分类是解决问题的切入点．同时注意分类的全面与到位，不要出现遗漏现象．7．[2012·浙江卷] 设S n 是公差为d (d ≠0)的无穷等差数列{a n }的前n 项和，则下列命题错误．．的是( )A ．若d <0，则数列{S n }有最大项B ．若数列{S n }有最大项，则d <0C ．若数列{S n }是递增数列，则对任意n ∈*，均有S n >0D ．若对任意n ∈*，均有S n >0，则数列{S n }是递增数列7．C [解析] 本题考查等差数列的通项前n 项和，数列的函数性质以及不等式知识，考查灵活运用知识的能力，有一定的难度．法一：特值验证排除．选项C 显然是错的，举出反例：－1，0,1,2,3，…满足数列{S n }是递增数列，但是S n ＞0不恒成立．法二：由于S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，根据二次函数的图象与性质知当d <0时，数列{S n }有最大项，即选项A 正确；同理选项B 也是正确的；而若数列{S n }是递增数列，那么d >0，但对任意的n ∈*，S n >0不成立，即选项C 错误；反之，选项D 是正确的；故应选C.[点评] 等差数列的求和公式与二次函数的图象的关系是解决本题的重要依据．图1－28．[2012·浙江卷] 如图1－2所示，F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b >0)的左右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M .若|MF 2|＝|F 1F 2|，则C 的离心率是( )A.233B.62 C. 2 D. 38．B [解析] 本题主要考查直线与双曲线的位置关系，直线间的位置关系，直线间的交点，双曲线的方程与几何性质等．依题得直线F 1B 的方程为y ＝bc x ＋b ，那么可知线段PQ 的垂直平分线的方程为y ＝－cb (x －3c )，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝b c x ＋b ，y ＝－ba x 联立解得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－ac a ＋c ，bc a ＋c ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b c x ＋b ，y ＝ba x联立解得点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫acc －a ，bc c －a ，那么可得线段PQ 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2cb 2，c 2b ，代入y ＝－c b (x －3c )并整理可得2c 2＝3a 2，可得e ＝ca ＝32＝62，故应选B.[点评] 众多的信息与复杂的计算是阻碍本题求解的关键，解答时要静下心来，分析点直线曲线的关系，求解对应的坐标并加以正确计算．9．[2012·浙江卷] 设a >0，b >0( ) A ．若2a ＋2a ＝2b ＋3b ，则a >b B ．若2a ＋2a ＝2b ＋3b ，则a <b C ．若2a －2a ＝2b －3b ，则a >b D ．若2a －2a ＝2b －3b ，则a <b9．A [解析] 本题考查构造函数利用函数性质来实现判断逻辑推理的正确与否，考查观察构想推理的能力．若2a ＋2a ＝2b ＋3b ，必有2a ＋2a >2b ＋2b .构造函数：f (x )＝2x ＋2x ，则f (x )＝2x ＋2x 在x ＞0上单调递增，即a ＞b 成立，故A 正确，B 错误．其余选项用同样方法排除．10．[2012·浙江卷] 已知矩形ABCD ，AB ＝1，BC ＝ 2.将△ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中，( )A ．存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直B ．存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直C ．存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直D ．对任意位置，三对直线“AC 与BD ”，“AB 与CD ”，“AD 与BC ”均不垂直10．B [解析] 本题主要考查空间几何体的判定与分析问题．考查空间想象能力和动手操作能力．对于AB ⊥CD ，因为BC ⊥CD ，由线面垂直的判定可得CD ⊥平面ACB ，则有CD ⊥AC ，而AB ＝CD ＝1，BC ＝AD ＝2，可得AC ＝1，那么存在AC 这样的位置，使得AB ⊥CD 成立，故应选B.[点评] 解决折叠问题时，可以先通过实际操作，找到可行性后再加以合理判断与分析．实际解决此类问题时可以通过草稿纸加以折叠分析后直接判断．图1－311．[2012·浙江卷] 已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图1－3所示，则该三棱锥的体积等于________cm 3.11．1 [解析] 本题考查三棱锥的三视图与体积计算公式，考查学生对数据的运算处理能力和空间想象能力．由三视图可知，几何体为一个三棱锥，则V ＝13Sh ＝13×12×1×3×2＝1.[点评] 正确的识图是解决三视图问题的关键，同时要注意棱长的长度关系等．图1－412．[2012·浙江卷] 若某程序框图如图1－4所示，则该程序运行后输出的值是________．12.1120 [解析] 本题主要考查算法的程序框图及其应用．当i ＝1时，T ＝11＝1，而i ＝1＋1＝2，不满足条件i >5；接下来，当i ＝2时，T ＝12，而i ＝2＋1＝3，不满足条件i >5；接下来，当i ＝3时，T ＝123＝16，而i ＝3＋1＝4，不满足条件i >5；接下来，当i ＝4时，T ＝164＝124，而i ＝4＋1＝5，不满足条件i >5；接下来，当i ＝5时，T ＝1245＝1120，而i ＝5＋1＝6，满足条件i >5；此时输出T ＝1120，故应填1120.[点评] 对于程序框图问题，关键是正确识别与推理，通过逐步推理与分析加以正确判断．13．[2012·浙江卷] 设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则q ＝________.13.32 [解析] 本题主要考查等比数列的求和以及二元方程组的求解．当q ＝1时，由S 2＝3a 2＋2得a 2＝－2，由S 4＝3a 4＋2得a 4＝2，两者矛盾，舍去，则q ≠1，联立方程⎩⎨⎧a 1＋a 1q ＝3a 1q ＋2，a 1(1－q 4)1－q＝3a 1q 3＋2，可解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，q ＝32，故应填32.[点评] 注意分类，必须对q ＝1加以讨论，否则直接利用等比数列的求和公式容易导致遗漏．14．[2012·浙江卷] 若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝________.14．10 [解析] 本题主要考查函数的解析式以及二项式定理．法一：由于f (x )＝x 5＝[](1＋x )－15那么a 3＝C 25(－1)2＝10，故应填10.法二：对等式f (x )＝x 5＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5两边连续对x 求导三次得：60x 2＝6a 3＋24a 4(1＋x )＋60a 5(1＋x )2，再运用赋值法，令x ＝－1得：60＝6a 3，即a 3＝10.法三：由等式两边对应项系数相等．即⎩⎨⎧a 5＝1，C 45a 5＋a 4＝0，C 35a 5＋C 14a 4＋a 3＝0⇒a 3＝10.[点评] 正确地把函数与二项展开式加以对比，再结合二项式定理加以分析与应用．注意等式的拆分与组合．15．[2012·浙江卷] 在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC →＝________.15．－16 [解析] 本题主要考查平面几何的性质平面向量的线性运算与数量积． 法一：AB →·AC →＝(MB →－MA →)·(MC →－MA →)＝MB →·MC →－MB →·MA →－MA →·MC →＋MA →2＝5×5×cos180°－5×3×cos ∠BMA －3×5×cos ∠AMC ＋32＝－16，故应填－16.法二：特例法：假设△ABC 是以ABAC 为腰的等腰三角形，如图，AM ＝3，BC ＝10，AB ＝AC ＝34，cos ∠BAC ＝34＋34－1002×34＝－817，AB →·AC →＝|AB →|·|AC→|·cos ∠BAC ＝－16.[点评] 对平面向量进行正确的线性分解是解决本题的关键，同时注意向量的夹角之间的关系与应用．16．[2012·浙江卷] 定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离．已知曲线C 1：y ＝x 2＋a 到直线l ：y ＝x 的距离等于曲线C 2：x 2＋(y ＋4)2＝2到直线l ：y ＝x 的距离，则实数a ＝________.16.94 [解析] 本题在新定义背景下考查直线圆和抛物线的方程，一二次曲线之间的位置关系与导数的几何意义等基础知识，考查学生综合运用知识的能力和学情，考查函数方程和数形结合的数学思想．求出曲线C 1到直线l 的距离和曲线C 2到直线l 的距离，建立等式，求出参数a 的值. 曲线C 2：x 2＋(y ＋4)2＝2到直线l ：y ＝x 的距离为圆心到直线的距离与圆的半径之差，即d －r ＝||－42－2＝2，由y ＝x 2＋a 可得y ′＝2x ，令y ′＝2x ＝1，则x ＝12，在曲线C 1上对应的点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14＋a ，所以曲线C 1到直线l 的距离即为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14＋a 直线l 的距离，故⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－14－a 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪14－a 2，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪14－a 2＝2，可得⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＝2，a ＝－74或a ＝94，当a ＝－74时，曲线C 1：y ＝x 2－74与直线l ：y ＝x 相交，两者距离为0，不合题意，故a ＝94.17．[2012·浙江卷] 设a ∈，若x >0时均有[(a －1)x －1](x 2－ax －1)≥0，则a ＝________.17.32 [解析] 本题主要考查不等式的恒成立，不等式与方程的转化与应用，考查数形结合和转化化归的数学思想．令y 1＝()a －1x －1，y 2＝x 2－ax －1，则函数y 1＝()a －1x －1，y 2＝x 2－ax －1都过定点P ()0，－1.考查函数y 1＝()a －1x －1，令y ＝0，得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1，0，同时只有a －1>0即a >1时才有可能满足x ∈()0，＋∞时，y 1·y 2≥0； 考查函数y 2＝x 2－ax －1，显然只有过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1，0时才能满足x ∈()0，＋∞时，y 1·y 2≥0，代入得：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －12－a a －1－1＝0，可得()a －12＋a ()a －1－1＝0,2a 2－3a ＝0解得a ＝32或a ＝0，舍去a ＝0，得答案：a ＝32.18．[2012·浙江卷] 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cos A＝23，sin B＝5cos C.(1)求tan C的值；(2)若a＝2，求△ABC的面积．18．解：(1)因为0＜A＜π，cos A＝23，得sin A＝1－cos2A＝53.又5cos C＝sin B＝sin(A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C＝53cos C＋23sin C，所以tan C＝ 5.(2)由tan C＝5，得sin C＝56，cos C＝16，于是sin B＝5cos C＝56.由a＝2及正弦定理asin A＝csin C，得c＝ 3.设△ABC的面积为S，则S＝12ac sin B＝52.19．[2012·浙江卷] 已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和．(1)求X的分布列；(2)求X的数学期望E(X)．19．解：(1)由题意得X取3,4,5,6，且P(X＝3)＝C35C39＝542，P(X＝4)＝C14·C25C39＝1021，P(X＝5)＝C24·C15C39＝514，P(X＝6)＝C34C39＝121.所以X的分布列为E(X)＝3·P(X＝3)＋4·P(X＝4)＋5·P(X＝5)＋6·P(X＝6)＝13 3.图1－520．[2012·浙江卷] 如图1－5所示，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为23的菱形，∠BAD＝120°，且P A⊥平面ABCD，P A＝26，M，N分别为PB，PD的中点．(1)证明：MN∥平面ABCD；(2)过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A－MN－Q的平面角的余弦值．20．解：(1)因为M，N分别是PB，PD的中点，所以MN是△PBD的中位线，所以MN ∥BD .又因为MN ⊄平面ABCD ，所以MN ∥平面ABCD . (2)方法一：连结AC 交BD 于O .以O 为原点，OC ，OD 所在直线为x ，y 轴，建立空间直角坐标系Oxyz ，如图所示．在菱形ABCD 中，∠BAD ＝120°，得 AC ＝AB ＝23，BD ＝3AB ＝6. 又因为P A ⊥平面ABCD ，所以P A ⊥AC .在Rt △P AC 中，AC ＝23，P A ＝26，AQ ⊥PC ，得QC ＝2，PQ ＝4. 由此知各点坐标如下，A (－3，0,0)，B (0，－3,0)，C (3，0,0)，D (0,3,0)，P (－3，0,26)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－32， 6，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32， 6，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫33，0，263. 设＝(x ，y ，z )为平面AMN 的法向量． 由AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－32，6，AN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，6知⎩⎪⎨⎪⎧32x －32y ＋6z ＝0，32x ＋32y ＋6z ＝0.取z ＝－1，得 ＝(22，0，－1)．设＝(x ，y ，z )为平面QMN 的法向量．由QM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－536，－32，63，QN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－536，32，63知⎩⎪⎨⎪⎧－536x －32y ＋63z ＝0，－536x ＋32y ＋63z ＝0，取z ＝5，得＝(22，0,5)． 于是cos 〈，〉＝m·n |m |·|n |＝3333.所以二面角A －MN －Q 的平面角的余弦值为3333. 方法二：在菱形ABCD 中，∠BAD ＝120°，得 AC ＝AB ＝BC ＝CD ＝DA ，BD ＝3AB . 又因为P A ⊥平面ABCD ，所以 P A ⊥AB ，P A ⊥AC ，P A ⊥AD . 所以PB ＝PC ＝PD . 所以△PBC ≌△PDC .而M ，N 分别是PB ，PD 的中点，所以 MQ ＝NQ ，且AM ＝12PB ＝12PD ＝AN . 取线段MN 的中点E ，连结AE ，EQ ，则 AE ⊥MN ，QE ⊥MN ，所以∠AEQ 为二面角A －MN －Q 的平面角． 由AB ＝23，P A ＝26，故在△AMN 中，AM ＝AN ＝3，MN ＝12BD ＝3，得 AE ＝332.在直角△P AC 中，AQ ⊥PC ，得 AQ ＝22，QC ＝2，PQ ＝4.在△PBC 中，cos ∠BPC ＝PB 2＋PC 2－BC 22PB ·PC ＝56，得MQ ＝PM 2＋PQ 2－2PM ·PQ cos ∠BPC ＝ 5. 在等腰△MQN 中，MQ ＝NQ ＝5，MN ＝3，得 QE ＝MQ 2－ME 2＝112.在△AEQ 中，AE ＝332，QE ＝112，AQ ＝22，得 cos ∠AEQ ＝AE 2＋QE 2－AQ 22AE ·QE ＝3333.所以二面角A －MN －Q 的平面角的余弦值为3333.图1－621．[2012·浙江卷] 如图1－6，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，其左焦点到点P (2,1)的距离为10.不过原点．．．．O 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且线段AB 被直线OP 平分．(1)求椭圆C 的方程；(2)求△ABP 面积取最大值时直线l 的方程．21．解：(1)设椭圆左焦点为F (－c,0)，则由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧(2＋c )2＋1＝10，c a ＝12，得⎩⎨⎧c ＝1，a ＝2.所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为M .当直线AB 与x 轴垂直时，直线AB 的方程为x ＝0，与不过原点的条件不符，舍去．故可设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)，由⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，3x 2＋4y 2＝12消去y ，整理得 (3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，① 则Δ＝64k 2m 2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＞0， ⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－123＋4k 2.所以线段AB 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 3＋4k 2，3m 3＋4k 2. 因为M 在直线OP 上，所以 3m3＋4k 2＝－2km 3＋4k 2. 得m ＝0(舍去)或k ＝－32.此时方程①为3x 2－3mx ＋m 2－3＝0，则 Δ＝3(12－m 2)＞0，⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－33.所以|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝396·12－m 2. 设点P 到直线AB 的距离为d ，则 d ＝|8－2m |32＋22＝2|m －4|13.设△ABP 的面积为S ，则S ＝12|AB |·d ＝36·(m －4)2(12－m 2). 其中m ∈(－23，0)∪(0,23)．令u (m )＝(12－m 2)(m －4)2，m ∈[－23，23]．u ′(m )＝－4(m －4)(m 2－2m －6)＝－4(m －4)(m －1－7)(m －1＋7)． 所以当且仅当m ＝1－7，u (m )取到最大值． 故当且仅当m ＝1－7，S 取到最大值． 综上，所求直线l 方程为3x ＋2y ＋27－2＝0.22．[2012·浙江卷] 已知a >0，b ∈，函数f (x )＝4ax 3－2bx －a ＋b . (1)证明：当0≤x ≤1时， (i)函数f (x )的最大值为|2a －b |＋a ； (ii)f (x )＋|2a －b |＋a ≥0；(2)若－1≤f (x )≤1对x ∈[0,1]恒成立，求a ＋b 的取值范围．22．解：(1)(i)f ′(x )＝12ax 2－2b ＝12a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－b 6a .当b ≤0时，有f ′(x )≥0，此时f (x )在[0，＋∞)上单调递增． 当b ＞0时，f ′(x )＝12a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 6a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －b 6a . 此时f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，b 6a 上单调递减，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫b 6a ，＋∞上单调递增． 所以当0≤x ≤1时，f (x )max ＝max{f (0)，f (1)}＝max{－a ＋b,3a －b }＝⎩⎨⎧3a －b ，b ≤2a ，－a ＋b ，b ＞2a＝|2a －b |＋a . (ii)由于0≤x ≤1，故 当b ≤2a 时，f (x )＋|2a －b |＋a ＝f (x )＋3a －b ＝4ax 3－2bx ＋2a ≥4ax 3－4ax ＋2a ＝2a (2x 3－2x ＋1)． 当b ＞2a 时，f (x )＋|2a －b |＋a ＝f (x )－a ＋b ＝4ax 3＋2b (1－x )－2a ＞4ax 3＋4a (1－x )－2a ＝2a (2x 3－2x ＋1)．设g (x )＝2x 3－2x ＋1,0≤x ≤1，则 g ′(x )＝6x 2－2＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －33⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋33，于是所以当0≤x ≤1时，2x 3－2x ＋1＞0. 故f (x )＋|2a －b |＋a ≥2a (2x 3－2x ＋1)≥0.(2)由(i)知，当0≤x ≤1时，f (x )max ＝|2a －b |＋a ，所以 |2a －b |＋a ≤1.若|2a －b |＋a ≤1，则由②知 f (x )≥－(|2a －b |＋a )≥－1.所以－1≤f (x )≤1对任意0≤x ≤1恒成立的充要条件是 ⎩⎨⎧|2a －b |＋a ≤1，a ＞0， 即⎩⎨⎧2a －b ≥0，3a －b ≤1，a ＞0或⎩⎨⎧2a －b ＜0，b －a ≤1，a ＞0.③在直角坐标系aOb 中，③所表示的平面区域为如图所示的阴影部分，其中不包括线段BC .做一组平行线a ＋b ＝t (t ∈)，得 －1＜a ＋b ≤3.所以a ＋b 的取值范围是(－1,3]．23．“数学史与不等式选讲”模块已知a ∈，设关于x 的不等式|2x －a |＋|x ＋3|≥2x ＋4的解集为A . (1)若a ＝1，求A ；(2)若A ＝，求a 的取值范围．解：(1)当x ≤－3时，原不等式化为－3x －2≥2x ＋4，综合得x ≤－3.当－3<x ≤12时，原不等式化为－x ＋4≥2x ＋4，综合得－3<x ≤0. 当x >12时，原不等式为3x ＋2≥2x ＋4，得x ≥2. 综上，A ＝{x |x ≤0或x ≥2}．(2)当x ≤－2时，|2x －a |＋|x ＋3|≥0≥2x ＋4成立．当x >－2时，|2x －a |＋|x ＋3|＝|2x －a |＋x ＋3≥2x ＋4，得x ≥a ＋1或x ≤a －13， 所以a ＋1≤－2或a ＋1≤a －13，得a ≤－2， 综上，a 的取值范围为a ≤－2.24．“矩阵与变换和坐标系与参数方程”在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线l ：⎩⎨⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α(t 为参数)与曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)相交于不同两点A ，B . (1)若α＝π3，求线段AB 中点M 的坐标；(2)若|P A |·|PB |＝|OP |2，其中P (2，3)，求直线l 的斜率．解：设直线l 上的点A ，B 对应参数分别为t 1，t 2.将曲线C 的参数方程化为普通方程x 24＋y 2＝1.(1)当α＝π3时，设点M 对应参数为t 0.直线l 方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋12t ，y ＝3＋32t(t 为参数)．代入曲线C 的普通方程x 24＋y 2＝1，得13t 2＋56t ＋48＝0，则 t 0＝t 1＋t 22＝－2813，所以，点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，－313.(2)将⎩⎨⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α代入曲线C 的普通方程x 24＋y 2＝1，得(cos 2α＋4sin 2α)t 2＋(83sin α＋4cos α)t ＋12＝0，因为|P A |·|PB |＝|t 1t 2|＝12cos 2α＋4sin 2α，|OP |2＝7，所以12cos 2α＋4sin 2α＝7. 得tan 2α＝516.由于Δ＝32cos α(23sin α－cos α)>0，故tan α＝54. 所以直线l 的斜率为54.。